Множественная регрессия в экономике

1. Множественная регрессия

2.

На любой экономический показатель как правило оказывает влияние не один,
а несколько факторов. Например, спрос на некоторое благо определяется не
только ценой данного блага, но и ценами на замещающие и дополняющие
блага, доходом потребителей и многими другими факторами. В этом случае
вместо парной регрессии M Y x f ( x) рассматривается множественная
регрессия
M Y x1, x2 , , xk f ( x1, x2 , , xk )
(1)
Задача оценки статистической взаимосвязи переменных Y и X , X
формулируется аналогично случаю парной регрессии. Уравнение
множественной регрессии может быть представлено в виде
(2)
, , X (k )
Y f ( , X)
где X X (1) , X (2) , , X ( k ) есть вектор независимых объясняющих
переменных (регрессоры), — вектор параметров (подлежащих
определению), — случайная ошибка (отклонение) , Y — зависимая
(объясняемая) переменная.

3.

Наиболее простой моделью множественной регрессии является линейная
модель множественной регрессии аддитивного вида.
Теоретическое линейное уравнение регрессии имеет вид:
Y 0 1 X
(1)
2 X
(2)
k X
k
(k )
или для индивидуальных наблюдений
yi 0 1xi(1) 2 xi(2)
0 j X ( j )
j 1
k xi( k )
Здесь ( 0 , 1 , 2 , , k ) — вектор размерности (т + 1) неизвестных
параметров j , ( j 1, k ) , называется j -ым теоретическим коэффициентом
регрессии (частичным коэффициентом регрессии). Он характеризует
чувствительность величины Y к изменению X ( j ) регрессора, который
отражает влияние на условное математическое ожидание зависимой
переменной Y объясняющей переменной X ( j ), при условии, что все другие
объясняющие переменные модели остаются постоянными. 0 — свободный
член, определяющий значение Y в случае, когда все объясняющие
переменные равны нулю.

4.

Методом оценки параметров уравнения множественной линейной регрессии
является метод наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в
минимизации суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений зависимой
переменной Y от ее значений Y , получаемых по уравнению регрессии.
Определим предпосылки МНК, позволяющие его применить
Предпосылки МНК
1. Математическое ожидание случайного отклонения , равно нулю для
всех наблюдений:
i : M ( i ) 0
2.
Гомоскедастичность (постоянство дисперсии отклонений). Дисперсия
случайных отклонений ei постоянная:
(i, j ) : D(ei ) D(e j ) 2
3.
Отсутствие автокорреляции.
Случайные отклонения i и j являются независимыми друг от друга
0, i j
cov( i , j ) 2
, i j

5.

Предпосылки МНК (продолжение)
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих
переменных:
(i, j ) : cov( i , xi( j ) ) 0
Модель является линейной относительно параметров. Для случая
множественной линейной регрессии существенными являются еще две
предпосылки.
6. Отсутствие мулътиколлинеарности.
Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная)
линейная зависимость.
7. Ошибки i имеют нормальное распределение i N (0, ) .
5.

6.

Теоретическое уравнение регрессии оценивается эмпирическим уравнением
регрессии, которое имеет вид:
Y a0 a1 X
(1)
a2 X
(2)
ak X
k
(k )
e a0 a j X ( j ) e
j 1
Здесь a0 , a1 , a2 , , ak — оценки теоретических значений 0 , 1 , 2 , , k
коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии);
е — оценка отклонения . Очевидно, для индивидуальных наблюдений
имеем:
yi a0 a1xi(1) a2 xi(2)
ak xi( k ) ei