Интегрирование ФКП

1.

Пусть на комплексной плоскости z дана кривая
L. Граничные точки этой кривой: z0 и zn (если
кривая замкнутая, то z0=zn).
Установим положительное направление: от точки
z0 к zn.
Предположим, что функция комплексного
аргумента z непрерывна во всех точках этой
кривой.
Разобьем кривую точками на элементарные дуги.

2.

y
zn
z0 z1
x

3.

Обозначим
z1 z0 z1
z2 z1 z2 ... zn zn 1 zn
где число Δzi изображается вектором, идущим из
точки zi-1 в точку zi.
zi
-длина
этого
вектора,
т.е.
хорда,
стягивающая
соответствующую
элементарную дугу.
Внутри каждой элементарной дуги выбираем
произвольную точку ξi.
n
Составим сумму
f ( ) z
i 1
i
i

4.

Данная сумма будет интегральной.
Предел этой суммы при стремлении к нулю длин
всех дуг будет интегралом функции f(z) по
кривой L:
n
lim
zi 0
f ( ) z f ( z)dz
i 1
i
i
L

5.

1
Интеграл от суммы (разности) двух или
нескольких функций равен сумме (разности)
интегралов от этих функций:
f ( z) f
1
L
2
( z ) dz f1 ( z )dz f 2 ( z )dz
L
L

6.

2
Постоянную величину можно выносить
за знак интеграла:
C
f
(
z
)
dz
C
f
(
z
)
dz
L
L

7.

3
Если кривая L геометрически совпадает с
кривой L1, но имеет противоположное
направление, то:
f ( z )dz f ( z )dz
L
L1

8.

4
Если кривая разбита на дуги L1 L2 …Ln то:
f ( z)dz f ( z)dz f ( z )dz ... f ( z)dz
L
L1
L2
Ln

9.

Вычисление
интеграла
ФКП
сводится
вычислению криволинейного интеграла
функции действительного переменного.
Пусть
z x i y
f ( z) u i v
u u ( x, y )
v v ( x, y )
Обозначим
zi xi i yi
(i 1,2,..., n)
i i i i
(i 1,2,..., n)
к
от

10.

Тогда
zi ( xi 1 i yi 1 ) ( xi i yi )
( xi 1 xi ) i ( yi 1 yi ) xi i yi
xi
yi
Поскольку
f ( i ) u( i , i ) i v( i , i )

11.

f ( i ) zi u( i , i ) i v( i , i ) ( xi i yi )
u ( i , i ) xi v( i , i ) yi
i (u ( i , i ) yi v( i , i ) xi )
Переходим к пределу
n
f ( z)dz lim u( , ) x v( , ) y
L
z i 0
i 1
i
i
i
i
i
i (u ( i , i ) yi v( i , i ) xi )
i

12.

f ( z )dz u ( x, y )dx v( x, y )dy
L
L
i u ( x, y )dy v( x, y )dx
L

13.

Эта формула показывает, что
чтобы свести
интеграл по комплексному аргументу к
вычислению
обычного
криволинейного
интеграла, нужно выделить в подынтегральной
функции действительные и мнимые части
f ( z) u i v
и умножить ее на
dz dx i dy
Если кривая L задана параметрически
x x (t )
y y (t )

14.

и
начальная и конечная
соответственно t0 и tn
точки
кривой
то исходный интеграл сводится к определенному:
tn
f ( z)dz f ( z(t )) z (t )dt
L
t0

15.

Вычислить интеграл:
Re( z)dz
L
Где L – отрезок, соединяющий
точки 0 и 1+i

16.

y
1
0
1 i
1
x

17.

Запишем уравнение отрезка в параметрическом
виде:
x t
y t
или
z (1 i ) t
0 t 1
dz (1 i ) dt
Тогда

18.

1
Re(
z
)
dz
Re
(
1
i
)
t
(
1
i
)
dt
L
0
2 1
t
1 i
(1 i ) tdt (1 i )
20
2
0
1