Тригонометрические уравнения и неравенства

1. Тригонометрические уравнения и неравенства

2. Решение простейших тригонометрических уравнений.

3.

Чтобы успешно решать простейшие
тригонометрические уравнения нужно
1) уметь отмечать точки на числовой
окружности;
2) уметь определять значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса для точек числовой
окружности;
3) знать свойства основных
тригонометрических функций;
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса и уметь отмечать их
на числовой окружности.
20.01.2018
3

4. 1. Найти координаты точки М, лежащей на единичной окружности и соответствующей числу

3
3
2
3
2
1
2
3

5. 2. Дана точка М с абсциссой ½. Найдите ординату этой точки; укажите три угла поворота, в результате которых начальная точка

(0;0) переходит в точку М
М
3
2
7
2
3
3
3
1
2
5
2
3
3

6. 2. Дана точка М с абсциссой -½. Найдите ординату этой точки; укажите три угла поворота, в результате которых начальная точка

(0;0) переходит в точку М
М
3
2
1
2
2
3
2
8
2
3
3
2
26
8
3
3

7. Решите уравнение

2
cos x
2
4
х
2
2
4
х
4
2 п, п Z
4
2 п, п Z

8. Решите уравнение

5
6
3
2
5
6
3
cos x
2
5
х
2 п, п Z
6
5
х
2 п, п Z
6

9. Решите уравнение

1
?
cos x 1
cos x 1
cos x 0
cos x 1,5
cos x 10
-1
?
3
cos x
5

10.

Арккосинусом числа а
называют такое число из
промежутка
[0;π ], косинус которого
у
π-arccos a
1
arccos а
равен а
х
π
-а
0
а
-1
arccos (-a)= π -arccos a
0

11.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
1)
1
а 1
1
1
x
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет решений.
1

12.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
2)
1
а 1
1
0
cos х = 1
х = 2πk
1
0
cos х = -1
х = π+2πk
к Z
1
Частные
решения
x

13.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
3) а
=0
x
2
1 2
1
0
1
x
n n Z
2
Частное
решение

14.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
4)
y
1
а 1
arccos а
Корни, симметричные
относительно Оx могут 1
быть записаны:
а
x
arccos a 2 k
х
arccos a 2 k
или
х = ± arccos a+2πk
1
-arccos а
1
Общее решение

15. Уравнение cos х = a называется простейшим тригонометрическим уравнением

Решается с помощью единичной окружности
х1
1. Проверить условие | a | ≤ 1
y
a
0
-1
1
x
2. Отметить точку а на оси
абсцисс (линии косинусов)
3. Провести перпендикуляр из
этой точки к окружности
4. Отметить точки пересечения
перпендикуляра с окружностью.
5. Полученные числа– решения
уравнения cosх = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-х1
х х1 2 n
n Z

16. Подводим итоги

При
а 1
cos x = a
Решений нет
а=1
а=0
а = -1
Частные решения
(единичная окружность!!!)
1 a 0
Общее решение
0 a 1
х arccos a 2 n, n Z
arccos a arccos a

17.

1) Имеет ли смысл выражение
3
arccos
4
2) Может ли arccos
7
12
13
a принимать значение
13
12
3) Вычислите
arccos( 1)
arccos
4
arccos
3
arccos( 0,7)
2
arccos 2
3
arccos
2
2
arccos(
)
2
arccos( 0,5)
arccos

18.

1. Сколько серий решений имеет уравнение:
cos x 2
cos x 1
4
cos x
3
2. Вычислить
1
arccos
2
arccos
2
4
arccos( )
3
cos x 1 2
cos( 2 x ) 0
4
cos x 0
1
arccos( )
2
2
arccos
2
3
arccos(
)
2
cos( x
) 3
2
cos x 0,2
2 cos x 3
arccos 0
arccos( 1)
arccos
2
3

19.

3. Вычислить
cos(arccos 0.2)
2
cos(arccos ( )
3
3
cos cos( arccos )
4
1
sin( arccos )
2
3
4
sin(arccos )
5

20.

4. Вычислить
5 arccos(cos
)
10
3 arccos(cos 2)
8
arccos(cos )
7
arccos(cos 4)

21. Самостоятельная работа

Вариант 1
Вариант 2
1
1. Вычислить
3
a ) arccos
a ) arccos(
)
2
2
2
б) сos(arccos 0,6)
б) sin(arccos
)
2
2. Решить уравнение
2
а ) cos x
2
б ) cos 2 x 0,2
в ) cos( x
) 0
4
г ) 2 cos 2 x 3
1
а ) cos x
2
б ) 2 cos x 0,3
в ) cos( x
) 1
3
г ) cos x cos 2 x sin 2 x sin x 1

22.

2
3
1 2
3
1 2
0
-1
2
3
0
1
2
1
2
1
-1
3
2
x
2
n
2) cos x 1
х 2 n
3) cos x 1
x 2 n
2
3
1
2
2
0
3
2
3
1
2
2 n
3
x 2 n
3
1
2
2
x
2 n
3
2
x
2 n
3
cos x
3 5
2 3
7 5
3 2
cos x a, где 1 a 1
1
cos x
2
x
8
3
2
4
3
3 2
-1
3
Частные случаи:
1) cos x 0
x arccos a 2 n, n Z
x arccos
x
3
1
2 n;
2
2 n
1
x arccos n;
2
1
x arccos 2 n;
2
x
2
2 n
3