Производная показательной функции

1.

Производная показательной
функции.

2.

y 2
x
34 43'
0

3.

y 3
x
47 41'
0

4.

y 3
x
y 2
x
34 43'
0
47 41'
0

5.

y e
x
e 2, 718281828459045
y x 1
45
0

6.

Существует такое число
большее 2 и меньшее 3
(это число обозначают буквой е), что
касательная к графику показательной
функции у=ех в точке х=0 образует с
положительным направлением оси Ох угол
равный 450.

7.

Согласно геометрическому смыслу
производной
k=f’(x0) .
Значит е – это такое число, что производная
функции у=ех в точке х=0 равна 1.
'
x
То есть
e
1
x 0
e 2, 718281828459045...
Функцию у=ех называют экспонентой.

8.

11
График функции
y e
Y
10
x
9
y e
8
x
7
2
e 0,14
6
1
e 0,37
5
e 2,72
4
1
3
e 7,39
2
2
e 20,09
1
3
X
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
6

9.

y e
x
e 2, 718281828459045
y x 1
45
0

10.

• Функция ех дифференцируема в каждой
точке области определения, и
х
х
(е )’=е
.
Натуральным логарифмом (обозначается ln)
называется логарифм по основанию е.
ln x log e x.

11.

• Показательная функция ах
дифференцируема в каждой точке области
определения, и
х
х
(а )’=а lna.

12.

• Показательная функция ах непрерывна в
каждой точке своей области определения,
то есть
a a
x
x0
при
x x0 .

13.

f ( x) x 2
2
x

14.

15.

Производная показательной
И
логарифмической
функции.

16. График функции у =lnx

6
Y
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1 -0.50
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Y
X
0
-1-0.5
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.51010.51111.51212.51313.51414.51515.516
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
X
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1010.51111.51212.51313.51414.51515.516

17. Свойства логарифмов

x
ln x ln y ln xy, ln x ln y ln ,
y
ln x
e
ln e 1,
x.
ln 1 0,
ln e r.
r

18. Вычислить с помощью калькулятора

№537 Вычислить с помощью калькулятора
ln 3
ln 5,6
ln 1,7
ln 17
ln 8
ln 1,3
№538 539
Найти производную каждой из
функций
y 4e x 5
y 2 x 3e
x
y e x cos x
y 3e 2
x
x

19.

Найти производную каждой из функций
x
y e sin
2
x2
x
y e co s
2
x3
x
2
y 7 tg3x
x
3
y 6 ctg 2 x

20.

Y
10
9
8
y xe
7
10
Y
x
9
6
8
5
7
6
4
5
4
3
3
2
2
1
1
-4
-3
X
-2
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
-2
-1
-2
2
3
4
5
6
7
8
9
10

21.

10
Y
y 3x B
9
8
7
10
Y
9
6
8
5
7
6
4
5
l
3
4
3
2
2
1
A
1
-4
-3
-2
0
-1
1
-1
-4
x 1
-3
-2
-1
0
1
2
-2
-1
-2
C
2
3
3
4
x 2
5
4
6
7
5
y 0
8
6
9
7
X
10
X
8
9
10

22.

№540
Y
10
9
8
10
7
y e
Y
9
x
8
6
7
6
5
5
4
4
3
3
2
1
2
X
-4
-3
-2
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
-4
-3
-2
-1
X
0
Y(x)=(2718281828459045/1000000000000000)^(-x)
1
2
3
4
5
Y(x)=-1*x+1
-1
-2
y x 1
6
7
8
9
10

23.

Вычислите интеграл
1
1
0
,
5
dx
x
0
e
2x
dx
0
Найти производную каждой из функций
x
x
y e sin
2
2
x
2
y 7 tg3x