Интегрирование функций комплексной переменной

1.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пусть
f z определена на кривой ,
lk – длина дуги k ,
l max lk ,
k 1,n
k – точка на дуге k .
Тогда если существует конечный
предел при l 0 интегральной суммы
n
f z
k 1
k
k
zk 1 ,
не зависящий от выбора точек zk , k , то он называется интегралом
(или криволинейным интегралом) от функции f z по кривой :
n
f z dz lim f z
l 0
k 1
k
k
zk 1 .
1

2.

Теорема. Существование интеграла
f z dz
равносильно существованию двух криволинейных
интегралов от действительных функций
udx vdy и vdx udy .
Если интеграл существует, то его можно
вычислить по формуле
(*)
f z dz udx vdy i vdx udy .
Пусть z x iy , f z u x, y iv x, y .
Обозначим
zk xk iyk , xk xk xk 1 , yk yk yk 1 .
k k i k , uk u k , k , vk v k , k .
Тогда
n
n
n
f z z u x v y i v x u y
k 1
k
k
k 1
k 1
k
k
k
k
k 1
k
k
k
k
Переходя к пределу по l 0 , получаем (*)
2

3.

Теорема. Существование КИ
f z dz
равносильно существованию
двух КИ2 от действительных функций
udx vdy и vdx udy .
Если интеграл существует, то его можно вычислить по формуле
f z dz udx vdy i vdx udy .
(*)
Замечания:
1. Для использования и запоминания формулы (*) достаточно формально перемножить u x, y i v x, y и dz dx i dy .
2 . Формулу (*) можно рассматривать и как определение КИ от функции комплексного переменного, и как формулу его вычисления через
КИ2 от функций двух действительных переменных.
3

4.

Свойства интегралов
af z bg z dz a f z dz b g z dz
1. Линейность: a, b
2. При изменении ориентации кривой интеграл меняет знак:
f z dz
AB
3. Аддитивность:
f z dz
BA
f z dz f z dz f z dz .
ABC
AB
BC
4. Если f z непрерывна на кривой , то
f z dz f z dz , где dz
dx dy
2
2
.
И в частности, если M max f z и l – длина , то
z
f z dz M l .
4

5.

Интегральная теорема Коши. Пусть f z дифференцируема в односвязной
области D . Тогда интеграл от f z по любой замкнутой кривой , лежащей
в области D равен нулю:
f z dz 0 .
Утверждение теоремы следует из условий Коши-Римана и свойств КИ2.
З а м е ч а н и е . Без условия односвязности теорема может не работать.
1
Функция f z дифференцируема при 0 z , так как:
z
1
x iy
x
y
2
i
u x, y iv x, y ,
z x y 2 x2 y 2
x2 y 2
u x v y
y 2 x2
x
2
y
dz
Но
z ei , dz iei d
z
z 1
2
, u y v x
2
x
2 xy
2
y
2 2
.
2
iei d
0 ei 2 i 0 .
Следствие. Если функция f z дифференцируема в односвязной области D ,
то интеграл
f z dz не зависит от пути интегрирования.
5

6.

Следствие. Пусть граница многосвязной области D состоит из замкнутой кусочно-гладкой кривой 0 и попарно не пересекающихся замкнутых кусочно-гладких кривых 1 , 2 ,..., n , расположенных внутри 0 , и пусть функция f z дифференцируема в области D и непрерывна вплоть до ее границы.
Тогда
n
f z dz f z dz 0 .
0
k 1 k
Кривые 1 , 2 ,..., n ориентированы так,
что при обходе каждой из этих кривых
область D остается слева.
6

7.

Пусть D односвязная область. Тогда справедливы следующие утверждения.
Теорема. Всякая аналитическая в D функция f z имеет в D первообразную F z ,
также аналитическую в области D , которая определяется формулой:
z
z D F z f d C .
(*)
z0
Следствие 1. Для аналитической в D функции f z справедлива формула НьютонаЛейбница z1, z2 D
z1
f d F z z F z1 F z0 ,
z1
0
z0
Следствие 2. Если f z непрерывна в D , и интеграл от f z по любой замкнутой
кривой, лежащей в D , равен 0, то f z имеет в области D первообразную, определяемую
формулой (*).
Следствие 3. Если функции f z и g z аналитические в области D , то справедлива
z1
формула интегрирования по частям:
f g d f g
z0
z1
z0
z1
f g d .
z0
З а м е ч а н и е . Интегралы от элементарных функций комплексного переменного, аналитических в односвязной области, вычисляются с помощью тех же методов и формул, что и
в случае действительных функций.
8

8.

Интегралы, зависящие от параметра
Как и в действительном анализе, в комплексной области рассматриваются, кроме интегралов, содержащих параметр в пределах интегрирования (например, интеграл с переменным верхним пределом),
интегралы, которые зависят от параметра, содержащегося в подынтегральной функции:
f z, z0 dz .
Среди таких интегралов важное место в теории и практике комплексного интегрирования и приложениях занимает интеграл вида:
f z
z z n dz, n
0
.
9

9.

Интегральная формула Коши. Пусть f z дифференцируема
в односвязной области D и простая замкнутая кривая лежит в D
и ориентирована положительно. Тогда
z0 D, z0
f z
1
f z0
dz .
2 i z z0
(*)
З а м е ч а н и е 1 . Формула (*) остается справедливой если D –
ограниченная область с кусочно-гладкой границей , а функция
f z дифференцируема в D и непрерывна вплоть до ее границы.
З а м е ч а н и е 2 . Если в правой части формулы (*) z0 D ,
то подынтегральная функция дифференцируема по z всюду в D ,
поэтому объединяя интегральную теорему Коши и интегральную
формулу Коши, получим
f z
f z0 , z0 D
1
dz
2 i z z0
0, z0 D
10

10.

Способы вычисления интеграла
f z dz
1. Вычисление интегралов
f z dz
от непрерывной функции
путем сведения к КИ2 от функций действительных переменных.
2. Вычисление интегралов от непрерывной функции путем
сведения к определенному интегралу в случае параметрического
задания пути интегрирования.
3. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях.
12