Neravenstva_10klass(1)

1.

АЛГЕБРА · 10 КЛАСС
Неравенства
и системы неравенств
Линейные · Квадратные · Дробно-рациональные · Метод интервалов

2.

01
·
ВВЕДЕНИЕ
01 / 16
Что такое неравенство?
Если в уравнении заменить знак «=» на один из знаков неравенства — получится неравенство.
>
≥
<
≤
больше
больше или равно
меньше
меньше или равно
Строгий знак > < → точка выколотая (○) | Нестрогий ≥ ≤ → точка жирная (●)

3.

02
·
ПРОМЕЖУТКИ
02 / 16
Таблица числовых промежутков
Неравенство
Схема на оси
x < c
Ответ
x ∈ (−∞ ; c)
c
x ≤ c
x ∈ (−∞ ; c]
c
x > c
x ∈ (c ; +∞)
c
x ≥ c
x ∈ [c ; +∞)
c

4.

03
·
ЛИНЕЙНЫЕ
Линейные неравенства
Вид: ax < b , ax ≤ b , ax > b , ax ≥ b (a ≠ 0)
1. Раскрыть скобки, перенести x влево, числа вправо, привести подобные.
2. Поделить обе части на коэффициент a.
• Если a > 0 — знак неравенства НЕ меняется.
• Если a < 0 — знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный!
3. Записать ответ в виде промежутка (см. таблицу).
03 / 16

5.

04
·
ПРИМЕР ЛИНЕЙНОГО
04 / 16
Пример: 3(2 − x) > 18
6 − 3x > 18
раскрыли скобки
−3x > 12
перенесли 6 вправо
x < −4
÷ (−3) → знак изменился!
Ответ:
x ∈ (−∞ ; −4)
−4

6.

05
·
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ
Метод интервалов — универсальный способ
для квадратных, кубических, дробно-рациональных неравенств
1
Привести неравенство к виду f(x) ≥ 0 (или > , < , ≤)
2
Найти корни уравнения f(x) = 0
3
Отметить корни на числовой оси (○ выколотые / ● жирные)
4
Расставить знаки на интервалах (подставить пробную точку)
5
Выбрать интервалы нужного знака и записать ответ
05 / 16

7.

06
·
СХЕМА ЗНАКОВ
06 / 16
Как расставлять знаки на оси
Пример: корни x = −3 и x = 4 (неравенство ≥ 0)
+
−
−3
+
4
Как определить знак?
Что берём в ответ?
Берём любую точку из интервала
и подставляем в f(x).
Получилось > 0 → «+», < 0 → «−».
Знаки чередуются через корни.
Если неравенство ≥ 0 или > 0
→ интервалы со знаком «+»
Если ≤ 0 или < 0
→ интервалы со знаком «−»
Для ≥ 0 берём «+» →
x ∈ (−∞ ; −3] ∪ [4 ; +∞)
Точки −3 и 4 входят (жирные), потому что знак нестрогий

8.

07
·
КВАДРАТНЫЕ
07 / 16
Квадратное: x² ≥ x + 12
x² − x − 12 ≥ 0
→
x² − x − 12 = 0
→
D = 49
+
→
x₁ = −3,
x₂ = 4
−
−3
Ответ:
+
4
x ∈ (−∞ ; −3] ∪ [4 ; +∞)
Ещё пример (строгий): x² − 5x < 6 → x² − 5x − 6 < 0 → корни −1 и 6
+
−
−1
+
6
Ответ:
x ∈ (−1 ; 6)

9.

08
·
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ
Дробно-рациональные неравенства
Вид: f(x) / g(x) < 0 (или ≤ , > , ≥)
1.
Нули числителя f(x) = 0
жирные или выколотые — зависит от знака неравенства
2.
Нули знаменателя g(x) = 0
ВСЕГДА выколотые (деление на ноль запрещено!)
3.
Отметить все точки + расставить знаки
метод интервалов работает точно так же
4.
Выбрать нужные интервалы
и записать ответ
08 / 16

10.

