Начертательная геометрия. Пересечение плоскостей

1.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Пересечение плоскостей
Слайд-фильм
z
V
A"
y
A'''
W
A
x
z
o
x
A'
H
2013 г.
y

2.

31
2
3.5.1. Прямая линия, пересекающая плоскость
Поставлена задача:
Определить точку К пересечения данной прямой а с плоскостью a.
Определить видимость прямой.
Решение задачи выполняется в три этапа.
Алгоритм решения задачи
1
Заключить данную прямую во
вспомогательную плоскостьпосредник (проецирующую или
уровня)
3
2
Построить линию пересечения
вспомогательной плоскостипосредника с заданной
Найти точку пересечения
полученной линии пересечения с
заданной прямой
Символическая запись алгоритма
a S(S')
m=S a(ABC)
K=m a
Определить видимость прямой a по правилу конкурирующих точек

3.

32
S
Геометрические образы (пл. АВС, прямая а)
спроецированы на плоскость П.
a
B
A
А теперь посмотрите как выполняются эти
этапы алгоритма на пространственном рисунке
и при проецировании всех элементов задачи на
плоскости П.
C
Выполняем 1-й этап алгоритма
B'
A'
H
C'
a S(S')

4.

33
Выполняем 2-й этап алгоритма
S
a
B
A
1
2
C
B'
A'
1'
2'
П
C'
m=S a(ABC)

5.

34
Выполняем 3-й этап алгоритма
S
a
B
A
K=m a
1
K
2
C
Точка К - искомая точка пересечения данной
прямой а с плоскостью АВС.
B'
A'
1'
K'
2'
H
C'

6.

35
Рассмотрим применение данного алгоритма при решении
задачи на построение точки К пересечения прямой а с
плоскостью a. Возможны три варианта условия данной
задачи:
- прямая а - общего положения, плоскость a проецирующая (или уровня);
- прямая а - проецирующая, плоскость a - общего
положения;
- прямая а - общего положения, плоскость a - общего
положения.
Решение первых двух задач можно выполнить, не применяя
алгоритма, так как один из заданных образов частного
положения.

7.

36
C2
A2
K2
a2
B2
a1
C1
A1
K1
B1
В первом случае плоскость a (АВС) горизонтально проецирующая.
Поэтому горизонтальная проекция К1
искомой точки К определяется как точка
пересечения линейной проекции А'В'С'
плоскости a с горионтальной проекцией а1
данной прямой а.
Фронтальная проекция К2 точки К строится
из условия принадлежности точки К прямой а.

8.

37
B"
A"
_
a" _ K "
1"
Построение горизонтальной проекции К'
точки К выполняется из условия принадлежности точки К плоскости a: точка К
принадлежит плоскости a, так как она
принадлежит ее прямой A1 (К' находится как
точка пересечения прямой A' 1' с прямой а' ).
C"
B'
a'
A'
K'
1'
C'
Во втором случае прямая а - фронтальнопроецирующая.
Поэтому фронтальные проекции любой ее
точки, а также и искомой К пересечения а с
плоскостью a (АВС), совпадает с ее вырожденной проекцией a" К".
Видимость прямой а в этих задачах решается просто - с помощью реконструкции данных
образов (по наглядности).

9.

38
a2
c2
d2
c1
d1
a1
В третьем, общем, случае построение
искомой точки К пересечения прямой а с
плоскостью a (c//d) выполнено по описанному алгоритму.
1) прямую а заключают во вспомогательную
горизонтально проецирующую плоскостьпосредник S(S1);
2) строят прямую m пересечения плоскостей
a (c//d) и S(S1). На чертеже это отразится
записью (a1 S1 m1 ). Фронтальную
проекцию m2 строят из условия ее
принадлежности данной плоскости a(m и a
имеют общие точки 1 и 2);
3) находят точку K2 , как результат пересечения a2 с m2, а K1 строят по принадлежности
прямой m1. Точка K(K2, K1) - искомая точка
пересечения прямой a с плоскостью a (c//d).

10.

