Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. (Лекция 2.11)

1. Лекция 2-11. 12.3.5. Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

y¢¢ + a1 y¢ + a2 y = f ( x ) .
Общее решение дифференциального уравнения имеет
вид
y = yooчн
+u ,
где y - общее решение однородного уравнения,
oo
uчн - частное решение неоднородного уравнения.
Или
y = C1 y1 + C2 y2 + uчн .
Найдем u . Рассмотрим частные случаи.
чн

2. I) Правая часть имеет вид где - многочлен -й степени.

px
f
x
=
P
x
e
,
(
)
(
)
I) Правая часть имеет вид
где P ( x ) - многочлен n -й степени.
k
px
u
=
x
Q
x
e
,
(
)
Решение чн
где: Q ( x ) - многочлен той же степени, что и P ( x ) ,
k - кратность p среди корней характеристического
уравнения (если такого корня нет, то k = 0 ).
Коэффициенты многочлена Q ( x ) находим методом
неопределенных коэффициентов.
Частные случаи:
а) p = 0,
б) P ( x ) - многочлен нулевой степени.

3. Примеры: 1)

y¢¢ - 2 y¢ + y = x + 1, y x =0 = 2, y¢ x =0 = -3.
y = yooчн
+u .
= 2.
y¢¢ - 2 y¢ + y = 0, r 2 - 2r + 1 = 0. rкратность
1,2 = 1, a = 1,sb = 0,
yoo = ( C1 + C2 x ) e x .
Характеристики правой части: a = 0, b = 0, n = 1, k = 0, т.к.
среди корней характеристического уравнения нет корня с
такими же характеристиками.
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид
¢ = B, uчн
¢¢ = 0.
uчн = A + Bx, uчн
Подставим в дифференциальное уравнение
-2 B + A + Bx = x + 1.
Применим метод неопределенных коэффициентов:

4.

0
x ì-2 B + A = 1,
í
1 î B = 1.
A = 3.
x
uчн = 3 + x.
y = ( C1 + C2 x ) e x + 3 + x, y¢ = C2e x + ( C1 + C2 x ) e x + 1.
• Из начальных условий
ì2 = C1 + 3,
í
î-3 = C2 + C1 + 1.
C1 = -1, C2 = -3.
y = - ( 1 + 3 x ) e x + 3 + x.

5. 2)

y¢¢ - 4 y¢ + 3 y = 3e 2 x .
y = yooчн
+u .
y¢¢ - 4 y¢ + 3 y = 0, r 2 - 4r + 3 = 0.
r1 = 1, a = 1, b = 0, s = 1. r2 = 3, a = 3, b = 0, s = 1.
yoo = C1e x + C2e3 x .
Характеристики правой части:
a = 2, b = 0, n = 0, k = 0.
¢ = 2 Ae 2 x , uчн
¢¢ = 4 Ae 2 x .
uчн = Ae2 x , uчн
4 Ae2 x - 8 Ae2 x + 3 Ae 2 x = 3e 2 x , A = -3.
y = C1e x + C2e3 x - 3e 2 x .

6. 3)

y¢¢ - 4 y¢ + 3 y = xe x .
3)
y = yooчн
+u .
y¢¢ - 4 y¢ + 3 y = 0, r 2 - 4r + 3 = 0. r1 = 1, a = 1, b = 0, s = 1.
r2 = 3, a = 3, b = 0, s = 1.
yoo = C1e x + C2e3 x .
Характеристики правой части: a = 1, b = 0, n = 1, k = 1.
x
2
x u ¢ = 2 Ax + B e x + Ax 2 + Bx e x ,
)
uчн = x ( Ax + B ) e = Ax + Bx e , чн (
¢¢ = 2 Ae x + 2 ( 2 Ax + B ) e x + Ax 2 + Bx e x .
uчн
(
)
(
)
2 Ae x + 2 ( 2 Ax + B ) e x + Ax 2 + Bx e x -
(
(
(
)
(
) ) (
)
)
-4 ( 2 Ax + B ) e x + Ax 2 + Bx e x + 3 Ax 2 + Bx e x =
ì2 A - 2 B = 0,
x ï
í
1 -4 A = 1.
x ï
î
0
= e x ( -4 Ax + 2 A - 2 B ) = xe x .
1
1
A=- , B=- .
4
4
y = C1e x + C2e3 x -
(
)
1 2
x + x ex.
4

7. II) Правая часть имеет вид

f ( x ) = a cos qx + b sin qx.
а) Если ±iq не являются корнями характеристического
уравнения, то
uчн = A cos qx + B sin qx.
(*)
б) Если ±iq корни характеристического уравнения, то
uчн = x ( A cos qx + B sin qx ) .
(**)
В частном случае, когда a = 0 или b = 0, частное
решение все равно имеет вид (*) или (**).