09
·
ПРИМЕР ДРОБИ
09 / 16
Пример: (x − 1) / (x + 3) > 0
Нули: числитель x = 1 (выколотая) | знаменатель x = −3 (выколотая)
+
−
+
−3
1
Ответ:
x ∈ (−∞ ; −3) ∪ (1 ; +∞)
Обе точки выколотые, потому что знак строгий и знаменатель = 0 в −3
Ещё: (x² − 1)/x > 0 → нули числителя ±1 (выколотые), ноль знаменателя 0 (выколотая)
Знаки:
−
(−1)
+
(0)
−
(1)
+
→
ответ:
x ∈ (−1 ; 0) ∪ (1 ; +∞)

11.

10
·
СИСТЕМЫ
Системы неравенств
Система { } — ищем пересечение решений (общие точки для всех неравенств).
1. Решить каждое неравенство отдельно.
2. Изобразить оба решения на одной числовой оси.
3. Найти участки, где решения пересекаются.
4. Записать ответ (пересечение).
10 / 16

12.

11
·
ПРИМЕР СИСТЕМЫ
11 / 16
Система: { 2x − 3 ≤ 5 ; 7 − 3x ≤ 1 }
1-е:
2x − 3 ≤ 5
→
x ≤ 4
2-е:
x ∈ (−∞ ; 4]
7 − 3x ≤ 1
x ∈ [2 ; +∞)
Пересечение на оси:
2
Ответ:
4
x ∈ [2 ; 4]
Пересечение отрезка [2 ; +∞) и (−∞ ; 4]
→
x ≥ 2

13.

12
·
ИТОГ
Главное, что нужно помнить
Линейные
Делим на a. Если a < 0 — знак меняется!
Метод интервалов
Корни → ось → знаки (пробная точка) → выбор интервалов
Точки
Строгий знак → ○ выколотая; нестрогий → ● жирная
Дроби
Нули знаменателя всегда выколотые
Системы
Решаем отдельно → ищем пересечение на оси
12 / 16

14.

13
·
ЗАДАЧИ (средний уровень)
13 / 16
Решите самостоятельно
1
2(x − 5) ≤ 3x + 4
2
x² − 4x − 5 ≥ 0
3
(x − 2)/(x + 1) < 0
4
{
5
x² + 2x < 3
x + 3 > 0
линейное
квадратное
;
дробно-рациональное
2x − 1 ≤ 5
}
система
квадратное

15.

14
1.
·
ОТВЕТЫ (1–3)
14 / 16
2(x − 5) ≤ 3x + 4
2x − 10 ≤ 3x + 4 → −x ≤ 14 → x ≥ −14
−14
Ответ: x ∈ [−14 ; +∞)
2.
x² − 4x − 5 ≥ 0
x² − 4x − 5 = 0 → (x − 5)(x + 1) = 0 → x = −1, x = 5
+
−
+
−1
5
Ответ: x ∈ (−∞ ; −1] ∪ [5 ; +∞)
3.
(x − 2)/(x + 1) < 0
Нули: числитель x = 2 (○), знаменатель x = −1 (○)
+
−1
Ответ: x ∈ (−1 ; 2)
−
+
2

16.

15
4.
·
ОТВЕТЫ (4–5)
{
x + 3 > 0
15 / 16
;
2x − 1 ≤ 5
}
1-е: x > −3 | 2-е: 2x ≤ 6 → x ≤ 3
−3
3
Ответ: x ∈ (−3 ; 3]
5.
x² + 2x < 3
x² + 2x − 3 < 0 → (x + 3)(x − 1) = 0 → x = −3, x = 1
+
−
−3
+
1
Ответ: x ∈ (−3 ; 1)
Краткие ответы
1. [−14 ; +∞)
2. (−∞ ; −1] ∪ [5 ; +∞)
4. (−3 ; 3]
5. (−3 ; 1)
3. (−1 ; 2)