39
22
a2
m2
c2
32
K2
12
d2
c1
21
d1
_
_
11_ 31
_
_ _
_
a1 _ S1 _ m1
K1
Задачу заканчивают определением
видимости прямой по правилу
конкурирующих точек. Так, на плоскости Н
видимость определена с помощью горизонтально конкурирующих точек 1 и 3(11 31),
где точка 1 принадлежит плоскости a а точка
3 - прямой a. Точка 3 расположена над точкой
1, поэтому точка 3 и прямая a в этом участке
на плоскости П1 будет видима.
На фронтальной плоскости видимость
может быть определена или с помощью пары
фронтально-конкурирующих точек, или по
реконструкции данных образов (при восходящей плоскости видимость одинаковая на
плоскостях П1 и П2).
Данная задача после определения видимости прямой а имеет вид данного рисунка.

11.

42
Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения
Для определения точек линии пересечения обе заданные плоскости a и b пересекают двумя
вспомогательными (параллельными между собой) плоскостями-посредник. Некоторое
упрощение можно достичь, если вспомогательные плоскости проводить через прямые,
задающие плоскость.
Рассмотрим пример. Плоскость a задана (ABC), плоскость b задана (DEK). Точки M и N,
определяющие искомую линию пересечения двух данных плоскостей найдем как точки
пересечения каких-либо двух сторон (как две прямые) треугольника ABC с плоскостью другого
треугольника DEK, т.е. дважды решим позиционную задачу на определение точки пересечения
прямой с плоскостью по рассмотренному алгоритму.
Выбор сторон треугольников произволен, так как только построением можно точно определить,
какая действительно сторона и какого треугольника пересечет плоскость другого. Выбор
плоскости-посредник также произволен, так как прямую общего положения, какими являются
все стороны треугольников ABC и DEK, можно заключить в горизонтально проецирующую
или во фронтально проецирующую плоскости.

12.

43
Z
B2
П2
C2
N2
D2
M2
Здесь вы видите аксонометрическое изображение решения
задачи на определение линии
MN пересечения двух плоскостей ABC и DEK.
E2
A2
B
K2
O
D
M
X
E
N
C
A
K
B1
E1
M1
K1
A1
C1
П1
N1
D1
Y

13.

44
D2
B2
12
M2
E2
A2
C2
22
K2
B1
E1
21
K1
M1
11
C1
A1
S1
D1
1-й этап решения
Для построения точки M использована
горизонтально проецирующая плоскость посредник S (S 1), в которую заключена сторона
AB ∆ ABC (AB a).
1. Обозначаем горизонтально проецирующую
плоскость - S
2-й этап решения
Строим линию пересечения (на чертеже она
задана точками 1 и 2) плоскости-посредника S
(S1) и плоскости DEK.
2. Ставим точки пересечения на плоскости П1
- 11 и 21 и переносим их на П2 на одноименные
стороны треугольника- 12 и 22 Соединяем
точки 12 и 22 тонкой линией.
3-й этап решения
Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с
прямой AB.
3. Пересечение проекций прямых 1222 и А2В2
обозначаем М2 и переносим её на
горизонтальную проекцию прямой А1В1 - М1
Найдена одна точка M искомой линии
пересечения.

14.

45
D2
B2
32
12
42
M2
E2
N2
C2
52
A2
22
K2
B1
E1
21
K1
M1
11
1
N1
A1
S1
41
31
D1
C1
Для построения точки N использована
горизонтально проецирующая плоскость
( 1 ), в которую заключена сторона AC
∆ABC.
Построение аналогично предыдущим.
1. Обозначаем горизонтально
проецирующую плоскость 1
2. Ставим точки пересечения 3 1 и 4 1 .
3. Переноси точки 3 1 и 4 1 на
фронтальную проекцию на
одноименные стороны треугольника 32 и 42 .
3. Пересечение проекций прямых 3242 и
D2K2 обозначаем N2 и переносим её на
горизонтальную проекцию прямой D1K1 N1 .
Обращаем внимание, что фактически
видимым стало пересечение ∆ABC
прямой DK, а не АС! Если повторить
решение заключив в проецирующую
плоскость DK, то ответ будет таким же.

15.

Направление взгляда
для определения
видимости на П1
12
32
D2
B2
42
M2
E2
N2
C2
52
_
_7
62 _
2
82
A2
22
K2
E1
B1
71
21
K1
M1
11
61
A1
S1
1
N1
_
_
41_ 81
31
D1
C1
46
Определение видимости
Определение видимости на плоскости П1
выполнено с помощью горизонтально
конкурирующих точек. Смотрим на
горизонтальную проекцию
скрещивающихся прямых АС и DК. На
прямой АС есть точка 4, на проекции
прямой DK ставим точку 8 (41 81).
Точка 4 расположена над точкой 8 (42
и 82), поэтому на плоскости П1 часть
треугольника DEK, расположенная в
сторону точки 4, закрывает собой часть
треугольника ABC, расположенную от
линии пересечения в сторону точки 8.
С помощью пары фронтально конкурирующих точек 6 и 7 (62 72) определена
видимость на плоскости П2.
Невидимые линии проводим тонкой
штриховой линией, а видимые толстой
основной.

