Математическая_экономика_Тема_3_2014

1. Математическая экономика

Тема 3. ТЕОРИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
КОММЕРЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ
Математическая экономика. Лектор - Гераськин М.И., д.э.н., профессор

2. 3.1. Проблема рациональной коммерческой деятельности

3.1. ПРОБЛЕМА РАЦИОНАЛЬНОЙ
КОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

3. Задача фирмы

Коммерческая организация (предприятие,
фирма) – это самостоятельно
хозяйствующий субъект, созданный для
производства продукции, выполнения
работ или оказания услуг в целях
удовлетворения общественной
потребности и получения прибыли.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

4. Условия задачи фирмы:

• вектор цен на факторы производства
p = ( р1 , р2 ,..., рn )
• номенклатуру ресурсов производства
x = ( x1 , x2 ,...,xn )
• вид производственной функции
Q = Q( x )
р0
• тип рынка (совершенная конкуренция, олигополия,
монополия);
• длительность периода.
• цена продукции фирмы
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

5. Доход фирмы:

R = p0 Q = p0 Q( x)
Прибыль фирмы:
П = R − C = p0 Q( x) − p1 x1 − p2 x2
Основная задача фирмы:
max p0 Q(x ) − p1 x1 − p2 x2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

6. Изопрофита

Выразим из формулы прибыли объем выпуска
продукции:
p2
П р1
Q( x1 , x2 ) =
+
x1 +
x2
р0 р0
р0
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

7. Изопрофита при постоянном значении второго ресурса

x2 = fixed , x1 = var
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

8. Изопрофитой (изопрофитной поверхностью) называется зависимость объема выпуска Q от величин затраченных ресурсов при некотором

значении прибыли П.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

9. Условие оптимального расхода ресурса, обеспечивающий максимальную сумму прибыли:

Q( x1 , x2 ) р1
MQ1 =
=
x1
р0
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

10. 3.2 Рациональная коммерческая деятельность в условиях совершенной конкуренции

3.2 РАЦИОНАЛЬНАЯ
КОММЕРЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
В УСЛОВИЯХ СОВЕРШЕННОЙ
КОНКУРЕНЦИИ
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

11. Черты совершенной конкуренции

1. Множество фирм, реализующих
стандартизированные товары (услуги).
2. Свободный доступ на рынок, свободное
перемещение ресурсов.
3. Qфирмы<<Qотрасли
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

12. Равновесие при совершенной конкуренции

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

13. Условия совершенной конкуренции имеют вид:

р0
рi
= 0,
= 0 , i = 1,2,...,n
Q
xi
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

14. Условия оптимальности в долгосрочном периоде

Необходимые условия экстремума функции одной
переменной:
• условие первого
порядка
( )
dП Q*
=0
dQ
• условие второго
порядка
( ) 0
d 2 П Q*
dQ
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
2

15. Из условия первого порядка следует, что

dП(Q ) d
p0Q − C (Q) = 0
=
dQ
dQ
( )
( )
dC Q*
p0 =
= MC Q*
dQ
Предельный доход MR есть прирост дохода
организации в расчете на каждую
дополнительную единицу продукции
d
dR
( р0 Q ) = = MR
p0 =
dQ
dQ
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

16. Следовательно, из условия первого порядка вытекает равенство предельного дохода предельным издержкам при оптимальном объеме

выпуска:
( )
( )
MC Q = MR Q
*
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
*

17. Условие второго порядка сводится к неравенству вида:

d 2 П (Q )
dQ 2
( )
d dП (Q ) d
dMC Q*
р0 − MC(Q ) = −
=
=
0
dQ dQ dQ
dQ
или
( )
dMC Q*
0
dQ
то есть при оптимальном объеме выпуска
продукции предельные издержки должны
возрастать.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

18. Оптимальный объем выпуска при совершенной конкуренции

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

19. 3.3. Планирование по конкурентной модели в долгосрочном периоде Оптимальный план

3.3. ПЛАНИРОВАНИЕ ПО КОНКУРЕНТНОЙ
МОДЕЛИ В ДОЛГОСРОЧНОМ ПЕРИОДЕ
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЛАН
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

