Оценка точности на основе весов. Теория погрешностей измерений

1. Дополнительные возможности

Оценка точности на основе весов
Вес. Вес измерения - во сколько раз один из
результатов измерений точнее другого. Мера
относительной точности в ТПИ. (Р. Коутс, 1700 г).
p1
k
2
1
,
,
pn
02
p1 2 ,
1
k
n2
02
, pn 2
n
Погрешность единицы веса. Оценка качества на основе
весов
i
0
pi
0
1
0 qi
pi
Обратный вес измерения.
1

2. Дополнительные возможности

Вес функции.
2f f12 12
2
2f
2
1
f
1
2
2
0
0
f n2 n2 2 fi f j rij i j f K x f T
i j
2
i j
1
2
n
f n 2 2 fi f j rij
f 2 Kx f T
0
0 0
i j
Обозначения: 1 qi
pi
2
i
2
0
Q f f12 q1
1
2
x
f f P
f n2 qn 2 fi f j rij q j q j f Qx f T f Rx f T
i j
q1
1
1
Px Qx 2 K x r12 q1 q2
0
r12 q1 q2
q2
1
1
2
2
Px Rx Px
qn
2

3. Дополнительные возможности

Ковариационная матрица измерений (функции) через
матрицу кофакторов (обратных весов) будет
K 02 Q
02
1
Pf 2 f 0
0 Qf
mf
Pf
Проектирование по весу
i f
1
f
fi f
1
f
T
fi fRxe
1
fRx fiT
3

4. Дополнительные возможности

Совместный учет случайных и систематических
погрешностей.
Функция общего вида y f ( x1 , x2 ,..., xn )
f
f
df
dx1 ...
dxn f1dx1 ... f n dxn
x1
xn
df и dxi у и i.
Случайная i и систематическая i, i = i + i,
y
y f1 ( 1 1 ) ... f n ( n n )
4

5. Дополнительные возможности

Выделяем случайные и систематические составляющие
y f1 1 ... f n n
y f1 1 ... f n n
Предельный переход от конечных приращений i к
средним квадратическим погрешностям mi
f f ...
2
Совместный учет
2
1
2
1
2
2
2
2
f 2 2
Систематикой пренебречь если σ > 3 σ (σ / σ > 3),
5

6. Дополнительные возможности

Учет случайной и систематической составляющей для
оценки среднего арифметического
2
2
1
x2
n2 2
2
n n
n
2
Пренебречь систематикой, если
1
x
,
5
5 n
Для суммы углов
2
2
2
2 2
2
2
f n n n
n
Общая формула
2f fKf T
К = Кх + К ,
K T
6

7. Дополнительные возможности

Метод взятия полного дифференциала функции и
переход к СКП:
f S ( x x0 ) ( y y0 )
2
S ( x x0 ) ( y y0 )
2
2
2
2
2S dS 2( x x0 )dx 2( y y0 )dy
2S
2
2
s
2( x x0 ) 2( y y0 )
2
2
x
2
2
y
2
2
(
x
x
)
(
y
y
)
2
2
0
0
2f
x
y
2
2
S
S
7

8. Дополнительные возможности

Для произведения:
V a b c
ln(V ) ln(a) ln(b) ln(c)
dV da db dc
V
a
b
c
V
2
V
2
a
2
a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
8

9. Дополнительные возможности

Численное оценивание погрешности функции
Численное вычисление производной:
f
f ( x ) f ( x)
fi
xi
f
f ( x ) f ( x )
fi
xi
2
f
f ( x1 ,..., xi ,..., xn ) f ( x1,..., xn )
fi
xi
9

10. Дополнительные возможности

Формулы оценки
fKf
2
f
T
1
2 f 1
f i f x1 ,
f 1 f
f n f
f 1 f
K
f f
n
f 1
f
f n K f
f K
f
f
n
, xi ,
, xn
2
f
2
2
2
f
nf
2
10

11. Дополнительные возможности

Оценки на основе интервальной арифметики
числа как интервалы: А = а
A a ; a a; a
перемножение интервальных чисел
A a; a
B b ; b
C A B c ; c
A B a b , a b
tg ( A) tg ( a ), tg (a )
11

12. Дополнительные возможности

Для оценивания меры рассеивания функции:
- получают ее интервальное значение
f инт f , f
- половина значения интервала есть мера
f f
2
Связь с СКП: 2σf
12

13. Дополнительные возможности

Контрольные вопросы 1 модуль:
1. Теория погрешностей измерений. Общие положения,
цели, задачи.
2. Оценка точности функции (прямая задача ТПИ).
3. Оценка точности вектор функции.
4. Проектирование результатов измерений (обратная
задача ТПИ-1)
5. Проектирование геометрии процесса (обратная задача
ТПИ-2)
6.Дополнительные
возможности
при
обработке
косвенных измерений
13