Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА КАК БЕСКОНЕЧНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ

2.

5
5,0000...
7
22
Метод «деления углом»
8,377
8,377000...
7,0 0 0 070 22
66
0, 3 18 18 …
40
22
18 0
7
176
0,3181818...
40
22
22
7
18 0
0,3(18)
176
…
22

3.

Повторяющуюся группу цифр после запятой называют
периодом.
А саму десятичную дробь бесконечной десятичной периодической дробью
5 5,00000... 5, (0).
8,377 8,377000... 8,377(0).
8,377 – конечная десятичная дробь
8,377000… – бесконечная десятичная дробь
Любое рациональное число можно записать в виде конечной
десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной
периодической дроби.
Любую бесконечную десятичную периодическую дробь
можно представить в виде обыкновенной дроби.
Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая
дробь есть рациональное число.

4.

Пример: Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную
десятичную периодическую дробь:
а ) 1, (23)
Решение:
а ) 1, (23)
б ) 1,5(23)
в) 0,1(9)
x 1, (23) 1,232323...
100 x 123,232323...
x 1,232323...
100 x x 123,232323... 1,232323... ,
99 x 122,
122
x
.
99
122
23
1, (23)
1 .
99
99

5.

Пример: Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную
десятичную периодическую дробь:
б ) 1,5(23)
x 1,5(23) 1,5232323...
10 x 15,232323...
1000 x 1523,232323...
10 x 15,232323...
990 x 1508;
1508 754
259
x
1
.
990 495
495
754
259
1,5(23)
1
.
495
495

6.

Пример: Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную
десятичную периодическую дробь:
в) 0,1(9)
100 x 19,999...
10 x 1,999...
90 x 18.
1
x 0,2 0,20000... 0,2(0)
5
1
1
0,2(0);
0, (9).
5
5
Замечание: Аналогично можно установить, что 2,45(9) = 2,46(0),
1,(9) = 2,(0) и т. д. Поэтому обычно десятичные дроби с периодом
9 не рассматривают, заменяют их соответствующими дробями с
периодом 0.

7.

Множество Q рациональных чисел можно
т
рассматривать как множество чисел вида — ,
п
где т — целое число, п — натуральное число,
или как множество бесконечных десятичных
периодических дробей.