20. Рассмотрим модель долгосрочного планирования в случае функции Кобба-Дугласа:

max П = max p0 Q(x ) − p1 x1 − p2 x2
Q = Ax1 x2
Условия оптимальности первого порядка:
Q
П
=
р
−
p
=
0
,
0
1
х
x1
1
П = р Q − p = 0 ,
0
2
x2
x2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(3.5)

21. Необходимые условия оптимальности:

Q
р
=
p
,
0
1
x
1
Q
р
= p2 .
0
x2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(3.6)

22. Дифференцируя выражение производственной функции (3.5) и подставляя производные в (3.6), получим:

Q
р
=
p
,
0
1
*
х1
Q
р = p ,
0
2
*
x2
p0
*
x
=
Q
,
1
p1
p0
*
x2 = Q
.
p2
(3.7)
Выражения (3.7) представляют собой функции
спроса
на
ресурсы
при
совершенной
конкуренции в долгосрочном периоде.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

23. Оптимальный объем выпуска

Подставим функции спроса (3.7) на факторы
производства в функцию Кобба-Дугласа (3.6):
p0 * p0 *
p0 p0 * +
Q
Q = A
Q
Q = A
p1
p2
p1 p2
*
*
(Q )
* +
Q* = A
( )
* 1 − ( + )
Q
= Q
p0 p0
= A
p1 p2
1
1 − ( + ) p0 1− ( + ) p0 1− ( + )
p1
( )
p2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(3.8)

24. Кривая предложения фирмы

Кривая предложения показывает зависимость цены
предложения от объема предложения фирмы.
Из (3.8) следует:
Q =A
*
где
1
1−( + )
p1
Z=A
1
+
p1
r = +
Поэтому
1−( + )
p2
+
1−( + )
p2
+
+
1−( + )
0
p
1− r
r
(Q )
*
= Zp 0
– постоянная величина, не
зависящая от цены продукта;
– степень однородности производственной
функции.
1 * 1−r r
р0 = Q
Z
( )
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

25. Кривые предложения фирмы

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

26. 3.3 (а) Анализ чувствительности оптимального плана производства к изменению цены продукта

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

27.

Метод сравнительной статики: анализ вариации
оптимального плана при бесконечно малой вариации
одного из параметров – цены продукта или цен
ресурсов – и постоянных значениях других параметров.
Коэффициент чувствительности оптимального
плана выпуска к изменению цены продукта:
Q
p0
*
>0, выпуск растет с повышением цены,
=0, повышение цены не влияет на выпуск,
<0, выпуск снижается с повышением цены.
*
Q
Экономический смысл:
изменение оптимального
p0
выпуска вследствие роста цены продукта на одну
денежную единицу.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

28. Графический анализ чувствительности

Анализ изменения положения изопрофиты
П + p2 x2 р1
Q=
+
x1
р0
р0
при р0 0 , x2 = const , p1 , p2 = const :
П + p2 x2
р1
Q( р0 ) =
+
x1
р0 + р0 р0 + р0
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

29. Графический анализ чувствительности

Изменение положения изопрофиты с ростом цены продукта
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

30.

Q * Q *
Поскольку p p и
0
0
Q * ( р0 0) 0 , то
Q *
0
p 0
(1)
чувствительность оптимального плана к
росту цены продукта положительна.
Свойство (1) означает, что возрастание цены
продукции всегда приводит к увеличению
оптимального объема выпуска, то есть кривая
предложения
продукции
является
возрастающей.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

31. Система дифференциальных уравнений анализа чувствительности

Оптимальная функция спроса фирмы на ресурсы:
х* ( р0 , р1 , р2 )
(2)
Оптимальная функция предложения продукции
фирмы:
Q* ( p , p , p ) = f x* ( p , p , p )
0
1
2
0
1
2
(3)
удовлетворяет необходимому условию оптимальности
( f = MQi ):
xi
f
f
(4)
p0
= р1 , р0
= р2
x1
x2
выражающему равенство предельного дохода
предельным издержкам.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

32.

