Вероятность и геометрия

1. Вероятность и геометрия

2. Классическая вероятностная схема

Для нахождения вероятности
случайного события A при проведении
некоторого числа опытов следует:
1. Найти число N всех возможных
исходов данного испытания;
2. Найти количество N(A) тех исходов
опыта, в которых наступает событие
A;
3. Найти частное N(A)/N; оно и будет
равно вероятности события A.

3. Классическое определение вероятности

Вероятностью события A при
проведении некоторого испытания
называют отношение числа тех
исходов, в результате которых
наступает событие A, к общему числу
всех (равновозможных между собой)
исходов этого испытания.

4. Общее правило, для нахождения геометрических вероятностей

Если площадь S(A) фигуры A
разделить на площадь S(X) фигуры X,
которая целиком содержит фигуру A,
то получится вероятность того, что
случайно выбранная точка фигуры X
окажется в фигуре A:
P=S(A)/S(X)

5. Пример 1

Отрезок единичной длины случайным
образом разделяют на три отрезка.
Какова вероятность того, что из них
можно сложить треугольник?

6. Построение модели

Пронумеруем отрезки слева направо и
обозначим их длины за x, y и z. Так как
x+y+z=1, то z=1-x-y>0. Значит, x>0,
y>0 и при этом x+y<1. В координатной
плоскости изобразим множество
решений системы трех неравенств:
x>0
y>0
x+y<1

7.

Получим треугольник с вершинами
(0;0) (1;0) (0;1) без учета его сторон.
Каждому способу деления заданного
отрезка на три части x,y,z поставим в
соответствие точку (x,y) из
треугольника. Выбрав точку(x,y) мы
однозначно зададим и разбиение
заданного отрезка единичной длины
на три отрезка [0;x] [x;x+y] [x+y;1].

8.

9. Работа с моделью

x+y>z
x+z>y
y+z>x
x+y>1-x-y
x+1-x-y>y
y+1-x-y>x
x+y>0.5
y<0.5
x<0.5
Получаем треугольник, подобный
первому с коэффициентом подобия 0,5
S1/S2=1/4

10.

Вероятность того,
что точка окажется
окажется в
меньшем
треугольнике
P(A)=0.25

11. Пример 2

Случайным образом нарисовали
треугольник. Какова вероятность того,
что он является остроугольным?

12. Построение модели

Переформулируем задачу:
Число 180 случайным образом
представили в виде суммы трех
положительных слагаемых. Какова
вероятность того, что все слагаемые
меньше 90?

13.

Пусть 0<x<y x+y+z=180 z=180-x-y
0<x
0<x
x<y
x<y
y<180-x-y
x+2y<180
Получим треугольник с вершинами
О(0;0) А(0;90) В(60;60). Каждая точка
однозначно «отвечает» за треугольник
с углами x, y, 180-x-y.

14.

15. Работа с моделью

Отметим в нашей модели точки,
соответствующие остроугольным
треугольникам.
x<y<90
x<y<90
y<180-x-y<90 x+2y<90
x+y>90
Получаем треугольник с вершинами
А(0;90) В(60;60) С(45;45)

16.

S(ABC)/S(AOB)=(0.5 AC*BC)/(0.5AC*OB)=
BC/OB
По теореме Фалеса BC/OB=0,25
P(A)=0.25

17. Пример 3

Два шпиона решили встретиться у
фонтана. Каждый из них может
гарантировать только то, что он
появится у фонтана с 12-00 до 13-00. По
инструкции шпион после прихода ждет
встречи у фонтана 15 минут и по их
истечении (или ровно в 13:00) уходит.
Какова вероятность встречи?

18. Построение модели

За единицу отсчета возьмем 1 час, а за
начало отсчета возьмем 12:00. Пусть x
- время прихода первого шпиона, а y время прихода второго. Тогда o≤x≤1, 0
≤y ≤1 и точка (x,y) квадрата с
вершинами О(0;0) А(0;1) В(1;1) С(1;0)
будет соответствовать времени
прихода первого и второго шпионов.

19.

20. Работа с моделью

Встреча произойдет, только если
время прихода первого шпиона
отличается от времени прихода
второго не более чем на 15 минут. Т.е.
0 ≤x ≤1
0 ≤x ≤1
0 ≤y ≤1
0 ≤y ≤1
|y-x| ≤0.25
x-0.25 ≤y ≤x+0.25
Получается часть квадрата ОАВС,
лежащая между прямыми y=x-0.25 и
y=x+0.25

21.

Незаштрихованная часть состоит из двух
прямоугольных треугольников, катеты которых
равны 0,75. Значит их площадь равна 0,5625. Т.е.
заштрихованная часть составляет 0,4375 от
площади всего квадрата. Это и есть искомая
вероятность P(A)=0.4375