Cálculo numérico. Integração Numérica. (Aula 8)

1.

CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 8 – Integração Numérica

2.

CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Integração Numérica:
Método de Romberg – 10 passo
Extrapolação de Richardson.
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

3.

CÁLCULO NUMÉRICO
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA – CONTINUAÇÃO
b
• Integral definida I
f ( x).dx
é numericamente igual a área
a
sob a curva f(x) no intervalo do domínio [a, b].
• Integração numérica – técnica empregada na determinação
de uma integral definida e consiste na seguinte aproximação:
b
I f ( x).dx
a
n 1
w . f ( x ). x
i 0
i
i
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

4.

CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE ROMBERG
O método de Romberg consiste na sucessiva aplicação da
extrapolação de Richardson à quadratura do trapézio
composta o que resulta em uma quadratura composta de
maior exatidão.
b
h2
I f ( x).dx I n .(b a). f ´´( )
12
a
Onde:
h
I n .[ f (a) 2. f (a h) 2. f (a 2h) ... f (b)]
2
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

5.

CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE ROMBERG - CONTINUAÇÃO
É possível demonstrar que a determinação de I é dada
aproximadamente por:
b
2k 1 1
hk
I f ( x).dx .[ f (a) f (b) 2. f (a i.hk )]
2
i 1
a
b a
Onde: hk k 1
2
ATENÇÃO!
Na expressão anterior, quando k = 1, temos que o limite
superior será 0, o que significa que não há termo a ser
adicionado.
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

6.

CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE ROMBERG - CONTINUAÇÃO
A partir de agora será introduzida a notação de ROMBERG
Rk,1.
h1
(b a)
.[ f (a) f (b)]
• k = 1 R1,1 .[ f (a) f (b)]
2
2
k=2
(b a)
h
b a
R2,1 2 .[ f (a) f (b) 2. f (a h2 )] 2 .[ f (a) f (b) 2. f (a
)]
2
2
2
(b a)
a b
R2,1
.[ f (a) f (b) 2. f (
)]
4
2
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

7.

CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE ROMBERG - CONTINUAÇÃO
Reescrevendo R2,1 em função de R1,1, temos:
(b a)
a b
R2,1
.[ f (a) f (b) 2. f (
)]
4
2
1 (b a)
a b
R2,1 .
.[ f (a) f (b) 2. f (
)]
2 2
2
1
a b (b a)
R2,1 .[ R1,1 2. f (
).
]
2
2
2
1
a b (b a)
R2,1 .[ R1,1 2. f (
).
]
2
2
2
1
R2,1 .[ R1,1 h1. f (a h2 )]
2
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

8.

CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE ROMBERG - CONTINUAÇÃO
Reescrevendo R3,1 em função de R2,1, temos:
1
R3,1 .{R2,1 h2 .[ f (a h3 ) f (a 3.h3 )]}
2
Generalizando, temos que:
2 k 2
1
Rk ,1 .[ Rk 1,1 hk 1.[ f (a (2i 1)hk )] k 2, 3,..., n
2
i 1
ATENÇÃO!
Este é o primeiro passo do método de Romberg –
aproximações via regra dos trapézios
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

9.

CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO1: Utilize a Regra do Trapézio Repetida para realizar
o primeiro passo do esquema da integração de Romberg para
I senx.dx
obter uma aproximação da integral
0
para k = 1, 2, ..., 5
SOLUÇÃO: Determinação dos Rk,1:
2 k 2
1
Rk ,1 .[ Rk 1,1 hk 1.[ f (a (2i 1)hk )] k 2, 3,..., n
2
i 1
k=1
(b a )
R1,1
.[ f (a) f (b)]
2
( 0)
R1,1
.[ sen sen0]
2
R1,1 0
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

10.

CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO1 – CONTINUAÇÃO
2 k 2
1
Rk ,1 .[ Rk 1,1 hk 1.[ f (a (2i 1)hk )] k 2, 3,..., n
2
i 1
1
R2,1 .[ R1,1 h1. f (a h2 )]
2
k=2
1
b a
b a
R2,1 .[ R1,1 (b a). f (a
)]
hk k 1
2
2
2
1
0
R
.[
0
(
0
).
sen
(
0
)]
b a
2 ,1
2
2
h2
2
1
R2,1 .[ .sen( )]
2
2
R2,1 1,57079633
2
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

11.

CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO1 – CONTINUAÇÃO
k = 3
b a
hk k 1
2
b a
h3
4
1
R3,1 .{R2,1 h2 .[ f (a h3 ) f (a 3.h3 )]}
2
1
b a
b a
b a
R3,1 .{R2,1
.[ f (a
) f (a 3.
)]}
2
2
4
4
1
0
0
0
R3,1 .{R2,1
.[ f (0
) f (a 3.
)]}
2
2
4
4
1
0
0
0
R3,1 .{R2,1
.[ f (0
) f (0 3.
)]}
2
2
4
4
1
3.
R3,1 .{1,57079633 .[ sen( ) sen( )]}
2
2
4
4
1
3.
R3,1 .{1,57079633 .[ sen( ) sen( )]}
2
2
4
4
R3,1 1,8961189
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

12.

CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO1 – CONTINUAÇÃO
k=4
b a
b a
hk k 1 h4
2
8
1
R4,1 .{R3,1 h3 .[ f (a h4 ) f (a 3.h4 ) f (a 5h4 ) f (a 7.h4 )]}
2
1
R4,1 .{R3,1 h3 .[ f (a h4 ) f (a 3.h4 ) f (a 5h4 ) f (a 7.h4 )]}
2
1
b a
b a
b a
b a
b a
R4,1 .{R3,1
.[ f (a
) f (a 3.
) f (a 5.
) f (a 7.
)]}
2
4
8
8
8
8
1
0
0
0
0
0
R4,1 .{R3,1
.[ f (0
) f (0 3.
) f (0 5.
) f (0 7.
)]}
2
4
8
8
8
8
1
3
5
7
R4,1 .{1,8961189 .[ sen( ) sen( ) sen( ) sen( )]}
2
4
8
8
8
8
R4,1 1,974231
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

13.

CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO1 – CONTINUAÇÃO
• k = 5 R5,1 = 1,99357034
• k = 6 R6,1 = 1,99839336
• Valor exato:
I senx.dx cos x k ( cos k ) ( cos 0 k )
0
I [ ( 1) k ] [ 1 k ] 2
Erro
2,000000 1,998393
2,000000
0,0008 0,08%
• CONVERGÊNCIA LENTA extrapolação de Richardson
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

14.

CÁLCULO NUMÉRICO
EXTRAPOLAÇÃO DE RICHARDSON
Com o intuito de acelerar a convergência do método de
Romberg, a partir do seu primeiro passo é possível fazer a
extrapolação de Richardson e chegar a seguinte fórmula de
recorrência.
Rk , j
Rk , j 1 Rk 1, j 1
Rk , j 1
j 1
4 1
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

15.

CÁLCULO NUMÉRICO
TABELA DE ROMBERG
A partir da fórmula de recorrência Rk , j
chega-se à tabela de Romberg abaixo.
Rk , j 1 Rk 1, j 1
Rk , j 1
j 1
4
1
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

16.

CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO2: Utilize o método de Romberg para obter uma
aproximação da integral I senx.dx
0
Solução:
Tabela de Romberg:
R1,1
R2,1
R2,2
R3,1
R3,2
R3,3
Do exemplo1: R1,1 = 0; R2,1 = 1,57079633 e R3,1 = 1,8961189
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

17.

CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO2 - CONTINUAÇÃO
Rk , j
•k=j=2
Rk , j 1 Rk 1, j 1
Rk , j 1
j 1
4
1
R2,1 R1,1
1,57079633 0
R2, 2 R2,1 2 1
1,57079633
2,094395
4 1
3
•k=3ej=2
R3,1 R2,1
1,8961189 1,57079633
R3, 2 R3,1 2 1
1
,
8961189
2,004559
4 1
3
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

18.

CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO2 - CONTINUAÇÃO
Rk , j
•k=j=3
Rk , j 1 Rk 1, j 1
Rk , j 1
j 1
4
1
R3, 2 R2, 2
2,004559 2,094395
R3,3 R3, 2 3 1
2,004559
1,998569
4 1
15
Erro
2,000000 1,998569
2,000000
0,00072 0,072%
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

19.

CÁLCULO NUMÉRICO
RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:
Integração Numérica:
Método de Romberg – 10 passo
Extrapolação de Richardson.
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA