Елементи теорії поля. (Лекція 10)

1. Лекція 10. Елементи теорії поля

1. Заряди і поля.
2. Силове поле.
3. Властивості векторних полів. Дивергенція.
Теорема Остроградського-Гауса.
4. Циркуляція. Ротор. Теорема Стокса.
5. Диференціальний оператор.
6. Циркуляція вектора напруженості. Потік
вектора напруженості. Рівняння Пуасона.

2. Заряди і поля

У Всесвіті на всіх масштабах від елементарних частинок до
Метагалактики взаємодія між структурними елементами Всесвіту
відбувається через силові поля. У кожного силового поля є своє джерело,
яке ми будемо називати зарядом. Електростатичне поле породжується
електричними зарядами, гравітаційне – масами.
Оскільки поле зумовлює наявність сили, воно має векторну природу.
Тому поле зручно зображати за допомогою силових ліній – векторів, які
беруть початок чи закінчуються на зарядах. Домовились вважати, що
силова лінія направлена від позитивного і до негативного електричного
заряду. При цьому однойменні заряди відштовхуються, а різнойменні
притягуються.
Закон збереження зарядів – в ізольованій системі сума електричних
зарядів залишається незмінною.
Всесвіт в середньому електронейтральний.
Що стосується гравітаційного поля, то воно відповідає лише
притяганню, оскільки ми маємо справу лише з масами одного знаку.

3. Силове поле

• Силове поле – це простір, в кожній точці якого на
вміщену туди частинку (пробне тіло) діє сила. Силове
поле створює інша частинка, яка є джерелом поля.
• Вектор поля – сила, що діє на тіло в даній точці поля:
Mm
Qq
fm 2 , fq
r
4 0 r 2
M
F1 m
1
r1
F2 m2
r2
Напруженість – сила, що діє на тіло
одиничної величини:
fq
fm
M
Q
Em
2 , Eq
m
r
q 4 0 r 2

4. Силове поле

• Потенціальна енергія – можливість виконувати роботу
при переміщенні частинки з однієї точки поля консервативних сил в іншу.
dU Fd F d
2
A12 F d U1 U 2
1
Отже, робота йде на зміну потенціальної енергії в полі
консервативних сил (гравітаційному чи електростатичному)

5. Силове поле

• Робота з переміщення заряду q в полі заряду Q по
траєкторії 1-a-b-2 дорівнює роботі по траєкторії 1-2.
A1ab 2 A1a Aab Ab 2 Aab A12
R2
+Q
R1
a
b
1
+q
R2
2
Qqdr
Qq 1
1
2
4 0 r
4 0 R1 R2
R1
Звідси випливає, що робота в полі консервативних сил по замкнутій траєкторії =0.

6. Силове поле

• Потенціал – це потенціальна енергія одиничного
пробного тіла. Тоді різниця потенціалів – це робота з
переміщення одиничного пробного тіла
2
1 2 A12 E d
1
Взявши початок в ∞, знаходимо
r
r A ,r E d
Q
M
q r
, m r
4 0 r
r

7. Силове поле

E1
• Принцип суперпозиції сил
E
r1
r2 E 2
-q
+q
Графічне зображення силового поля
= const
E
+
-

8. Властивості векторних полів. Дивергенція. Теорема Остроградського-Гауса.

Потік вектора через деяку поверхню і циркуляція вектора
по заданому контуру дозволяють судити про характер
векторного поля. Зменшуючи розміри поверхні чи контуру в
точку, можна знайти характеристики векторного поля в даній
точці.
Розглянемо потік рідини через певний об'єм рідини.
Довкола точки Р беремо поверхню S. Якщо в об'ємі рідина не
виникає і не зникає, то потік дорівнює нулю. Нерівність нулю
свідчить про наявність в об'ємі джерел чи стоків. Тоді
велична потоку дорівнює алгебраїчній сумі джерел та стоків.
Відношення потоку рідини до об'єму, з якого вона витікає,
тобто Φр/V, називають питомою потужністю джерел в об'ємі.
При V→0 (до точки Р) отримаємо справжню питому
яку назвемо
потужність,
дивергенцією (розходженням)
вектора ( div ).