Продифференцируем (2) и (3) по р0 :
Q* f x*1 f x*2
=
+
p0 x1 p0 x2 p0
(5)
2 f x*1
f
2 f x*2
+ p0 2
+
=0
x1
x1 p0 x1 x2 p0
(6)
2 f x*2
f
2 f x*1
+ p0 2
+
=0
x2
x2 p0 x2 x1 p0
(7)
Путь решения: из системы (6), (7), определим
x1* x 2*
,
чувствительности , p0 p0 которые подставим в (5).
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

33. Анализ ценных и малоценных ресурсов

Ценными ресурсами называются такие ресурсы,
затраты которых увеличиваются с ростом цены
продукта, то есть чувствительность
xi*
0
p 0
Малоценными ресурсами называются такие
ресурсы, затраты которых снижаются с ростом
x i*
0
цены продукта, то есть чувствительность p 0
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

34.

Поскольку в соответствии с неравенством (1) и
формулой (5)
*
*
*
Q
f x1 f x2
=
+
0
p0 x1 p0 x2 p0
то в экономической области, где предельные
f
продукты неотрицательны MQi = 0 , i = 1,2,
xi
*
*
одна из производных x1 , x2 должна быть
p0
p0
положительной.
Таким образом, возрастание цены продукции
должно приводить к повышению объема спроса
на некоторые виды ресурсов, то есть не все
факторы могут быть малоценными.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

35. 3.3 (б) Анализ чувствительности оптимального плана к изменению цен ресурсов

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

36.

Коэффициент чувствительности оптимального
плана выпуска к изменению цены ресурса:
Q
p i
*
>0, выпуск растет с повышением цены pi ,
=0, повышение цены pi не влияет на выпуск,
<0, выпуск снижается с повышением цены pi .
Q *
Экономический смысл : p
i
изменение
оптимального
плана
вследствие роста цены ресурса
денежную единицу.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
выпуска
на одну

37.

Лимитирующие ресурсы – ресурсы, рост цен на
которые приводит к снижению оптимального
выпуска, то есть чувствительность
Q *
0
pi
.
Нелимитирующие ресурсы – ресурсы, рост цен на
которые приводит к повышению оптимального
выпуска, то есть чувствительность
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
Q *
0
pi

38.

Коэффициент чувствительности спроса на
ресурсы к изменению цены ресурса:
p
xi* >0, спрос на ресурс растет с повышением цены , i
=0, повышение цены piне влияет на спрос
pi <0, спрос на ресурс снижается с повышением цены
pi
Коэффициент перекрестной чувствительности
спроса на ресурс к изменению цены другого
ресурса:
x *j
pi
>0, спрос на j-й ресурс растет с повышением цены pi ,
=0, повышение цены pi не изменяет спрос на j-й ресурс
<0, спрос на j-й ресурс снижается с повышением
цены pi .
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

39.

Взаимозаменяемые ресурсы – это ресурсы,
спрос на которые растет при увеличении
x *j
цены другого ресурса
0
pi
Взаимодополняемые ресурсы – это ресурсы,
спрос на которые снижается при увеличении
*
x j
цены другого ресурса
0
pi
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

40. Графический анализ чувствительности

Анализ изменения положения изопрофиты
П + p2 x2 р1
Q=
+
x1
р0
р0
при
р1 0 , x2 = const , p0 , p2 = const :
П + p2 x2 р1 + р1
Q( р1 ) =
+
x1
р0
р0
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

41.

Анализ изменения положения изопрофиты
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

42.

Поскольку
Q * Q *
p1
p1
и Q * ( р1 0) 0 , то
Q *
0
p1
(1)
то есть чувствительность оптимального плана к
повышению цены продукта отрицательна
(лимитирующий ресурс) в случае выпуклой кривой
выпуска. Если поверхность выпуска линейна по
ресурсу, то
Q *
0
(2)
p
1
то есть ресурс в этом случае нелимитирующий.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

43.

Поскольку
x1* x1*
p1 p1
и x1* ( р1 0) 0 , то
x1*
0
p1
(3)
то есть увеличение стоимости лимитирующего
ресурса приводит к сокращению спроса на него
для выпуклой кривой выпуска.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

44. 3.3 (в) Компенсированное изменение цены ресурса

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

45.

