Кватернионы

1.

МАТЕМАТИКА & ТЕХНОЛОГИИ
Кватернионы и 3D-Вращения
От фундаментальной формулы Гамильтона 1843 года до современной
навигации и компьютерной графики
Учебный доклад

2.

СТРУКТУРА ДОКЛАДА
Содержание
01
02
03
04
Истоки & Мотивация
Актуальность
Алгебра & Вращения
Результаты & Вывод
Открытие Гамильтона и исторический
контекст 1843 года.
Проблема ориентации тел в
пространстве и навигация.
Свойства, операция поворота p'=qpq*
и матричное сравнение.
Устранение Gimbal Lock и ключевые
преимущества.

3.

1. ВВЕДЕНИЕ И ИСТОКИ
Открытие У. Р. Гамильтона (1843)
Озарение на мосту Брум-Бридж
Обобщение комплексных чисел на трехмерное пространство требует трех
мнимых единиц.
Фундаментальная формула умножения кватернионов
i² = j² = k² = ijk = -1
Некоммутативность
Первая некоммутативная алгебра в истории математики: ab ≠ ba.

4.

2. АКТУАЛЬНОСТЬ
Где Применяются Кватернионы Сегодня?
3D-Графика & Игры
Космонавтика & Авиация
Робототехника
Плавное вращение виртуальных камер и костей
персонажей в Unreal Engine и Unity.
Точная ориентация спутников, МКС, самолетов и
беспилотников в пространстве.
Расчет кинематики многозвенных манипуляторов и
промышленных роботов.

5.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Проблема Традиционных Методов Вращения
Недостатки Углов Эйлера
Цель Исследования
Складывание рамок: Потеря одной степени свободы при совпадении
осей (Gimbal Lock).
Изучить алгебру: Аппарат гиперкомплексных чисел и единичных
кватернионов.
Скачки интерполяции: Нелинейное резкое вращение между ключевыми
кадрами.
Доказать преимущество: Вычислительная устойчивость и эффективный
поворот 3D-векторов.

6.

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Структура Кватерниона
q = a + bi + cj + dk
Форма записи через четыре вещественных параметра (a, b, c, d)
Скалярная Часть
Векторная Часть
Векторная Запись
s=a
v⃗ = (b, c, d)
q = (s, v⃗)

7.

3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
Операции над Кватернионами
Сопряжение
Норма (Длина)
Произведение
q* = a - bi - cj - dk
|q| = √(a² + b² + c² + d²)
q₁q₂ = (s₁s₂ - v₁·v₂,