9. Дивергенція

• Отже, за визначенням
p
div lim
.
V P V
• Аналогічно для довільного вектора A
A
1
divA lim
lim An dS .
V P V
V P V
S
• Ця величина не може залежати від форми поверхні,
оскільки здійснюється перехід V→P.
• З визначення випливає, що
divA - скалярна величина.
• Знайдемо вираз для divA

10. Дивергенція

• Розглянемо в точці P(x,y,z) малий об'єм у формі
паралелепіпеда dxdydz. Потік через цю поверхню
складається з потоку через кожну з шести граней.
Знайдемо потік через пару граней х.
z
Зовнішня нормаль до поверхні ||x.
An2 = Ax2, An1 = -Ax1. Потік через грань 2
n1
n2
An2dydz, а через грань 1 - An1dydz.
Сумарний потік (Ax2 - Ax1)dydz
x
y
Величина (Ax2 - Ax1) – це приріст при
зміщенні на dx. Отже
Ax
Ax
Ax
Ax 2 Ax1
dx, сумарний потік
dxdydz
dV .
x
x
x

11. Дивергенція. Теорема Остроградського-Гауса

• Аналогічно отримаємо Ay dV і
y
• Отже, потік
• Нарешті
Az
dV .
z
Ax Ay Az
dV .
d A
y
z
x
Ax Ay Az
divA
.
x
y
z
A , можна знайти потік через довільну повер• Знаючи div
хню: divAdV An dS теорема Остроградського-Гауса.
S

12. Михайло Васильович Остроградський (24.09.1801, Полтавська губ. – 01.01.1862)

•Український математик і механік,
лідер математиків Російської імперії.
Закінчив Харківський університет.
Продовжив освіту в Сорбонні
(Париж). Основні роботи
Остроградського відносяться до
прикладних аспектів математичного
аналізу, механіки, теорії пружності
та магнетизму, теорії ймовірностей.
В фізиці надзвичайно корисна
формула Остроградського для
перетворення об'ємного інтегралу в
поверхневий.

13. Карл Фрі́дріх Га́ус (Johann Carl Friedrich Gauß, 30.04.1777 – 23.02.1855)

Карл Фріі́дріх Гаі́ус
(Johann Carl Friedrich Gauß, 30.04.1777 – 23.02.1855)
•Видатний німецький математик,
астроном і фізик. Вільно володів
багатьма мовами. Навчався в
Геттингенському університеті. Має
величезну кількість відкриттів в області
математики, фізики і астрономії. Він
ввів неевклідову геометрію. Заклав
основи математичної теорії
електромагнетизму. Розробив метод
найменших квадратів в статистиці.
Більшість його наукових праць
опублікована після смерті.

14. Циркуляція. Ротор. Теорема Стокса.

• Тепер розглянемо циркуляцію по контуру.
Γ
Якщо це рух рідини, то циркуляція рівна ℓ.
У швидкості є лише тангенціальна складова ℓ.
З нею пов'язаний імпульс dpℓ = S ℓdℓ.
Отже S S d , або d .
Аналогічно циркуляція для довільного вектора A.
Циркуляція вектора A по контуру Γ
A A d .
Щоб отримати характеристику поля в точці Р, потрібно
стягнути розмір контуру в т. Р.

15. Джордж Габріе́ль Стокс (George Gabriel Stokes; 13.08.1819 – 01.02.1903)

Джордж Габріеі́ль Стокс
(George Gabriel Stokes; 13.08.1819 – 01.02.1903)
•Англійський математик і фізик
ірландського походження. Навчався в
Кембриджському університеті. Там і
працював. Вніс значний вклад в гідро- і
газодинаміку, оптику і математику. В
1845 р. Стокс розробив теорію в'язкості
рідин. В 1851 р. вивів формулу для
опору руху кульки в рідині. В 1852 р.
встановив, що смуга флуоресценції має
довгохвильовий зсув стосовно смуги
поглинання. В математиці він вивів
формулу, яка носить його ім'я.

16. Циркуляція.

• Як характеристику поля в т. Р беруть
Цирк. A по
lim
S P
S
• В залежності від напрямку обходу точки Р величина буде
мати різний знак. Позитивний напрямок відповідає
правилу правого гвинта. Для певного напрямку така
величина матиме максимальне значення. Цей напрям дає
напрям вектора, який будемо називати ротором (вихором)
вектора А.
Цирк. A по
lim
rot A n проекція ротора на нормаль
S P
S
до площі S.

