Численные методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений

1.

Тема 1. Численные методы алгебры
Лекция 3. Численные методы решения нелинейных
и трансцендентных уравнений
Цель:
изучить
систематизированную
основу
теоретических знаний по численным методам решения
нелинейных и трансцендентных уравнений.
Учебные вопросы:
3.1. Постановка задачи.
3.2. Способы отделения корней.
3.3. Методы уточнения корней .
Литература к лекции 3:
[1], с. 50…69;
[2], c. 30…43;
[3], c. 42…46.
1

2.

Отделение корней
1) 1, 2, если f ( i ) f ( i ) 0, i = 1,2, a f ( x ) - знак
пост., то на интервалах ( α1, β1 ) и ( α 2, β 2 )
находится один корень;
2) 3, если f ( 3 ) f ( 3 ) 0, а f ( 3 ) 0, то на
интервале ( α3, β 3 ) находится двухкратный
корень;
3) 4, если f ( 4 ) f ( 4 ) f ( 4 ) 0,
а f ( 4 ) 0, то на ( α4 , β 4 ) находится трёхкратный корень.
a 0 x a1 x
n
n 1
a2 x
n 2
... an 1 x an 0.
2

3.

Метод половинного деления
1)
x1 ( a0 b0 ) / 2,
2) x2 ( x1 b0 ) / 2,
ε1 = ξ - x1 ≤ ( a0 -b0 ) / 2 ;
2
ε 2 = ξ - x2 ≤ x2 - x1 / 2 = ( a0 -b0 ) / 2 ;
…………………………………………………….
K) xK ( xK 1 xK 2 ) / 2,
xK xK 1 xK 2 / 2 ( a0 b0 ) / 2 ;
K
( a0 b0 )
lim xK , так как lim lim
0.
K
K
K
K
2
xK +1 - xK ≤ ε → stop , ξ ≈ ( xK +1 + xK ) / 2.
3

4.

Метод Ньютона (касательных)
x0 b;
x1 x0 h0 , h0 f ( x0 ) / f ( x0 );
x2 x1 h1 , h1 f ( x1 ) / f ( x1 );
............................
xK 1 xK hK , hK f ( xK ) / f ( xK );
K 0,1,2,...;
xK 1 xK , xK 1 .
4

5. Метод простых итераций

f ( x ) 0,
x a ,b ,
x x f ( x ), ( x ) x f ( x ),
x ( x ), x a ,b ,
x = x0
=
а+b
, xK = ( xK 1 ), K = 1,2,....
2
(1)
(2)
(3)
Условие сходимости к « » итерационной
последовательности (3):
( x ) q 1, x a ,b .
(4)
Условие остановки итерационной последовательности (3):
xK xK 1
1 q
, xK .
q
(5)
5