Расстояние от точки до прямой в пространстве

1. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ

Расстоянием от точки до прямой в пространстве
называется длина перпендикуляра, опущенного из
данной точки на данную прямую.

2. Нахождение расстояний 1

Для нахождения расстояния от точки A до прямой l перпендикуляр
AH, опущенный из данной точки на данную прямую, представляют
в качестве высоты треугольника, одной вершиной которого является
точка A, а сторона BC, противолежащая этой вершине, лежит на
прямой l. Зная стороны этого треугольника, можно найти и его
высоту.
При этом возможны следующие случаи:
1. Треугольник ABC – равнобедренный, AB = AC. Пусть AB = AC =
b, BC = a. Искомый перпендикуляр находится из прямоугольного
треугольника ABH:
2
AH b 2
a
.
4
H

3. Нахождение расстояний 2

2. Треугольник ABC – равнобедренный, AC = BC.
2
c
2
Пусть AB = c, AC = BC = a. Найдем высоту CG. CG a .
42 2
2
Площадь треугольника ABC равна 1 AB CG 1 c a 2 c c 4a c .
2
2
С другой стороны, площадь этого треугольника равна
4
1
1
BC AH a AH . Приравнивая первое и второе значения
2
2
площади, получим значение искомого перпендикуляра
c 4a 2 c 2
AH
.
2a
4

4. Нахождение расстояний 3

3. Треугольник ABC – прямоугольный, угол A – прямой.
Пусть AB = c, AC = b. Тогда гипотенуза BC равна b2 c 2 .
Удвоенная площадь треугольника ABC, с одной стороны,
bc
равна bc, а с другой h b 2 c 2 . Следовательно, h 2 2 .
b c

5. Нахождение расстояний 4

4. Треугольник ABC – произвольный.
Пусть AB = c, AC = b, BC = a, ACB . По теореме косинусов
имеет место равенство c2 a2 b2 2ab cos . Откуда
a 2 b2 c 2 Зная косинус угла, можно найти его синус
cos
.
2ab
sin 1 cos 2 , а зная синус , можно найти высоту AH b sin .

6. Куб 1

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от
точки A до прямой BC.

7. Куб 4

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от
точки A до прямой BC1.

8. Куб 5

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от
точки A до прямой DC1.

9. Куб 6

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от
точки A до прямой B1C1.

10. Куб 8

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от
точки A до прямой CC1.

11. Куб 9

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от
точки A до прямой BD.

12. Куб 12

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A
до прямой B1D1.

13. Куб 13

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A
до прямой CB1.

14. Куб 16

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от
точки A до прямой BD1.

15. Куб 18

В единичном кубе A…D1 точка E – середина ребра C1D1.
Найдите расстояние от точки A1 до прямой BE.

16. Пирамида 2

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны
1, найдите расстояние от вершины S до прямой AB.

17. Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны
1, найдите расстояние от вершины A до прямой SB.

18. Пирамида 8

В правильной пирамиде SABCDEF, боковые ребра
которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите
расстояние от точки A до прямой SB.

19. Призма 5

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BC.

20. Призма 10

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BD1, где D1 –
середина ребра A1C1.