Компенсация повышения цены ресурса – это
увеличение цены продукта, которое
обеспечивает неизменность оптимального
значения объема производства.
Модель компенсации: изменение дохода равно
изменению издержек при Q* = const :
(
*
)
d Q p0 = dC
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(1)

46. Графический анализ компенсации

Эффект масштаба и эффект замены при компенсации
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

47.

*
Q
Общий эффект (вектор АА =
) от изменения цены
p1
ресурса dp1 0 равен сумме двух эффектов:
'
*
Q
'
'
эффект замены (вектор АА = ), от которого выпуск
p1 к
продукции не изменяется, но вместо первого ресурса в
большем количестве используется второй;
эффект расширения масштаба производства (вектор
Q * * +1 −1
АА =
H Q
p0
' ''
( )
взятый с отрицательным знаком),
при котором объем выпуска продукции растет.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

48.

Уравнение Е.И. Слуцкого:
Q* Q* Q* * +1 −1
−
=
H Q
p1 p1 к p0
( )
(2)
Вывод условия компенсации
Полное приращение (дифференциал) дохода
(
)
d Q* p0 = р0 dQ* + Q* dp0
с учетом
dQ* = 0
равно:
(
*
)
*
d Q p0 = Q dp0
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(3)

49.

Полное приращение (дифференциал) издержек
dС = d p1 x1 + p2 x2 = x1dp1 + p1 dx1 + p2 dx2 + x2 dp2
с учетом dp2 = равно:
0
dС = x1* dp1 + p1 x1* + p2 dx*2
(4)
Ранее получены функции спроса на ресурсы:
( )
x1* = k1 Q
где
p1
k1 = A
p 2
−
+
,
1
* +
k2 =
( )
x*2 = k 2 Q
p1
k1
p 2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
1
* +
(5)

50.

Подставив (3)-(5) в (1), получим
( )
1
* +
Q* dp0 = k1 Q
( )
( )
k 2 * 1+
k1 * 1+
dp1 + p2
Q
dp1 + p1
Q
dp1 ,
p1
p1
dp0
k 2
k1 * +1 −1
* +1 −1
Q
= k1 + p2
+ p1
= H Q
dp1
p1
p1
( )
dp 0
dp1
( )
Чувствительность
показывает прирост
цены продукта, необходимый для компенсации
прироста цены ресурса на одну денежную
единицу.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

51. 3.4. ПЛАНИРОВАНИЕ ПО КОНКУРЕНТНОЙ МОДЕЛИ В КРАТКОСРОЧНОМ ПЕРИОДЕ

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

52. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЛАН Функция Лагранжа:

L = p0 Q( x1 , х2 ) − ( р1 х1 + р2 х2 ) + (b1 − х1 )
Необходимые условия оптимальности записываются
следующим образом:
L
Q
= p0
− p1 − = 0 ,
x1
x1
L
Q
= p0
− p2 = 0 ,
x2
x2
L
L
= = 0.
= b1 − x1 = 0 ,
b1
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

53. С учетом вида производственной функции Кобба-Дугласа из необходимых условий оптимальности следует:

Q
p0 x − p1 − = 0,
1
Q
p0 − p 2 = 0,
x2
(b1 − x1 ) = 0.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(3.9)
(3.10)
(3.11)

54.

При х1 b1 = 0 и из уравнения (3.9) следует:
~ p1 х1 p1 b1
0 Q Q =
=
p0 p0
в этом случае оптимальные значения факторов
рассчитываются так же, как в долгосрочном периоде
(так как
): = 0
p0
*
х1 = Q ,
p1
p0
*
x2 = Q
p2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

55.

