Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. (Семинар 34)

1. Презентация по Математическому Анализу Семинар 34

2.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнение Бернулли.
Дифференциальное уравнение вида
y’+P(x)y=Q(x) (1) относительно y,y’
называется линейным.
Если функция
Q(x)=0 , то уравнение (1) принимает вид y’+P(x)y=0 (2)
называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом случае
P ( x ) dx
переменные разделяются и общее решение уравнения (2) есть y Ce
(3)
Для решения неоднородного линейного уравнения (1) применяем так
называемый метод вариации произвольной постоянной.
Этот
метод
состоит
в
том,
что
сначала
находим
общее
решение
соответствующего однородного линейного уравнения, то есть соотношение (3).
Затем, полагая в этом соотношении величину С функцией от х, ищем решение
неоднородного уравнения (1) в виде (3).

3.

Для этого подставляем в уравнение (1) y, y’, определяемые из (3), и из полученного
дифференциального уравнения определяем функцию С(х).
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) получаем в виде
y C ( x)e
P ( x ) dx
Для решения линейного уравнения (1) можно также применить подстановку y=uv (4) , где
u, v – функции от х.
Тогда уравнение (1) примет вид:
[u’+P(x)u]v+v’u=Q(x)
Если потребовать, чтобы
(5)
u’+P(x)u=0 (6), то из (6) найдем u, затем из (5) найдем v, а
следовательно, из (4) найдем y.

4.

Уравнение Бернулли
Уравнение 1-го порядка вида
y' P( x) y Q( x) y , где 0; 1 , называется
уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному с помощью подстановки z y 1
Можно также непосредственно применять подстановку y=uv, или метод вариации
произвольной постоянной.
Примеры с решениями
1. Решить уравнение
Решение.
y '
2y
x3
x
Замена y=uv.
Далее решаем систему уравнений:
2
u
'
u 0
x
v ' u x 3
u ' P ( x )u 0
v ' u Q ( x )
, то есть в нашем случае

5.

Первое уравнение – уравнение с разделяющимися переменными:
du
2u
du
2dx
1
x6
1
3
5
ln u 2 ln x u 2 v' 2 x v' x v c
dx
x
u
x
6
x
x
Следовательно,
1
x6
y 2 (c )
6
x
2. Решить уравнение
y ' tgx y cos x
Решение. Соответствующее однородное уравнение есть y ' tgx y 0
Решая его, получим
y
C
cos x
.
.
Считая С функцией от х, дифференцируя, находим
y'
1 dC
sin x
C
2
cos x dx
cos x
Подставляя y и y’ в исходное уравнение, получим:
1 dC sin x
C
dC
1
1
2
2
C
tgx
cos
x
cos
x
C
(
x
)
cos
x
dx
x
sin 2 x C1
cos x dx cos 2 x
cos x
dx
2
4
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид
1
1
1
y
x
sin 2 x C1
4
2
cos x
.

6.

3. Решить уравнение
Решение.
y'
4
y x
x
y
Это – уравнение Бернулли 2
1
Полагаем y=uv, получим:
u ' v uv'
4
4
uv x uv v u ' u v' u x uv
x
x
(*)
4
Для определения функции u потребуем выполнения соотношения u ' u 0 u x 4
x
Подставляя это выражение в уравнение (*), получим:
1
v' x x vx v ln | x | C
2
4
4
Следовательно, общее решение получим в виде:
1
y x ln | x | C
2
4
2
2

7.

4. Решить уравнение
Решение.
y '
y
x2 y 4
x
Это – уравнение Бернулли.
Проинтегрируем его методом вариации произвольной постоянной.
Для этого интегрируем сначала соответствующее линейное однородное уравнение
,
y '
y
0 решение которого
x
y
C
x
.
Далее, ищем решение исходного уравнения Бернулли, полагая
y
C ( x)
C ' ( x) C ( x)
, y'
x
x
x2
Подстановка y, y’ в исходное уравнение дает
C ' ( x) C ( x) C ( x)
C ' ( x) C ( x)
2 C ( x)
x
x
x
x
x2
x2
x2
4
4
Интегрируем полученное уравнение:
dC ( x)
C ( x) 4
dx
1
1
3
ln
x
ln
C
C
(
x
)
3
x
3 ln( C / x)
3 C ( x)

8.

Таким образом, общее решение исходного уравнения:
y
C ( x)
1
x
x3 3 ln( C / x)
Примеры для самостоятельного решения.
Решить уравнения:
1.
xy' y x 2 cos x
4. (1 x 2 ) y' y arctgx
2.
2
5. y' sin x y cos x 1; y( / 2) 0
7. y ' 3 ytg3x sin 6 x; y(0) 1 / 3
y
y2
10. y' x 1 x 1
y' 2 xy xe x
8.
11.
(2 xy 3)dy y 2 dx 0
y '
y
xy 2
x
3. y ' cos x y 1 sin x
2
6. y' ( x y ) y
9.
( y 4 2 x) y ' y