11_math_1.1_Кривые второго порядка

1. 5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Это уже записали.
5. Взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве
Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они могут
1) параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
,
Пусть L: Ax + By + Cz + D = 0 и :
m
n
p
Тогда N̄ = {A; B; C} – нормальный вектор плоскости λ,
s = {m; n; p} – направляющий вектор прямой ℓ .
пропустить 25 клеточек
быть

2.

Это уже записали.
ОПР. Углом между прямой ℓ и плоскостью L называется угол
φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость L .
Из определения: угол между прямой и плоскостью всегда
острый.
ℓ1
N ψ
s
L
M0
пропустить страницу для примера
N, s
sin = cos =
.
N s
(
)

3. Кривые второго порядка

Это новенькое.
Кривые второго порядка
Кривой 2-го порядка на плоскости называют геометрическое
место точек M(x;y), координаты которых удовлетворяют
уравнению
F(x,y) = 0,
где F(x,y) – многочлен степени 2.
i j
или
a
x
ij y = 0, max(i + j ) = 2
i , j 2
пропустить 8 клеточек
Кривые второго порядка делятся на
1) вырожденные
и
2) невырожденные
Вырожденные: это прямые и точки, которые задаются
уравнением первой степени.
Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна
точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет
вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка).
Невырожденные: эллипс, окружность, гипербола и парабола.

4. 1. Эллипс и окружность

ОПР. Эллипсом называется геометрическое место точек
плоскости, сумма расстояний от которых до двух
фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина
постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|).
Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.
пропустить 10 клеточек
для рисунка
F2
F1
Фокусы:
F1(–c;0)
где |OF1| = |OF2| = c.
По определению эллипса
Заметим: 2a > 2c (a > c)
и
F2(c;0) ,
F1M + F2 M = 2a
пропустить 3/4 страницы

5.

Уравнение
x2 y2
+ 2 =1
2
a
b
(1)
называется каноническим уравнением эллипса.
Система координат, в которой эллипс имеет такое уравнение,
называется его канонической системой координат.
СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА
1) Эллипс лежит внутри прямоугольника: x = a, y = b.
2) Эллипс имеет центр симметрии - центр эллипса (начало
координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).
Ось симметрии, проходящая через фокусы (ось Ox) называют
большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось
(ось Oy) – малой осью.
3) Величины a и b называются большой и малой полуосью
соответственно.
Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным
расстоянием.

6.

ОПР. Величина , равная отношению фокусного расстояния
эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом,
т.е.
2c c
=
где
c = a2 − b2 a
2a
=
a
=> 0 < < 1 .
Величина характеризует форму эллипса.
Чем больше эксцентриситет, тем сильнее «сжат» эллипс.
Замечания.
1) Пусть в уравнении эллипса a = b = r. F1 = F2 = O,
x 2 + y 2 = r 2 - уравнение окружности
пропустить 20 клеточек

7. 2. Гипербола

ОПР. Гиперболой называется геометрическое место точек
плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух
фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина
постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|).
Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы.
F1(–c;0) и F2(c;0),
где |OF1| = |OF2| = c.
y
F1
F2
x
Вывод уравнения гиперболы. Из F1M − F2 M = 2a =>
пропустить 3/4 страницы и вывести самостоятельно

8.

x2 y 2
− 2 =1
2
a
b
каноническое уравнение гиперболы
ОПР. Величина , равная отношению фокусного расстояния
гиперболы к ее действительной оси, называется
2c c
=
эксцентриситетом гиперболы,
т.е. =
2a a
2
2
где c = a + b a
СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ
1) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси
симметрии (оси Ox и Oy).
Центр симметрии называют центром гиперболы.
Ось симметрии, проходящую через фокусы (ось
Ox)
называют
действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось
Oy) – мнимой осью.
(Пересекаться может только с действительной осью)
2) Гипербола – неограниченная кривая
b
3) Имеются асимптоты: y = x
4) а и b – полуоси гиперболы a
5) Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы

9.

пропустить 30 клеточек

10. 3. Парабола

Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая
на прямой ℓ .
ОПР. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние
от которых до фиксированной прямой ℓ и до фиксированной точки F (не
лежащей на прямой ℓ) одинаково.
Точку F называют фокусом параболы .
Прямую ℓ – директрисой.
Выберем декартову систему координат так, чтобы
1) директриса ℓ была перпендикулярна Ox,
2) фокус F лежал на положительной части Ox ,
3) расстояние от М до F и до ℓ было одинаковым.
M (x;y)
(вывод уравнения гиперболы)
пропустить 15 клеточек
Уравнение
y2 = 2px (3)
называется каноническим уравнением параболы.
O F

11.

СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ
1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0.
2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).
3) Из уравнения параболы получаем: y = 2 px
Функция – двузначная – имеет две ветви.
4) Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется
вершиной параболы,
Число p называется параметром параболы.
5) Если фокус F лежит на отрицательной части Ox, то уравнение
y2 = –2px,
y
p
F
x