лекция 3 ММвЭЭ

1.

Ставропольский государственный
аграрный университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ В
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ
1

2.

Ставропольский государственный
аграрный университет
ЛЕКЦИЯ 3
Моделирование переходных
и установившихся режимов в
электрической цепи первого
порядка
2

3.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Основные методы анализа переходных
процессов в линейных цепях:
Классический
метод,
заключающийся
в
непосредственном
интегрировании
дифференциальных
уравнений,
описывающих
электромагнитное состояние цепи.
Операторный
метод,
заключающийся
в
решении
системы
алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных
с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий
широкое применение при решении задач синтеза.
Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при
сложной форме кривой возмущающего воздействия.
Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный
способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения
системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в
нормальной форме (форме Коши).
3

4.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Классический метод расчета переходных процессов
заключается
в
непосредственном
интегрировании
дифференциальных уравнений, описывающих изменения
токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.
В общем случае при использовании классического метода
расчета
составляются
уравнения
электромагнитного
состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных
значений напряжений и токов, связанных между собой на
отдельных элементах цепи соотношениями.
Для анализа переходного процесса предварительно
следует привести схему к минимальному числу накопителей
энергии, исключив параллельные и последовательные
соединения
однотипных
реактивных
элементов
4
(индуктивностей или емкостей).

5.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Классический метод расчета переходных
процессов
Рассмотрим
электромагнитные
происходящие после замыкания ключа.
процессы
в
цепи,
5

6.

Ставропольский государственный
аграрный университет
1. Рассчитаем установившийся режим в цепи до
коммутации (до замыкания ключа) и определим из
него независимое начальное условие — ток в
катушке в момент t = 0-, непосредственно
предшествующий коммутации:
i(0-) = i(0+) = E / (Rвн + R).
6

7.

Ставропольский государственный
аграрный университет
2. Найдем установившийся ток i после коммутации.
Так как во вновь образованном контуре из катушки L и
резистора R нет источника, то iy = 0.
Для определения свободной составляющей тока
запишем по второму закону Кирхгофа уравнение
электрического состояния цепи после коммутации:
7

8.

Ставропольский государственный
аграрный университет
3. Отсюда, характеристическое уравнение примет вид:
pL + R = 0.
Общее решение
составляющей:
уравнения
для
свободной
iсв = A ept,
где:
А – постоянная интегрирования;
p = - R/L, c-1 – корень характеристического
уравнения.
8

9.

Ставропольский государственный
аграрный университет
4. Записав общий вид переходного тока катушки:
i = iу + iсв = A ept,
приравниваем его значение i(0+) = A в точке t = 0+ к
значению i(0-).
Получаем искомую константу:
A = E / (Rвн + R) = I0.
9

10.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Переходный ток i = iу + iсв при этом равен:
где τ = L / R – постоянная времени цепи.
Постоянная времени – это время, в течение
которого
свободная
составляющая
процесса
уменьшается в е = 2,72 раза по сравнению с
начальным значением.
10

11.

Ставропольский государственный
аграрный университет
График изменения переходного тока
11

12.

Ставропольский государственный
аграрный университет
5. Определим э.д.с. самоиндукции катушки:
при t ≥ 0.
В момент коммутации э.д.с. равна напряжению на
сопротивлении R, а в дальнейшем уменьшается по
экспоненциальному закону.
12

13.

Ставропольский государственный
аграрный университет
На основании изложенного можно сделать следующие
выводы:
При коротком замыкании в рассматриваемой цепи ток в ней
изменяется по экспоненциальному закону, уменьшаясь от начального
значения до нуля.
Скорость изменения тока определяется τ цепи, которая равна
индуктивности катушки, деленной на активное сопротивление цепи.
Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается
при t ≈ (3…5)τ, когда первоначальное значение тока уменьшается по
модулю на порядок.
Напряжение на катушке в начальный момент времени равно
напряжению на активном сопротивлении:
uL(0+) = I0R.
С энергетической точки зрения рассматриваемый переходный
процесс характеризуется расходом энергии магнитного поля катушки на
тепловые потери в резисторе. Следует отметить, что сопротивление
резистора влияет не на количество выделенной теплоты W, а на
начальное значение напряжения катушки и длительность процесса.
13

14.

Ставропольский государственный
аграрный университет
При отключении цепи содержащей индуктивность в
ней могут возникать падения напряжений опасные
для ее элементов. Пусть R-L цепь с подключенным к
ней вольтметром отключается от источника
постоянной ЭДС E
14

15.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Так как цепь содержит индуктивность, то после
размыкания ключа S ток не сможет изменить своего
значения и будет протекать в контуре R-L-V .
Значение тока до коммутации:
i(0- ) = E/R = i(0+) = i(0)
Уравнение Кирхгофа для этого контура:
Ri + RVi + uL = 0,
где RV - сопротивление вольтметра.
15

16.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Отсюда падение напряжения на вольтметре:
uV = RV i(0) = ERV/R
и на индуктивности:
uV = (R+RV)i(0) = E(1+RV/R).
16

17.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Выводы:
1. Обычно RV>>R , поэтому напряжение на
вольтметре и на индуктивности в
момент отключения превосходят ЭДС
источника в RV/R раз.
2. Если индуктивность цепи достаточно
велика, то запасенной в ней энергии
может
оказаться
достаточно
для
разрушения изоляции или входных
цепей прибора.
17

18.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Поэтому при отключении цепи
постоянного тока с большой
индуктивностью ее предварительно
замыкают на малое сопротивление, а
измерительные приборы отключают.
18

19.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Вопросы для самостоятельной
проработки:
1.Рассмотреть методы расчета переходного процесса
при включении цепи с резистором и конденсатором
на синусоидальное напряжение.
2.Рассмотреть методы расчета при подключении RL цепи к источнику постоянной ЭДС.
3.Изучить частотный метод анализа
процессов. Преобразования Фурье.
переходных
19