Нелинейное программирование

1. Нелинейное программирование

Геометрический способ решения
ЗНЛП
Метод неопределенных множителей
Лагранжа

2.

Нелинейное программирование
f ( x1 ,..., xn ) max(min)
g i ( x1 ,..., xn ) bi
(i 1, m)
f ( x1 ,..., xn ) max(min)
g i ( x1 ,..., xn ) bi
(i 1, m)
- задача классической оптимизации
Отличия от ЗЛП:
1. ОДЗ не обязательно выпуклая.
2. Экстремум не обязан находится на границе ОДЗ.

3.

Пример:
F ( x1 3) 2 ( x2 4) 2 min, max
3 x1 2 x 2 7
10 x1 x 2 8
18 x 4 x 12
1
2
x1 , x 2 0
X2
h
3
( x1 3) 2 ( x2 4) 2 h
2( x1 3) 2( x2 4) x 0
Tmin
4
1
X1
'
2
x2'
2( x1 3) x1 3
2( x2 4) 4 x2
x1 3 10(4 x2 )
10 x1 x2 8
123 * 422
; x2
101
101
324
f (min)
101
x**1 2, x** 2 12,
x1*
f (max) 65

4.

Пример:
F ( x1 1) 2 ( x2 4) 2 min, max
X2
h
3
4
1
X1

5.

Метод неопределенных множителей Лагранжа
Данным методом решаются задачи нелинейного программирования
с условным экстремумом:
f ( x ,..., x ) max
1
n
g ( x ,..., x ) b (i 1,m)
i 1
n
i
m
F f ( x ,..., x ) [b g ( x ,..., x )]
1
n
i i i 1
n
i 1
f ( x ,..., x ) m g ( x ,..., x )
F
1
n i 1
n 0
i
x
x
x
i
1
j
j
j
F b g ( x ,..., x ) 0 (i 1, m)
i i 1
n
xi
( j 1,n)

6.

Задача
По плану производства продукции предприятию необходимо
изготовить 180 изделий. Они могут быть изготовлены двумя
способами.
При производстве x1 штук первым способом затраты на них
4 x1 x12 рублей.
При производстве x2 штук вторым способом затраты на них
8 x2 x22 рублей.
Определить: сколько изделий каждым способом нужно
изготовить, чтобы затраты на производство были минимальными.
F 4 x x2 8x x2 min
1 1
2 2
x x 180
1 2
F 4 x x 2 8x x 2 (180 x x )
1 1
2 2 1
1 2
F
4 x 2 x 0
1 1
x
1
F
8 2 x
0
2
2
x
2
F
180 x x 0
1 2
1
F 17278 – затраты.
x* 91, x* 89
1
2