8. Примеры: 1)

y¢¢ + 4 y¢ + 13 y = 5sin 2 x.
y = yooчн
+u .
y¢¢ + 4 y¢ + 13 y = 0, r 2 + 4r + 13 = 0.
-2 x
( C1 cos3x + C2 sin 3x ) .
r1,2 = -2 ± 3i, a = -2, b = 3, s = 1. yoo = e
Характеристики правой части: a = 0, b = 2, n = 0, k = 0.
¢ = -2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x,
uчн = A cos 2 x + B sin 2 x, uчн
¢¢ = -4 A cos 2 x - 4 B sin 2 x.
uчн
-4 A cos 2 x - 4 B sin 2 x + 4 ( -2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x ) +
+13 ( A cos 2 x + B sin 2 x ) = 5sin 2 x.
8
9
8
9
sin 2 x ì-8 A + 9 B = 5, A = - , B = . uчн = - cos 2 x + sin 2 x.
29
29
í
29
29
cos 2 x î9 A + 8 B = 0.
8
9
-2 x
y = e ( C1 cos3 x + C2 sin 3 x ) - cos 2 x + sin 2 x.
29
29

9. 2)

y¢¢ + w2 y = a sin qx.
2)
y = yooчн
+u .
y¢¢ + w2 y = 0, r 2 + w2 = 0. r1,2 = ±wi, a = 0, b = w, s = 1.
yoo = C1 cos wx + C2 sin wx.
а)
q ¹ w.
Характеристики правой части:
a = 0, b = q, n = 0, k = 0.
¢ = -qA sin qx + qB cos qx,
uчн = A cos qx + B sin qx, uчн
¢¢ = - q 2 A cos qx - q 2 B sin qx.
uчн
- q 2 A cos qx - q 2 B sin qx + w2 ( A cos qx + B sin qx ) = a sin qx.
ì w2 - q 2 A = 0,
a
a
sin qx ï
sin qx.
A = 0, B =
. uчн = 2
2
2
2
í
w -q
w
q
cos qx ï w2 - q 2 B = a.
a
î
y = C1 cos wx + C2 sin wx +
sin qx.
w2 - q 2
(
(
)
)
(
(
)
(
)
)

10. б)

q = w.
• Характеристики правой части: a = 0, b = w, n = 0, k = 1.
uчн = x ( A cos wx + B sin wx ) ,
¢¢ = 2w ( - A sin wx + B cos wx ) - xw2 ( A cos wx + B sin wx ) .
uчн
2w ( - A sin wx + B cos wx ) - xw2 ( A cos wx + B sin wx ) +
+ xw2 ( A cos wx + B sin wx ) = a sin wx,
2w ( - A sin wx + B cos wx ) = a sin wx.
sin wx
cos wx
ì
ï-2wA = a,
í
ïî2wB = 0.
a
,
2w
B = 0.
A=-
uчн = -
a
x cos wx.
2w
a
y = C1 cos wx + C2 sin wx x cos wx.
2w

11. III) Правая часть имеет вид

f ( x ) = e px ( P1 ( x ) cos qx + P2 ( x ) sin qx ) ,
n, m
P1 ( x ) , P2 ( x ) - многочлены степени
где
l = max ( n, m ) Возможны
.
соответственно.
два случая.
• а) p ± qi - не есть корни характеристического уравнения.
Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид
где
uчн = e px- (многочлены
R1 ( x ) cos qx +степени
R2 ( x ) sin qx ) ,
• б)
Тогда
R1 x- корни
, R2 xхарактеристического уравнения.
l.
частное
решение неоднородного уравнения имеет вид
p ± qi
( )
( )
где
uчн = xe -pxмногочлены
+ R2 ( x ) sin qx ) ,
( R1 ( x ) cos qxстепени
Случай
если
случайl. (II)
R1 x(I),получается,
R2 x
получается, если
Степени многочленов
q = 0,
могут получиться меньше
( )
( )
p = 0.
l.
R1 ( x ) , R2 ( x )

12. Пример.

y¢¢ + y = 4 x sin x.
y = yooчн
+u .
r1,2 = ±i, a = 0, b = 1, s = 1.
y¢¢ + y = 0, r 2 + 1 = 0.
yoo = C1 cos x + C2 sin x.
Характеристики правой части: a = 0, b = 1, l = 1, k = 1.
uчн = x ( ( Ax + B ) cos wx + ( Cx + D ) sin wx ) ,
¢¢ = - Ax 2 + ( 4C - B ) x + ( 2 A + 2 D ) cos x +
uчн
(
)
(
)
+ -Cx 2 - ( 4 A + D ) x + ( 2C - 2 B ) sin x.
( 2Cx + ( A + D ) ) cos x + ( -2 Ax + ( C - B ) ) sin x = 2 x sin x.
2C = 0, A + D = 0, - 2 A = 2, C = B = 0.
A = -1, B = 0, C = 0, D = 1.
uчн = x ( sin x - x cos x ) .
y = C1 cos x + C2 sin x + x ( sin x - x cos x ) .

13. Теорема.

Пусть правая часть дифференциального уравнения
Доказательство.
y¢¢ + a1 ( x ) y¢ + a2 ( x ) y = f ( x ) .
равна сумме двух функций f ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x ) .
Пусть uчн1 - частное решение при f1 ( x ) , uчн 2 - частное
решение при f 2 ( x ) .
Тогда uчн = uчн1 + uчн 2 .
( u1¢¢ + u2¢¢ ) + a1 ( u1¢ + u2¢ ) + a2 ( u1 + u2 ) =
= ( u1¢¢ + a1u1¢ + a2u1 ) + ( u2¢¢ + a1u2¢ + a2u2 ) =
= f1 ( x ) + f 2 ( x ) = f ( x ) .