Доказательство числовых неравенств

1. Доказательство числовых неравенств

2. Что такое числовое неравенство?

Числовое неравенство – это неравенство, в
записи которого по обе стороны от знака
неравенства находятся числа или числовые
выражения.
1<2

3. При доказательстве числовых неравенств используются следующие утверждения, которые являются основными свойствами действительных

1. Для любых действительных чисел , и
из справедливости неравенств
и
следует справедливость неравенства
(свойство транзитивности неравенства)

4.

2. Для любых действительных чисел , ,
и из справедливости неравенств
и
следует справедливость неравенства
(одноимённые числовые
неравенства можно почленно складывать)

5.

3. Для любых положительных чисел , , и
из справедливости неравенств
и
следует справедливость неравенства
(одноимённые числовые неравенства с
положительными членами можно почленно
перемножать)

6.

4. Для любых действительных чисел ,
из справедливости неравенства
следует справедливость неравенства
(к обеим частям неравенства
можно прибавить любое число)
и

7.

5. Для любых действительных чисел , и
любого положительного числа из
справедливости неравенства
следует
справедливость неравенства
(неравенство можно умножить или
разделить на любое положительное число)

8. Отметим, что утверждения 1-5 остаются справедливыми, если в них знаки строгих неравенств заменить на знаки нестрогих

9. Докажем, что для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство □(64&( a+b)/2)≥√ab

10.

11.

12.

Отметим, что
называют средним
арифметическим чисел и , а
геометрическим чисел и
Поэтому свойство, выраженное в
неравенстве
формулируют так:
средним

13.

Докажем, что для любых положительных чисел
справедливо неравенство
Рассмотрим неравенство
в левой части которого записано среднее арифметическое
положительных чисел
геометрическое.
и
Следовательно неравенство
, а в правой – их среднее
справедливо
на основании неравенства между средним арифметическим и
средним геометрическим.
Но тогда на основании утверждения 5 справедливо неравенство
Что и требовалось доказать.