При х1 = b1 оптимальные значения равны:
х1* = b1
p0
*
х 2 = Q p
2
,
(из (3.10)).
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(3.12)

56. Долгосрочный и краткосрочный планы

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

57. Функция спроса на второй ресурс из соотношения (3.12):

( ) (х )
*
1
х = А х
*
2
*
2
р0
р2
( )
* 1−
р0
х2
= Аb1
р2
1
1−
*
р0
х2 = Аb1
р2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(3.13)

58. Оптимальный объем выпуска

Из выражения производственной функции
Кобба-Дугласа с учетом соотношения (3.12):
* р0
Q = Аb Q
р2
1
*
Q =А
*
1
1−
1−
1
b
р0
р2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
1−
(3.14)

59. 3.5. АНАЛИЗ БЕЗУБЫТОЧНОСТИ

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

60. Безубыточность – это такое финансово-хозяйственное состояние, при котором доход фирмы равен издержкам. Объем производства, при

котором достигается состояние
безубыточности, называется
критическим.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

61. Выражение для критического объема производства получим из условия равенства доходов и расходов:

р0 Q = C F + cv Q
СF
Qкр . =
p0 − c v
где c v - удельные (средние) переменные
издержки.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

62. Анализ "валовой доход - валовые издержки"

Анализ "валовой доход - валовые издержки"
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

63. Условие возможности функционирование фирмы:

'
р0 cv
Условие ликвидации фирмы:
''
р0 cv
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

64. Анализ "предельный доход - предельные издержки"

Анализ "предельный доход предельные издержки"
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

65. 3.6. РАЦИОНАЛЬНАЯ КОММЕРЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В УСЛОВИЯХ МОНОПОЛИИ И МОНОПСОНИИ

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

66. Монополия – рынок одного производителя, характеризуется зависимостью цены товара от объема рынка:

р0
0
Q
Монопсония - рынок одного покупателя,
характеризуется зависимостью цены ресурса
от объема закупок:
рi
0 , i = 1,..., n.
xi
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

67. Задача фирмы

max П = max р0 (Q)Q − р1 (x1 )x1 − р2 (x2 )x2
Q, x1 , x2
Q, x1 , x2
Q = Q( x1 , x2 )
Цена товара определяется выражением
p(Q ) = p0 + pQ
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

68.

Предельный доход в условиях монопсонии:
R(Q )
MR (Q ) =
= p0 + 2 pQ
Q
p0
p=
0 показывает, на
Q
где производная
сколько рублей снижается цена продукции от
своего начального значения р0 при увеличении
объема предложения фирмы на единицу.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

69. Цена ресурса равна:

pi (xi ) = pi + pi xi
Предельные издержки в условиях
монопсонии:
MCi (Q) = pi (xi ) + pi xi = pi + 2 pi xi , i = 1,2
pi
pi =
0
xi
где
– рост цены ресурса
при увеличении его закупок на единицу.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

70. 3.7. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЛАН ПРОИЗВОДСТВА В УСЛОВИЯХ МОНОПОЛИИ И МОНОПСОНИИ

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

71. Функция Лагранжа:

L(Q , x1 , x2 , ) = p0 Q − p1 x1 − p2 x2 + (Q( x1 , x2 ) − Q )
Необходимые условия экстремума:
p0
L
=
p
+
Q − = 0,
0
Q
Q
pi
Q
L
=
−
p
−
x
+
= 0, i = 1,2,
i
i
xi
xi
xi
L
= Q( x1 , x2 ) − Q = 0,
p0 *
=
p
+
Q ,
0
Q
pi *
Q
=
p
+
xi , i = 1,2,
i
xi
xi
Q* = Q x* , x* .
1
2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(
)

72. Подставим первое условие

( )
*
Подставим первое условие = MR Q
во второе:
( )
( )
( )
MR Q MQi x = MCi x , i = 1,2.
*
*
i
*
1
(3.16)
Дополнительное условие – производственная
функция:
(
)
Q* = Q x1* , x*2 = Ax1 x2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

73. Условие (3.16) также имеет вид:

П (Q ) R(Q ) C (Q )
=
−
=0
Q
Q
Q
( )
( )
MR Q = MC Q
*
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
*
(3.18)

74. Рассмотрим два частных случая:

