Системи масового обслуговування

1. Системи масового обслуговування

2. Характеристики ефективності функціонування СМО

середня кількість вимог, які система може обслужити за
одиницю часу;
середній відсоток вимог, які не були обслужені;
ймовірність того, що вимогу, яка надійшла до системи,
буде прийнято для обслуговування;
середній час очікування вимоги в черзі;
закон розподілу часу очікування;
середня кількість вимог у черзі;
закон розподілу числа вимог у черзі;
коефіцієнт завантаження пристрою для обслуговування;
середня кількість пристроїв, зайнятих обслуговуванням.

3. Основні характеристики СМО

вхідний потік вимог – вимоги, які
надходять до СМО на обслуговування;
дисципліна черги;
механізм обслуговування, правила, за
якими здійснюється обслуговування;
вихідний потік вимог – вимоги, які
залишають систему;
режими роботи системи.

4. Вхідний потік вимог

Регулярний
Δt1 = Δt2 = …= Δtn , де Δti = const
Випадковий
Δt1 ≠ Δt2 ≠ …≠ Δtn , де Δti = var
Стаціонарний
x(t1 + b) – x(tb), x(t2 + b) – x(tb), … , x(tn + b) – x(tb)
Ординарний
lim
t i 0
Pj ti
ti
0
Незалежний (відсутність післядії)

5. Характеристики СМО

Функція розподілу часу обслуговування V(t)
V t 1 e t
де
1
-інтенсивність обслуговування
tобсл.
Інтенсивність вхідного потоку - λ
1
tнадх.

6. Одноканальна СМО

Одноканальна СМО з
відмовами
Одноканальна СМО з
обмеженою чергою
Одноканальна СМО з
очікуванням
Одноканальна СМО з
обмеженим часом очікування

7. Граф станів одноканальної СМО

S0 – канал вільний (очікування)
S1 – канал зайнятий (обслуговування)
P0 – ймовірність, що канал вільний
Р1 – ймовірність, що канал зайнятий.

8. Рівняння Колмогорова

Розв’язок системи має вигляд:
При
, тому
Ймовірність відмов:
Pв P1 1 P0 1

9.

ЗАДАЧА1. Нехай одноканальна СМО – це процесор.
Інтенсивність потоку задач – λ = 1,0 в хв. Середній час
обслуговування – 1,8 хв. Потік заявок і потік
обслуговування – найпростіші. Визначити в установленому
режимі:
відносну пропускну здатність;
абсолютну пропускну здатність;
ймовірність відмов.
1. Інтенсивність потоку обслуговування
2. Відносна пропускна здатність
q
3. Абсолютна пропускна здатність
1
tобсл.
1
0.555
1.8
0.555
0.356
1 0.555
A q 1 0.356 0.356
4. Рвід = 1 – q = 1 – 0.356 = 0.644
5. Номінальна пропускна здатність

10. Одноканальна СМО

Основні характеристики для одноканальної системи з відмовами:
1. Ймовірність простою системи
2. Ймовірність відмов системи
3. Коефіцієнт завантаження пристрою
P0
Pв P1 1 P0
4. Відносна та абсолютна пропускні здатності системи

11. Одноканальна СМО з обмеженою чергою

1
N 1
1
2. Ймовірність знаходження системи в стані n
1. Ймовірність простою системи
P0
Pn P0 n ,
Pn
1
,
N 1
3. Ймовірність відмовлення в обслуговуванні заявки:
4. Відносна пропускна здатність СМО:
якщо 1,
при
1.
Pvid PN
q 1 Pvid
5. Середнє число заявок, що знаходяться в СМО:
Lc
6. Середній час перебування заявки в СМО:
Тc
7. Середня тривалість перебування заявки у черзі:
8. Середнє число заявок у черзі (довжина черги):
N
nPn
n 0
Lc
1 PN
Тq Тc
1
Lq 1 PN Т q
n 1,2,..., N ,

12. Багатоканальна СМО з відмовами

1. Ймовірність простою системи:
P0
1
n
k
k!
k 0
2. Ймовірність того, що зайнято рівно k каналів обслуговування:
Pk
k P0
k!
3. Середнє число каналів, зайнятих обслуговуванням:
Кc 1 Pvid
4. Ймовірність відмов, абсолютну та відносну пропускні здатності.

13. Багатоканальна СМО з обмеженою чергою

n - кількість пристроїв обслуговування;
m – кількість вимог в системі;
u – ємність буфера.
1. Ймовірність простою системи:
m!
m!
Р0
k n
k 1 k ! (m k )! k n 1 n n! (m k )!
n
k
m
k
1
2. Ймовірність того, що в СМО зайнято точно k пристроїв обслуговування:
k
m!
Рk
P0
k ! (m k )!
, для (1≤k≤n)

14. Багатоканальна СМО з обмеженою чергою

3. Ймовірність того, що в системі знаходиться k задач, коли зайняті всі пристрої
обслуговування:
k
m!
Pk k n
P0
, для (n<k≤m)
n n! (m k )!
4. Середня довжина черги:
k
(k n) m!
Lq k n
P0
n! (m k )!
k n 1 n
m
5. Середнє число задач, що знаходяться в системі:
k
k
m
n
m!
k m!
M в
k n
P0
(
k
1)!
(
m
k
)!
n
n
!
(
m
k
)!
k n 1
k 1

15. Побудова часової діаграми СМО

16. Визначення основних характеристик ефективності роботи СМО

1.
Ймовірність обслуговування вимоги:
P
2.
N об 10
0,18 вимоги / хв
Tсп 55
Ймовірність відмови в обслуговуванні:
P
4.
N об 10
0,83
N
12
Пропускна здатність СМО:
X
3.
об
від
N від 2
0,166
N
12
Імовірність того, що вимога застане 2 пристрої вільними:
P 0
Т віл 3
0,05
Т сп 55

17. Визначення основних характеристик ефективності роботи СМО

5. Ймовірність того, що обслуговуванням зайнятий тільки один пристрій:
Т 1з Т з2 3 6 4
P 1
0,236
Т сп
55
6. Ймовірність того, що обслуговуванням зайняті 2 пристрої:
Т 1з 2 39
P 2
0,709
Т сп 55
7. Середня кількість пристроїв зайнятих обслуговуванням:
N пр 0 Р0 1 Р1 2 Р2 1,654
8. Ймовірність того, що в черзі відсутні вимоги:
Pчер
0
Т чер
Т сп
30
0,545
55

18. Визначення основних характеристик ефективності роботи СМО

9. Ймовірність того, що в черзі 1 вимога:
P
1
чер
1
Т чер
Т сп
6 4 11 9 18 16 27 23 33 30 39 35 17 0,309
55
55
10. Імовірність того, що в черзі 2 вимоги:
P
2
чер
2
Т чер
Т сп
9 8 13 11 23 18
55
8
0,145
55
11. Середня кількість вимог в черзі:
Nчер 0 Р00 1 Р10 2 Р20 0,6
12. Середній час перебування вимог в черзі:
10
tч
t
і 1
іч
N об
3 5 3 7 9 3 4 33
3,3 хв
10
10

19. Визначення основних характеристик ефективності роботи СМО

13. Середній час обслуговування вимоги пристроями:
10
tч
t
і 1
іоб
N об
91
9,1 хв
10
14. Загальний середній час перебування вимоги у СМО:
Т tоб tч 9,1 3,3 12,4 хв
15. Середня кількість вимог у системі обслуговування:
N N n N ч 0,6 1,654 2,254