16.

4.1. Способ замены плоскостей проекций
V
V1
A"
A"1
A
x
A'
H
x1
47
Этот способ состоит в том, что заданная
фигура неподвижна, а одна из основных
плоскостей V или H заменяется новой
дополнительной плоскостью V1 или H1,
расположенной параллельно или перпендикулярно заданной геометрической
фигуре. Точка A задана в системе V/H.
Плоскость V замерена новой плоскостью
V1 перепендикулярной H. Плоскость H
является общей в системе V/H и H/V1,
то координата zA остается неизменной.
Следовательно, расстояние от новой
фронтальной проекции до новой оси x1
равно расстоянию от заменяемой
проекции до оси x.

17.

42
Для получения плоского чертежа точки А плоскость V1 вращают вокруг оси x1
до совмещения с плоскостью H.
Новая фронтальная проекция A1" точки А окажется на общем перпендикуляре
к новой оси x1 с оставшейся без изменения ее проекции A'.
V
V1
A"
A"1
A
A"1
x
A'
V1
H
x1

18.

Решение четырех основных задач способом замены
плоскостей проекций
Задача 1.
Преобразовать чертеж так, чтобы
прямая общего положения оказалась
параллельной одной из плоскостей
проекций
V
A"1
A
A"
44
V1
a "1
a"
B"
a
A'
a'
H
B"1
B
B'
x1
x
Новую проекцию прямой, отвечающую поставленной задачи, можно построить на
новой плоскости проекций V1 , расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно плоскости H, т.е. от системы плоскостей V/H с осью проекций x следует
перейти к системе H/V1 с новой осью x1.

19.

B"
= н.в.
a"
45
a'1
b
A"
xV
H
B'1
A'1
A'
a'
x1 H
V1
A"1
H1
x1 V
B"
B'
A"
a
= н.в.
a"1
B"1
а)
x
V
H
A'
a'
б)
B'
На плоском чертеже новая ось x1 проведена параллельно a', новые линии связи A'A1"
и B'B1" проведены перпендикулярно оси x1. Новые фронтальные проекции A1" и B1"
точек A и B получают, измерив от оси x на поле V координаты высот zA и zB,
отложив их от оси x1 на новое поле V1.
Новая проекция a1" дает натуральную величину отрезка AB и угол a наклона его
к плоскости H.
Угол наклона прямой a к плоскости V можно определить, построив изображение
прямой на другой дополнительной плоскости H1 V, где H1// a.

20.

47
Задача 3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения
в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей.
B'1
B"
B"
b
h"
A"
C"
xV
H
C'
C "1
_
A"1 _ h"1
h'
A'
а)
H V1
x1
C '1
C"
V H1
x1
B'
xV
H
f'
a
B'
f"
A"
_
A'1 _ f1'
A'
C'
B"1
б)
Для этого в плоскости ABC проведена горизонталь h. Новая плоскость проекций V1
расположена перпендикулярно H. Горизонталь на поле V1 изобразится точкой, а вся
плоскость прямой линией C1"A1" B1" с углом a, который определяет угол наклона
плоскости ABC к плоскости H (рис.а).
Построив изображение плоскости в системе V/H1, где H1 расположена перпендикулярно
фронтали f (рис. б) плоскости, можно определить угол b наклона ABC к плоскости V.

21.

Задача 4. Преобразовать чертеж так, чтобы проецирующая плоскость в новой
системе плоскостей проекций заняла положение плоскости уровня.
B1'
B"
= н. в.
A'1
A"
C 1'
A"
B"
C"
A'
xV
H
H1
x
V 1
C"
x V
H
B'
C'
A'
C "1
H
x1
V1
C'
B'
а)
A"1
= н. в.
б)
B"1
Решение этой задачи позволяет определять натуральные величины плоских фигур
и углов.
Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости.
Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим (рис. а), то
новое изображение строят в системе V/H1, а если горизонтально проецирующем
(рис. б), то в системе H/V1.
Новая ось проекций x1 будет параллельна линейной проекции заданной плоскости.
48