а) отрицательный эффект расширения
масштаба при r = 0,5; подставим в (3.18)
выражение предельного дохода (3.15) и
предельных издержек:
p0
1
−1
1
+ 2 pQ = DQ r
r
1
p0 + 2 p Q =
0 ,5
p0
Q =
2D − 2 p
*
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
1
−1
DQ 0 ,5
(3.19)

75. б) отсутствие эффекта расширения масштаба при r = 1; аналогично предыдущему случаю:

p0
1
−1
1
+ 2 pQ = DQ 1
1
D − p0
Q =
2p
*
Запишем выражения предельных продуктов
MQ1 = Q/х1 , MQ2 = Q/х2;
и выражения предельных издержек,
продифференцировав
С=p1x1+p2x2:
MC1=p1, MC2=p2.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(3.20)

76. Подставим эти выражения в (3.16)

(р0+2 p Q*) Q*/х1* = p1, (р0+2 p Q*) Q*/х2*= p2..
Откуда можно выразить функции спроса
на ресурсы
( )=
x*1 Q *
( )=
x*2 Q *
( p0 + 2 pQ * )Q *
p1
( p0 + 2 pQ * )Q *
p2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(3.21)

77. Из графического анализа:

*
*
П мон П сов.кон.
*
мон
Q
Q
*
сов.кон.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

78. Оптимальный выпуск в условиях монополии

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

79. 3.8. РАЦИОНАЛЬНАЯ КОММЕРЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В УСЛОВИЯХ ОЛИГОПОЛИИ И ОЛИГОПСОНИИ

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

80. Олигополией называется рынок, на котором однородную продукцию предлагают несколько продавцов.

Олигопсонией называется рынок, на
котором продукция определенного вида
приобретается несколькими
покупателями.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

81. Производственные функции дуполистов:

Q1 = f 1 ( x11 , x12 ,..., x1n ) Q2 = f 2 ( x21 , x22 ,..., x2 n )
Где Q1 - объем выпуска первой фирмы;
Q2 - объем выпуска второй фирмы;
x1i - объем i-го ресурса, затраченный первой
фирмой;
x2i - объем i-го ресурса, израсходованный второй фирмой.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

82. Условие олигополии:

p0
0
(Q1 + Q2 )
Условие олигопсонии:
pi
0,
(x1i + x2i )
i = 1,2,..., n.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

83. Основная задача одной из фирм:

n
max П1 = p0 (Q1 ,Q2 )Q1 − pi ( x1i , x2i ) x1i
Q1 ,x1i
i =1
Q1 = f 1 ( x11 , x12 ,..., x1n )
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

84. Функция Лагранжа:

n
L(Q , x , ) = p0 (Q1 ,Q2 )Q1 − pi ( x1i , x2i )x1i − f 1 ( x11 , x12 ,..., x1n ) − Q1
i =1
Условия оптимальности функции Лагранжа
первого порядка:
p0
p0 Q2
L
Q = p0 (Q1 ,Q2 ) + Q1 Q + Q1 Q Q + = 0 ,
(3.22)
1
1
2
1
pi
pi x2i
L
f 1
(
)
=
−
p
x
,
x
−
x
−
x
−
= 0 , i = 1,2,..., n,
i
1i
2i
1i
1i
x1i
x2 i x1i
x1i
x1i
L
= f 1 ( x11 , x12 ,..., x1n ) − Q1 = 0.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

85. Выразив множитель Лагранжа из первого уравнения системы (3.22) и подставив его выражение вместо во второе уравнение системы

(3.22), можно получить:
p0 p0 Q2 f1
pi
pi x2i
+
= pi + x1i
+
, i = 1,2,...,n,
p0 + Q1
x1i x2i x1i
Q1 Q2 Q1 x1i
Q1 = f1 ( x11 , x12 ,..., x1n ).
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

86. Предположительные вариации на рынке дуполии –изменение объема выпуска продукции второго конкурента при единичном увеличении

объема
выпуска первого конкурента:
Q2 Q1
,
Q1 Q2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

87. Предположительные вариации на рынке дупсонии – характеризуют изменения затрат ресурса i-го вида второй фирмы при единичном

увеличении израсходованного первой
фирмой объема данного ресурса:
x2i x1i
,
х1i х2i
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

