Формулы сокращенного умножения. Преобразование выражений

1. Формулы сокращенного умножения. Преобразование выражений.

Урок-повторение для 9 класса
составлен учителем математики
МОУ Лицея №21 г. Кирова Беловой О.Ю.

2. Формулы сокращенного умножения Подберите пару

а b
2
a 3a b 3a b b
3
2
а b
2
a 2ab b
2
2
(a b)(a ab b )
2
2
a
2
2
2
(a b)(a ab b )
3
3
3
a 2ab b
2
(a b)
(a b)
2
2
a b
3
2
b
3
3
(a b)
(a b)(a 2ab b )
2
2
2
(a b)(a b)
2

3. Формулы сокращенного умножения Подобрали пару? Проверьте себя.

а
2
b
a 2ab b
2
2
(a b)
(a b)(a ab b )
2
2
a
3
a
3
3
Квадрат суммы
2
Разность кубов
b
3
a 3a b 3a b b
3
(a b)
(a b)
Разность квадратов
(a b)(a b)
2
2
2
2
3
Квадрат разности
a 2ab b
2
2
(a b)(a ab b )
b
3
2
(a b)(a 2ab b )
2
2
а
2
b
2
2
Куб разности
Сумма кубов
Таких формул нет

4. Формулы сокращенного умножения Разложите на множители.

4
16 p 81
8 a3 b6
a 4a 4
2
2
x y z 2 yz
2
2
a b x y 2ax 2by
2
2
2
2

5. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

4
2
2
16 p 81 (4 p 9)(4 p 9)
8a b
a 4a 4
3
6
2
2
x y z 2 yz
2
2
a b x y 2ax 2by
2
2
2
2

6. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
2
8a b
a 4a 4
x y z 2 yz
3
6
2
2
2
2
a b x y 2ax 2by
2
2
2
2
2

7. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
8 a3 b6
2
(2a b )(4 a 2a b b )
2
2
a 4a 4
2
2
2
2
2
x y z 2 yz
a b x y 2ax 2by
2
2
2
2
2
4

8. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
8a b
3
6
2
2
(2a b )(4 a 2a b b )
2
2
a 4a 4 (a 4a 4)
2
2
2
2
2
2
2
2
x y z 2 yz
a b x y 2ax 2by
2
2
4

9. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
2
2
8a b (2a b )(4 a 2a b b )
3
6
2
2
2
4
2
2
2
a 4a 4 (a 4a 4) (a 2) (a 2)(a 2)
2
x y z 2 yz
2
2
a b x y 2ax 2by
2
2
2
2

10. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
8a b
3
6
2
2
(2a b )(4 a 2a b b )
2
2
2
4
a 4a 4 (a 4a 4) (a b) (a b)(a b)
2
2
2
x y z 2 yz
2
2
2
x
2
2
( y 2 yz z )
a b x y 2ax 2by
2
2
2
2
2

11. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
8a b
3
6
2
2
(2a b )(4 a 2a b b )
2
2
2
4
a 4a 4 (a 4a 4) (a b) (a b)(a b)
2
2
2
x y z 2 yz
2
2
2
x
2
2
( y 2 yz z )
a b x y 2ax 2by
2
2
2
2
2
x ( y z)
2
2

12. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
8a b
3
6
2
2
(2a b )(4 a 2a b b )
2
2
2
4
a 4a 4 (a 4a 4) (a b) (a b)(a b)
2
2
2
x y z 2 yz
2
2
2
x
2
2
( y 2 yz z )
a b x y 2ax 2by
2
2
2
2
2
x ( y z)
2
2
( x ( y z))( x ( y z))

13. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
8a b
3
6
2
2
(2a b )(4 a 2a b b )
2
2
2
4
a 4a 4 (a 4a 4) (a b) (a b)(a b)
2
2
2
2
x y z 2 yz
( x y z)( x
y z)
2
2
x
2
2
( y 2 yz z )
a b x y 2ax 2by
2
2
2
2
2
x ( y z)
2
2
( x ( y z))( x ( y z))

14. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
8a b
3
6
2
2
(2a b )(4 a 2a b b )
2
2
2
4
a 4a 4 (a 4a 4) (a b) (a b)(a b)
2
2
2
2
x y z 2 yz
( x y z)( x
y z)
2
a
2
2
b x
2
2
x
2
2
( y 2 yz z )
y 2ax 2by
2
2
x ( y z)
2
2
( x ( y z))( x ( y z))
(a 2ax x ) (b 2by
2
2
2
2
y)

15. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
8a b
3
6
2
2
(2a b )(4 a 2a b b )
2
2
2
4
a 4a 4 (a 4a 4) (a b) (a b)(a b)
2
2
2
2
x y z 2 yz
( x y z)( x
y z)
2
a
2
2
b x
2
2
x
2
2
( y 2 yz z )
y 2ax 2by
2
2
x ( y z)
2
2
( x ( y z))( x ( y z))
(a 2ax x ) (b 2by
2
2
2
y ) (a x) (b y)
2
2
2

16. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
8a b
3
6
2
2
(2a b )(4 a 2a b b )
2
2
2
4
a 4a 4 (a 4a 4) (a b) (a b)(a b)
2
2
2
2
x y z 2 yz
( x y z)( x
y z)
2
a
2
2
b x
2
2
x
2
2
( y 2 yz z )
y 2ax 2by
2
2
x ( y z)
2
2
( x ( y z))( x ( y z))
(a 2ax x ) (b 2by
2
((a x) (b y))((a x) (b y))
2
2
2
y)
(a x) (b y)
2
2

17. Формулы сокращенного умножения Разложение на множители.

16 p 81 (4 p 9)(4 p 9) (2 p 3)(2 p 3)(4 p 9)
4
2
8a b
3
6
2
2
(2a b )(4 a 2a b b )
2
2
2
4
a 4a 4 (a 4a 4) (a b) (a b)(a b)
2
2
2
2
x y z 2 yz
( x y z)( x
y z)
2
a
2
2
b x
2
2
x
2
2
( y 2 yz z )
y 2ax 2by
2
2
x ( y z)
2
2
( x ( y z))( x ( y z))
(a 2ax x ) (b 2by
2
2
2
2
y)
(a x) (b y)
2
((a x) (b y))((a x) (b y)) (a x b y)(a x b y)
2

18. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

3
x 27 y
9 y x 3xy
3
2
2
x y
x y
3
a b
a 3 b
a 6ab 8b
a 4b
2
2
2
2
(6 3x)
3 x 3x 18
2
2

19. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

3
27 y
3
x
9 y x 3xy
2
2
( x 3 y)( x 3xy 9 y )
x 3xy 9 y
2
2
2
2

20. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

3
27 y
3
x
9 y x 3xy
2
2
( x 3 y)( x 3xy 9 y )
x 3y
x 3xy 9 y
2
2
2
2

21. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

x y ( x y )( x y )
x y
x y

22. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

x y ( x y )( x y )
x y
x y
x y

23. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

3
a b
a 3 b
3 3 3
3
3 a 3 b )(3 2 3 a 3 b 3 2)
( b)
(
a
)
(
a
b
3 a 3 b
3
3 a b

24. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

3
a b
a 3 b
3
3 3 3
3
3 a 3 b )(3 2 3 a 3 b 3 2)
( b)
(
a
)
(
a
b
3 a 3 b
3
3 a b
2 3 3
2
a a b 3 b

25. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

a 6ab 8b
a 4b
2
2
2
2
a 6ab 9b b
a (2b)
2
2
2
2
2

26. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

a 6ab 8b
a 4b
2
2
2
2
a 6ab 9b b
a (2b)
2
2
2
2
(a 3b) b
(a 2b)(a 2b)
2
2
2

27. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

a 6ab 8b
a 4b
2
2
2
2
a 6ab 9b b
a (2b)
2
(a 2b)(a 4b)
(a 2b)(a 2b)
2
2
2
(a 3b) b
(a 2b)(a 2b)
2
2
2
(a 3b b)(a 3b b)
(a 2b)(a 2b)

28. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

a 6ab 8b
a 4b
2
2
2
2
a 6ab 9b b
a (2b)
2
(a 2b)(a 4b)
(a 2b)(a 2b)
2
2
a 4b
a 2b
2
(a 3b) b
(a 2b)(a 2b)
2
2
2
(a 3b b)(a 3b b)
(a 2b)(a 2b)

29. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

(6 3x) ( 3( x 2))
3 x 3x 18 3( x x 6)
2
2
2
2

30. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

(6 3x) ( 3( x 2))
3 x 3x 18 3( x x 6)
2
2
2
x x 6 0
x1 x 2 6
x1 x 2 1
2
2
x 3
x 2
x 2 x 6 ( x 3)( x 2)
1
2

31. Формулы сокращенного умножения Сократите дроби.

(6 3x) ( 3( x 2)) 9( x 2)( x 2)
3 x 3x 18 3( x x 6) 3( x 3)( x 2)
2
2
2
x x 6 0
x1 x 2 6
x1 x 2 1
2
2
x 3
x 2
x 2 x 6 ( x 3)( x 2)
1
2
3( x 2)
x 3

32. Формулы сокращенного умножения Упростите выражения.

10 3
(
2
10 3)
5 3 5 3
5 3
5 3
( x y)( x y ) x y y x
x y xy
( a a b b ab ) : (a b) 2 b
a b
a b
a b 3 ab 3 a b
3
2 3 2 3 2
3 2
a b
a 2 ab b 6 b
6 a 6 b
2
*
3
2

33. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

2
10 3
(
10 3)
2
(
10 3)
(
10 3)
10 3 10 3
2
2
т.к.
10 3
10 3 (
10 3 0
10 3)
2

34. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

(
10 3
10 3 2
2
10 3)
(
10 3
10 3 10 3
10 3)
2
2
10 3
10 3 (
10 3)
2

35. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

(
10 3
10 3 2
2
10 3)
(
10 3
10 3 10 3
10 3)
2 10 2 ( 10 3)( 10 3)
2 10 2
2
10 32
2 10 2 10 9
2 10 2
2
2
10 3
10 3 (
10 3)
2

36. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

5 3 5 3
5 3
5 3
2
2
( 5 3)
5 3)
( 5 3 )( 5 3 )
(

37. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

5 3 5 3
5 3
5 3
2
2
( 5 3)
5 3)
( 5 3 )( 5 3 )
(
(( 5 3) ( 5 3))(( 5 3) ( 5 3))
2
( 5)
(
2
3)

38. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

5 3 5 3
5 3
5 3
2
2
( 5 3)
5 3)
( 5 3 )( 5 3 )
(
(( 5 3) ( 5 3))(( 5 3) ( 5 3))
2
( 5)
(
2
3)
( 5 3 5 3)( 5 3 5 3)
5 3

39. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

5 3 5 3
5 3
5 3
2
2
( 5 3)
5 3)
( 5 3 )( 5 3 )
(
(( 5 3) ( 5 3))(( 5 3) ( 5 3))
2
( 5)
(
2
3)
( 5 3 5 3)( 5 3 5 3)
5 3
( 2 3)(2 5)
2 15
2

40. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

( x y)( x y ) x y y x
x y xy
x x y x x y y y x y y x
x y xy

41. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

( x y)( x y ) x y y x
x y xy
x x y y
x y xy
( x )3 ( y )3
x y xy
x x y x x y y y x y y x
x y xy

42. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

( x y)( x y ) x y y x
x y xy
x x y y
x y xy
( x )3 ( y )3
x y xy
x x y x x y y y x y y x
x y xy
( x y )( x xy y
x y xy
2
2
)

43. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

( x y)( x y ) x y y x
x y xy
x x y y
x y xy
( x )3 ( y )3
x y xy
( x y )( x xy y)
x y xy
x x y x x y y y x y y x
x y xy
( x y )( x xy y
x y xy
x y
2
2
)

44. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

( a a b b ab ) : (a b) 2 b
a b
a b
3
1)
3
( a) ( b)
a b
(
a b )( a 2 ab b 2)
2
a 2 ab b
a b

45. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

( a a b b ab ) : (a b) 2 b
a b
a b
1)
2)
3
3
( a) ( b)
a b
(
a b )( a 2 ab b 2)
2
a 2 ab b
a b
(a ab b) ab a 2 ab b
(
2
a b)

46. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

( a a b b ab ) : (a b) 2 b
a b
a b
1)
2)
3)
3
3
( a) ( b)
a b
(
a b )( a 2 ab b 2)
2
a 2 ab b
a b
(a ab b) ab a 2 ab b
( a b ) : (a b)
2
(
2
a b)
( a b )( a b )
a b
( a b )( a b )
a b

47. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

( a a b b ab ) : (a b) 2 b
a b
a b
3
1)
2)
3)
4)
(
3
( a)
b)
a b
(
a b )( a 2 ab b 2)
2
a 2 ab b
a b
(a ab b) ab a 2 ab b
( a b ) : (a b)
2
(
2
a b)
( a b )( a b )
a b
( a b )( a b )
a b
a b
2 b
a b 2 b
a b
1
a b
a b
a b
a b

48. Формулы сокращенного умножения Упрощаем выражение:

a b 3 ab 3 a b
3
2 3 2 3 2
3 2
a b
a 2 ab b 6 b
6 a 6 b
2
*
3
1)
3
a b
a b
2
3
2
3
3
a
a
3
3
2
3
3
b
b
2
2
(3
a b )( a ab b ) a ab b
( a b )( a b)
a b
3
3
2
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
3
3
3
2
3
a b2 3 a 2b
ab (3 b 3 a ) 3 ab (3 a 3 b ) 3 ab
2
2
3 a 3 b
3
2
3
3
3
3
3
2
a 2 ab b
( a b)
( a b)
3
2)
3
3)
3
a ab b
a b
2
3
3
3
3
3
3
4)
2
3
ab
a b
3
3
ab b
a
a b
2
2
3
5)
3
3
a b ( a b )( a b ) a b
a b
a b
3
6
6
6
6
6
6
3
6
6
6
a b b a
6
6
6
6
6
2
2
3
3
(
a
b)
a b
3
3
3
a b
3

49. Формулы сокращенного умножения Решите систему уравнений:

у 3xy x 2 x y 9 0
y x 2
2

50. Формулы сокращенного умножения Проверьте решение системы уравнений:

у 3xy x 2 x y 9 0
y x 2
2
( у 2 xy x 2) xy x y 9 0
y x 2
2
( у x) xy ( y x) 9 0
y x 2
2

51. Формулы сокращенного умножения Проверьте решение системы уравнений:

у 3xy x 2 x y 9 0
y x 2
2
( у 2 xy x 2) xy x y 9 0
y x 2
2
( у x) xy ( y x) 9 0
y x 2
2
2 xy 2 9 0
y x 2
2
xy 15
y 2 x
x(2 x) 15
y 2 x
x 2 2 x 15 0
y 2 x

52. Формулы сокращенного умножения Проверьте решение системы уравнений:

у 3xy x 2 x y 9 0
y x 2
2
( у 2 xy x 2) xy x y 9 0
y x 2
2
( у x) xy ( y x) 9 0
y x 2
2
2 xy 2 9 0
y x 2
2
xy 15
y 2 x
x(2 x) 15
y 2 x
x 2 2 x 15 0
y 2 x
x 2 2 x 15 0
x1 x 2 2
x1 x 2 15
x1 5
x2 3

53. Формулы сокращенного умножения Проверьте решение системы уравнений:

