Теорема Менелая

1.

Геометрия
Теоремы Менелая

2. Теорема Менелая:

• Пусть точка А1 лежит на стороне ВС
треугольника АВС, точка С1 – на
стороне АВ, точка В1 – на продолжении
стороны АС за точку С. Точки А1,В1 иС1
лежат на одной прямой тогда и только
тогда, когда выполняется равенство
AC 1 BA1 CB1
1.
C 1B A1 C B1 A

3.

В
BA1 CB1 AC 1
1
A1 C B1 A C 1B
С1
А1
А
С
В1
CA1 BC 1 AB1
1.
A1 B C 1 A B 1 C
Эта теорема Входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла
до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского.
Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника,
в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки ).

4. Задача 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М

так, что МА=АС. Прямая
MN пересекает сторону АВ в точке F.
Найдите: отношение BF
FA

5. Решение

В
k
N
F
M
b
А
3k
b
C
• По условию задачи
МА = АС, NC = 3BN.
Пусть МА = АС = b,
• BN = k, NC = 3k.
Прямая MN
пересекает две
стороны треугольника
АВС и продолжение
третьей. По теореме
Менелая
3 BF b
CN BF AM
BF 3
BF 2
1, k
1,
1,
NB FA MC
k FA 2 b
FA 2
FA 3.
Ответ:2:3.

6.

• Задача 2.
• Пусть AD – медиана
треугольника АВС.
На стороне AD взята
точка K так, что
AK:KD=3:1. Прямая
ВК разбивает
треугольник АВС на
два. Найдите
отношение
площадей этих
треугольников.