17. Ротор

• Знайдемо вираз для rot A.
Визначимо проекцію rot A для площадки
z
4
1
3
2
x
y
dydz, n||x. На ділянці 1 –Az1, далі Ay2, Az3, -Ay4.
В результаті циркуляція
(Az3 - Az1)dz – (Ay4 - Ay2)dy.
Враховуючи, що
Ay
Az
Az 3 Az1
dy, Ay 4 Ay 2
dz ,
y
z
знаходимо циркуляцію А
Az Ay
Az Ay
dydz
dS
z
z
y
y

18. Ротор

• Отже
Az Ay
rot A x
y
z
• Аналогічно
Ax Az
rot A y
z
x
Ay Ax
rot A z
x
y
Ці вирази можна отримати один з одного шляхом циклічної
перестановки індексів (z →x →y →z).

19. Теорема Стокса

• Разом:
Az Ay
rot A i
z
y
Ax Az Ay Ax
j
k
x x
y
z
• Знаючи ротор в кожній точці поверхні S, можна знайти
циркуляцію вектора по контуру, який обмежує S.
S
rot A n dS A d теорема Стокса .

20. Диференціальний оператор

• Записи векторного аналізу спрощуються, якщо ввести
диференціальний оператор
i
j
k
x
y
z
Тоді, діючи вектором на скаляр, отримаємо вектор
i
j
k
grad E
x
y
z
Скалярний добуток:
Ax Ay Az
A
divA
x
y
z

21. Диференціальний оператор

• Векторний добуток
i
A rot A
x
Ax
j
y
Ay
k
z
Az
Оператор діє на функцію, яка стоїть справа від нього.
div grad 2x 2y 2z
2 2 2
2 2 2 , оператор Лапласа
x
y
z

22. Диференціальний оператор

rot grad 0
паралельні вектори,
тому векторний добуток дорівнює нулю.
• Електростатичне поле E = - φ, rotE = [ ]φ=0.
div rot A A 0,
- об'єм паралелепіпеда =0,
якщо 2 вектори збігаються. Оскільки div=0, поле ротора не
має джерел, лінії поля замкнуті. Подібні властивості має
магнітне поле. Це дозволяє зобразити магнітне поле
B = rotA. A – вектор-потенціал.
rot rot A A A A grad divA A

23. Циркуляція вектора напруженості. Потік вектора напруженості. Рівняння Пуасона.

• В потенціальному полі
A0 Ed E d 0
• Тут dℓ направлене по дотичній до контуру. Такий інтеграл
називають циркуляцією вектора напруженості Е вздовж
замкнутого контуру.
• Згідно з теоремою Стокса
Ed rotE dS
S
• Оскільки поверхня dS довільна, то rotE = 0 – вихор в
потенціальному полі відсутній.

24. Потік вектора напруженості

• Потік вектора Е:
dN E EdS EdS cos En dS
N E dN E En dS N E0 En dS
S
S
• Візьмемо замкнуту поверхню у вигляді сфери. Тоді
q
q
q
0
2
Ek
, N E En dS En S
4 r
2
2
4 0 r
4 0 r
0
• Якщо зарядів багато
N E0
q
i
i
0

25. Потік вектора напруженості

• Введемо вектор електричної індукції D 0 E
• В такому разі
N D0 Dn dS qi
i
S
• Для гравітаційного поля
M
N En dS 2 4 r 2 4 M 4 mi
r
i
S
0
m
• Згідно з теоремою Гауса
E dS divE dV
n
S
V

26. Потік вектора напруженості

• Густина заряду
dq
,
dV
• В такому разі
q dV
i
q
1
divEdV 0 q dV
• Аналогічно
q
divE
0
divD q , divEm 4 m

27. Потік вектора напруженості

• Поле рівномірно зарядженої сфери.
Всередині сфери (r < R)
qi
0
NE
0
0
оскільки там зарядів немає.
Поза сферою:
Q
Q
0
2
NE
E 4 r , тому E
0
4 0 r 2
як для точкового заряду.

28. Рівняння Пуасона

• Рівняння дозволяє знайти потенціал, коли відомий
розподіл заряду в просторі.
E divE
0
E grad
q
2
divE div grad
0
q
2 2 2
2 2 2
x
y
z
0

29. Дія оператора 

Дія оператора
• Підсумки:
• Дія векторного оператора на скалярну функцію
перетворює її на векторну функцію, тобто перетворює
скаляр у вектор.
• Векторна дія на векторну величину
приводить до
утворення нового
вектора ( rot E).
• Скалярна дія на векторну
величину приводить до
утворення скаляра ( divE ).
• При дії оператора Лапласа на скалярну величину
утворюється новий скаляр ( φ).