88. 3.9. ДУПОЛИЯ КУРНО

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

89. Черты дуполии

Функции издержек производителей имеют вид:
С1 = сQ1 + d , С2 = сQ2 + d ,
c 0, d 0 ,
где d – сумма постоянных издержек,
с - величина предельных издержек.
Функция предложения товара аддитивна:
Q = Q1 + Q2
а функция спроса может быть представлена в виде:
р0 = a − b(Q1 + Q2 ),
a 0, b 0.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

90. Функция прибыли одного из дуполистов записывается следующим образом:

П1 = a − b(Q1 + Q2 ) Q1 − cQ1 − d ,
(3.23)
поэтому можно записать условие первого порядка
максимизации прибыли:
П1
Q2
= a − b(Q1 + Q2 ) − bQ1 − b
Q1 − c = 0.
Q1
Q1
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

91. Гипотеза Курно

Предположительные
вариации
равны нулю:
Q2
Q1
= 0,
=0=0
Q1
Q2
Равновесие Курно для обеих фирм определяется
условиями:
П 1
П 2
= 0,
=0
Q1 Q2 =0
Q2 Q1 =0
Q1
Q2
a − b(Q1 + Q2 ) − bQ1 − c = 0 ,
a − b(Q1 + Q2 ) − bQ2 − c = 0 ,
a−c
откуда Q1 = Q2 =
3b
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
или

92. Соответственно равновесная рыночная цена составит:

a + 2c
р0 =
3
а совокупный объем предложения равен:
2(a − c )
Q = Q1 + Q2 =
3b
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

93. Прибыли дуполистов Курно (из формулы (3.23)):

П
К
1
П
К
2
2(a − c )
= a − b(Q1 + Q2 ) Q1 − cQ1 − d = a − b
Q1 − cQ1 − d
3b
2(a − c )
= a − b(Q1 + Q2 ) Q2 − cQ2 − d = a − b
Q2 − cQ2 − d
3b
П1 = П 2
Таким образом, сумма прибыли каждого из
дуполистов Курно составит:
(
2(a − c ) a − c
a−c
a − c)
K
П i = a − b
−c
−d =
− d,
3b 3b
3b
9b
2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
i = 1,2. (3.27)

94. Обобщение на случай более двух фирм

Если олигополистическая конкуренция имеет место
между F фирмами, то:
a−c
Qj =
, j = 1,2,...,F
( F + 1)b
a + Fc
F a−c
р0 =
, Q=
F +1
F +1 b
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

95. Геометрическая интерпретация

Кривые реакции дуполистов получим из уравнения
(3.24):
a − c Q2
Q1 =
−
2b
2
(3.25)
a − c Q1
Q2 =
−
2b
2
(3.26)
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

96. Равновесие Курно

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

97. 3.10. ДУПОЛИЯ СТЭКЕЛЬБЕРГА

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

98. Гипотеза Стэкельберга: одна или обе фирмы предполагают, что конкурент выберет стратегию дуполиста Курно

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

99. Равновесие Стэкельберга

Предположение первой фирмы: кривая реакции 2-й
фирмы известна
a − c − bQ1
Q2 =
2b
В этом случае предположительная вариация равна:
Q2
a − c − bQ1
1
=
=−
Q1 Q1
2b
2
Следовательно, необходимое условие
оптимальности имеет вид:
П1
1
= a − b(Q1 + Q2 ) − bQ1 − c + bQ1 = 0
Q1
2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

100. Кривая реакции первой фирмы определяется выражением:

a − c − bQ2
Q1 =
3
b
2
Пересечение кривых реакций:
a − c − bQ2
,
Q1 =
3
b
2
a − c − bQ1
,
Q2 =
2b
a − c − bQ2
,
Q1 =
3
b
2
a−c
,
Q2 =
4b
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
a−c
Q
=
,
1
2b
Q = a − c .
2
4b

101. Общий объем выпуска продукции равен:

3 a−c
Q1 + Q2 =
4 b
Равновесная рыночная цена на таком рынке
сложится на уровне:
3 a − c a + 3c
р = a − b(Q1 + Q2 ) = a − b
=
4 b
4
C
0
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

