Колебания. (Раздел 2. Тема 7)

1. Раздел 2: Колебания и волны

Тема7. Колебания

2. Тема 7. Колебания

1. Гармонические колебания.
2. Характеристики колебаний.
3. Представление колебаний в векторной и
комплексной формах.
4. Сложение колебаний.

3. 1 учебный вопрос: Гармонические колебания.

Колебательным называется такое движение, при
котором тело многократно проходит через одно и
то же устойчивое положение равновесия. При этом
под устойчивым понимается такое положение, в
котором тело может находиться бесконечно долго.

4.

Виды колебаний:
Рис. Представление колебаний: а – сложной формы, б –
прямоугольные, в – пилообразные,
г – гармонические, д – затухающие, е – нарастающие
периодические (изменяющиеся
величины повторяются через
равные промежутки времени);
непериодические.
В зависимости от характера
действующих сил различают
колебания:
свободные (собственные),
вынужденные,
автоколебания,
параметрические.

5.

Гармоническими называются колебания, при
которых изменение величин происходит по закону
синуса или косинуса.
x A cos( t )
A амплитуда
- циклическая частота
- начальная фаза
(1)

6.

Гармонический осциллятор
ma kx
mx kx 0
x 02 x 0, где 0 собственная частота колебаний
(2)
дифференциальное уравнение гармонического осциллятора
0 k m циклическая частота
Решение:
x A cos( 0t )

7. 2 учебный вопрос: Характеристики колебаний

Кинематические характеристики: смещение,
амплитуда, фаза, частота, период, скорость,
ускорение.
Динамические характеристики: сила, энергия.
x = A cos (ω0t + 0)
1. Смещение x отклонение
системы от положения равновесия.
2. Амплитуда А = xmax максимальное
отклонение системы от положения равновесия.

8.

3. Фаза = (ω0t + 0) угол, определяющий положение
колеблющегося тела в данный момент времени t;
0 = (t = 0) начальная фаза (значение фазы в
начальный момент времени).
4. Циклическая частота колебаний 0 = d /dt
характеризует скорость изменения фазы.
5. Период колебаний Т промежуток времени одного
полного колебания за который фаза колебания
получает приращение, равное 2 .
d
d
0
dt
0
dt
2
T
0

9.

6. Частота колебаний 0 число полных колебаний,
совершаемых в одну секунду
1 0
0
,
T 2
[с = Гц]
-1
0 2 0
Для пружинного гармонического маятника
k
ω0
m
2
m
T
2
0
k

10.

7. Скорость колеблющегося тела v = dx/dt
v
dx
A 0sin 0t 0 vmax sin 0t 0 vmax cos 0t 0
dt
2
vmax A 0
амплитуда скорости
Скорость опережает смещение по фазе на π/2.
8. Ускорение колеблющегося тела v = d2x/dt2 = dv/dt
d2 x d v
a 2
A 02 cos 0t 0 amax cos 0t 0 amax cos 0t 0
dt
dx
amax A 02
амплитуда ускорения
Находится в противофазе со смещением

11.

смещение
скорость
ускорение

12.

9. Полная энергия незатухающих колебаний
mA ω
mv
2
Eк
sin 0t 0
2
2
2
2
2
0
kx2 mA2 02
Eп
cos 2 0t 0
2
2
mA2 02
2
2
E Eк Eп
sin 0t 0 cos 0t 0
2
mA2 02
const
2
mA
E
2
2
2
0
(3)

13.

Свойства энергии
1. Период изменения кинетической и потенциальной
энергии в 2 раза меньше периода изменения
смещения, скорости и т.д.
2 2
mA
0
mA2 02
2
1- sin2 0t 0
Eп
cos 0t 0
2
2
2. При свободных незатухающих колебаниях полная
энергия системы сохраняется постоянной, что
выражает консервативность системы. Происходит
лишь превращение кинетической энергии в
потенциальную и наоборот.

14.

3. Полная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды.
4. Полная энергия пропорциональна квадрату
частоты колебаний.

15. 3 учебный вопрос: Представление колебаний в векторной и комплексной формах

Векторная диаграмма изображает
колебания графически с помощью
векторов, вращающихся с угловой
скоростью 0, равной собственной
частоте колебания.
x A cos( 0t )
- фазы

16.

Комплексным числом называется
выражение вида
z x i y
где х и у – действительные числа,
i – мнимая единица:
i 1
2
Число х называется действительной
частью числа z:
х=Re(z)
Число у называется мнимой
частью числа z:
у=Im(z)

17.

Геометрическое изображение комплексных чисел
Для
изображения
комплексных
чисел
используются точки координатной плоскости
ХОУ.
По оси абсцисс
откладывается
действительная часть
комплексного числа Re z,
а по оси ординат –
мнимая Im z,
y
Im z
Re z
x
Ось х называется действительной, а ось у – мнимой.

18.

С
каждой
точкой
комплексной
плоскости
связан радиус-вектор точки