Доказательство неравенств. Решение задач на доказательство неравенств

1. Доказательство неравенств.

Пупкова Т.В., учитель математики МАОУ
«Многопрофильный лицей №1» г. Магнитогорск

2. Решение задач на доказательство неравенств.

При
решении задач на
доказательство неравенств или
равенств часто применяются
следующие способы:

3. Использование формул о среднем арифметическом и среднем геометрическом неотрицательных чисел.

Среднее арифметическое неотрицательных
чисел.
Среднее геометрическое неотрицательных
чисел.

4. Пример использования формул.

Доказать справедливость
неравенства
__
xу + __
уz + zx
__ >_ x + y + z
z
x
y
Для всех положительных х, у, z.

5.

Доказательство:
1) Применим формулу
Истинную для всех положительных значений a, b.
______
______
__
xy + __
yz
z
x
xy
. yz
______
__
__ ;
xy
yz
__ . __
>
_
= y ;
2
√z
xy
zy
__ + __
x
z
______
>
_ y ;
2
x
√z
x

6.

Аналогично:
xy + __
zx
__
z
y
;
______
>
_ x
2
zy + __
zx
__
x
y
______
>
_ z ;
2
Почленным сложением получившихся
неравенств получим истинность
первоначального неравенства.

7. Применение принципа математической индукции.

Математическая индукция — в математике —
один из методов доказательства. Используется,
чтобы доказать истинность некоего утверждения
для всех натуральных чисел. Для этого сначала
проверяется истинность утверждения с номером 1
— база индукции, а затем доказывается, что, если
верно утверждение с номером n, то верно и
следующее утверждение с номером n + 1 — шаг
индукции, или индукционный переход.

8.

Доказательство по индукции наглядно может быть
представлено в виде так называемого принципа
домино. Пусть какое угодно число косточек домино
выставлено в ряд таким образом, что каждая
косточка, падая, обязательно опрокидывает
следующую за ней косточку (в этом заключается
индукционный переход). Тогда, если мы толкнём
первую косточку (это база индукции), то все
косточки в ряду упадут.

9. Пример математической индукции.

Доказать, что, каковы
бы ни были натуральное
n и вещественное q ≠ 1,
выполняется равенство:

10.

Доказательство.
Индукция по n. База, n = 1:
Переход: предположим, что
тогда
Что и требовалось доказать.

11. Использование неравенств вида:

12. Пример использования данных неравенств.

Доказать справедливость
неравенства
(x+2)(y+2)(x+y)≥16xy
При х>0 и y>0

13.

Неравенство, которое нам дано равносильно
следующему:
x+2
y+2
____
____
__ . ____
__ . x+y
__ >
_ 16
√x
√y
√ xy
Преобразуем каждый сомножитель левой
части полученного выражения:
_
_
_
_
x+
2_ = √2 √x
_____
__
__
_ 2 = √x + __
_ + √2
_ ;
√x
√x
√2
√x
(
_
√2
_
_
√x
__
__
_ + √2
_
√2
√x
(
)>_ 2√2;
_
)

14.

Второй и третий множитель аналогично:
_
y
+
_____
__2 >
_ 2√2;
√y
x
+
y
____
__ >
_ 2
√xy
При почленном умножении
получившихся неравенств получим:
x+2
y+2
x+y
____
_ . ____
__ . ____
__ >
_ 16
√x
√y √xy
Что и требовалось доказать.

15. Метод неопределённого неравенства.

Неравенство называется неопределённым,
если у него знак \/ или /\ , т.е. когда мы
не знаем в какую сторону следует повернуть
этот знак, чтобы получить справедливое
неравенство.
Здесь действуют те же правила
доказательства, что и с обычными
неравенствами.

16. Пример неопределенного неравенства.

Доказать справедливость неравенства.
_>
a+1
_ 2
a
где a – положительное число.

17.

Доказательство:
Умножая обе части неравенства на a , получим:
a 2 + 1 \/ 2a
Перенесем все в левую часть:
а 2 + 1 – 2a \/ 0
Получаем формулу: Квадрат разности:
( a – 1 ) 2 \/ 0
Так как квадрат любого числа всегда положительный,
следовательно
( a – 1)2>0
_
Значит и первоначальное выражение истинно, что и
требовалось доказать.

18. Задачи на самостоятельное рассмотрение.

19. №1

Доказать неравенство:
___
_ 6 √xyz
Х(1+У) + У(1+Z) + Z(1+x) >
Для всех неотрицательных х, у, z.

20. Доказательство:

Левую часть представим в виде:
(x+yz) + (y+zx) + (z+xy)
Теперь применим формулу:
{
___
X + yz>
_ 2 √xyz
___
Y + zx>
_ 2 √xyz
___
Z+ xy >
_ 2 √xyz
Почленным сложением
полученных неравенств
убеждаемся в истинности
первоначального
неравенства.

21. №2

Доказать справедливость
неравенства х2+у2+z
_2>12 для
неотрицательных значений х, у, z,
если х + у + z=16.

22. Доказательство

Из истинности неравенств:
Следует:
Возведем обе части равенства в квадрат:
Преобразуем:
2
2
2
2
2
2
x +y ≥2xy; x +z ≥2xz; y +z ≥2yz;
2
2
2
2(х +у +z )≥2xy + 2xz + 2yz
2
2
2
Х +у +z +2(xy+xz+yz)=36
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1)3(х +у +z ) = (х +у +z )+2(х +у +z );
2
2
2
2)(х +у +z ) + 2xy + 2zx + 2yz = 36;

23.

Следовательно получаем:
2
2
2
3(х +у +z ) ≥ 36.
2
2
2
х +у +z ≥ 12.
Что и требовалось доказать.

24. №3

Доказать справедливость неравенства
2
3
2
3
(х +х +х+1) >16х
_
для всех х [0;∞).
э

25. Доказательство.

Данное неравенство при указанных
значениях х равносильно неравенству
х3+х2+х+1≥4х√х
Левую часть преобразуем:
2
2
х (х+1) + (х+1) = (х+1)(х +1)
Применим формулу
для а≥0;
b≥0.
Тогда
2
Х+1≥2√х ; х +1≥2х.
2
Поэтому (х+1)(х +1) ≥ 4х√х
Что и требовалось доказать.