102. Сумма прибыли первой фирмы составит:

(a − c) − d
3 a − c a − c a − c
П1С = a − b(Q1 + Q2 ) Q1 − cQ1 − d = a − b
−
c
−
d
=
4 b 2b
2b
8b
2
(3.28)
Сумма прибыли второй фирмы составит:
(
3 a − c a − c a − c
a − c)
С
П 2 = a − b(Q1 + Q2 ) Q2 − cQ2 − d = a − b
−c
−d =
−d
4 b 4b
4b
16b
2
(3.29)
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

103. Общая ёмкость рынка увеличивается по сравнению с равновесием Курно:

a − c a − c 3(a − c) 2(a − c)
QC = Q1 + Q2 =
+
=
= QK
2b
4b
4b
3b
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

104. Равновесие Стэкельберга

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

105. Неравновесие Стэкельберга

Предположения фирм: кривые реакций известны,
то есть каждая фирма неправильно предполагает,
что другая использует реакцию Курно.
Пересечение кривых реакций Стэкельберга:
a − c − bQ2
,
Q1 =
3
b
2
Q = a − c − bQ1 ,
3
2
b
2
a−c
Q1 = 5 ,
b
2
Q = a − c .
5
2
b
2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

106. Совокупный объем выпуска обеих фирм составит:

4(a − c )
Q1 + Q2 =
5b
Рыночная цена в условиях неравновесия
Стэкельберга сложится на уровне:
р
CН
0
4 a − c a + 4c
= a − b(Q1 + Q2 ) = a − b
=
5 b
5
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

107. При этом суммы прибыли дуполистов равны:

СН
1
П
=П
СН
2
= a − bQ
CН
Q − cQ − d
CН
i
CН
i
4(a − c ) 2(a − c )
2(a − c )
a − b 5b 5b − c 5b − d =
2(a − c )
=
−d
25b
2
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

108. В условиях неравновесия Стэкельберга обе фирмы производят больше продукции, чем при равновесии Курно:

СН
i
Q
a −c a −c a −c
−Q =
−
=
5
3b
15b
b
2
К
i
однако получают меньшие суммы прибыли:
(
2(a − c )
a − c)
7 (a − c )
−П =
−d −
+d =−
25b
9b
225b
2
П
CН
i
K
i
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
2
2

109. 3.11. КООПЕРАТИВНАЯ ДУПОЛИЯ

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

110. Задача кооперативной дуполии:

max П = max a − b(Q1 + Q2 ) (Q1 + Q2 ) − c(Q1 + Q2 ) − 2d
Q1 ,Q2
Q1 ,Q2
Условие оптимальной программы выпуска фирм:
П
= a − b(Q1 + Q2 ) − b(Q1 + Q2 ) − c = 0
(Q1 + Q2 )
так что
a−c
Q1 + Q2 =
2b
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

111. Рыночная цена в условиях кооперации установится на уровне:

a−c a+c
р 0 = a − b(Q1 + Q2 ) = a − b
=
2b
2
При равных производственных
возможностях каждая фирма производит
продукцию в объеме:
a−c
Q1 = Q2 =
4b
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор
(3.31)

112. Сумму совокупной прибыли дуполистов определим, подставив объемы продукции (3.31) в формулу прибыли дуполии (3.23):

(
a − c)
П =
− 2d
2
4b
Условие оптимального выпуска первой
фирмы как монополиста:
max П1 = max (a − bQ1 )Q1 − cQ1 − d
П 1
= a − 2bQ1 − c = 0
Q1
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

113. Типы дуполии

Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор

114. Кооптимальная линия имеет уравнение

a−c
Q1 + Q2 =
2b
и представляет собой множество точек касания
изопрофит двух фирм.
В пределах кооптимальной линии ни одна из
фирм не может увеличить свою прибыль, не
уменьшив прибыль конкурента, т.е. линия
определяет множество Парето для дуполистов.
Математическая экономика. Лектор Гераськин М.И., д.э.н., профессор