у 3xy x 2 x y 9 0
y x 2
x 2 2 x 15 0
2
x1 x 2 2
x1 x 2 15
( у 2 xy x 2) xy x y 9 0
y x 2
2
x1 5
y1 2 x
x2 3
y2 2 x
( у x) xy ( y x) 9 0
y x 2
2
2 xy 2 9 0
y x 2
2
xy 15
y 2 x
x(2 x) 15
y 2 x
x 2 2 x 15 0
y 2 x
ОТВЕТ :
( 5; 3)
(3;5)
x1 5
x2 3
x1 5
y1 3
x2 3
y2 5

54. Формулы сокращенного умножения Проверьте себя:

• 1. В каких случаях, при решении каких заданий можно
использовать формулы сокращенного умножения?
• 2. Почему выгодно применять формулы сокращенного
умножения?
• 3.Сделайте вывод для себя, что показалось трудным в
данных заданиях?
Обратите на подобные задания особое внимание.

55. Формулы сокращенного умножения Домашнее задание.

• 1.Сократите дроби.
2ab 25
1) a a b b5
2
9 x2 9 x 2
2)
3x 1
2
2. Упростите выражения.
3(20 m n 50m n )
1) (2m 5n)
3
5)
2
2bc)(a b c)
(a b c)(a c 2ac b )
(a b c
2
3)
2
2
2
2
a b ab
a b a b
3
3
2
2
2
2
3
2 xy y ( x 2( x y))
x
2) ( x 2 xy )
(( y x)3)
x 2 y ) ( x 2 y)
(
x
4) y xy x y x2 xy y
2
2
3
2
2

56. Формулы сокращенного умножения Домашнее задание.

1. Проверьте сокращение дробей.
1) a 2ab b 25 (a b) 5 (a b 5)(a b 5) a b 5
2
2
a b 5
2
a b 5
2
a b 5
2) 9 x2 9x 2 (9 x 2 6x 1) 3x 1 (3x 1)2 (3x 1)
3x 1
3x 1
(3x 1)(3x 1 1)
3x 2
3x 1
3x 1

57. Формулы сокращенного умножения Домашнее задание.

2.Проверьте упрощение выражений.
(2m 5n) 3(20 m n 50m n ) (2m 5n) 30mn(2m 5n)
1)
(2m 5n)((2m 5n) 2 30mn) (2m 5n)(4 m 2 20mn 25 n 2 30mn)
(2m 5n)(4 m 2 10mn 25 n 2) 8 m3 125 n3
3
2
2
3

58. Формулы сокращенного умножения Домашнее задание.

2.Проверьте упрощение выражений.
2)
3
2 xy y ( x ( x y))
x
(
)
2
x xy
(( y x)3)
( x y) x ( x y)
x
x ( x y) ( y x)
2
2
2
6
6
3
3
6
3
3
3
2 6
(( x y) ) x ( x y)
3
3
2
( x( x y)) ( y x)
3
6

59. Формулы сокращенного умножения Домашнее задание.

2.Проверьте упрощение выражений.
2
2
2
3) (a b c 2bc)(a b c)
(a (b 2bc c ))(a b c)
2
2
2
(a b c)(a c 2ac b )
(a b c)((a c) b )
(a (b c) )(a b c) (a b c)(a b c)(a b c)
1
(a b c)((a c) b ) (a b c)(a c b)(a c b)
2
2
2
2
2
2
2
2
2

60. Формулы сокращенного умножения Домашнее задание.

2.Проверьте упрощение выражений.
2 y ) ( x 2 y)
4)
2
x
y xy x y x xy y
2 2 xy y 2
2 2 xy y 2
x
2
y
xy
x
x
(
) (
)
2
y( x y) x y x( x y)
xy
xy( x y) x 2 2 xy y
( x y) 2 xy 1
xy ( x y) ( x y) 2 x y
(
x
2

61. Формулы сокращенного умножения Домашнее задание.

2.Проверьте упрощение выражений.
5) a b ab (a b)(a 2 ab b 2) ab
a
b
a
b
a b
(a b)(a b)
a 2 ab b 2 ab (a b) 2 a b
a b
a b
3
3
2
2