Уравнение линии на плоскости [YAGEFR]

1.

Математика
Лекция 2
Аналитическая геометрия
в прикладных инженерных задачах

2. План лекции

1. Общее уравнение прямой
2. Уравнение прямой в отрезках
3. Каноническое уравнение прямой
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
5. Угол между двумя прямыми
6. Расстояние от точки до прямой
7. Кривые второго порядка

3.

Реальная ситуация применения уравнений прямой.
На территории промышленного комплекса нужно проложить кабель
между двумя объектами:
•пункт A с координатами (2;3)(2;3);
•пункт B с координатами (10;7)(10;7).
Между ними находится зона с высоким уровнем грунтовых вод
(опасная зона), которую необходимо обойти. Зона представлена
кругом с центром в точке (6;5)(6;5) и радиусом 22 единицы. Требуется:
1.Найти уравнение прямой трассы AB без учёта препятствия.
2.Определить, пересекает ли трасса опасную зону.
3.Рассчитать альтернативный маршрут с одной промежуточной точкой
C так, чтобы:
1. точка C лежала на касательной к опасной зоне;
2. общая длина трассы A→C→BA→C→B была минимальной;
3. новый маршрут не заходил в опасную зону.
4. Сравнить длины исходного и альтернативного маршрутов.

4. Общее уравнение прямой

Уравнение вида:
Ax + By + C = 0
с произвольными коэффициентами А; В; С такими , что А и В не
равны нулю одновременно, называется общим уравнением
прямой.
ортогонален этой прямой и называется
Вектор n = A; B
нормальным.

5. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой называется полным, если все
коэффициенты А, В, и С отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.
Виды неполных уравнений:
1)
C = 0;
Ax + By = 0
2)
B = 0;
Ax + C = 0
3)
A = 0;
By + C = 0
4)
B = C = 0;
Ax = 0 x = 0
5)
A = C = 0;
By = 0 y = 0
y
0
х

6. Уравнение прямой в отрезках

Рассмотрим полное уравнение прямой:
Ax + By + C = 0
x
y
−C + −C = 1
A
B
−C
Обозначим:
=a
A
Ax By
+
=1
−C −C
Получим:
x y
+ =1
a b
Ax + By = −C
−C
=b
B
Уравнение в отрезках
Уравнение в отрезках
используется для построения
прямой, при этом a и b – отрезки,
которые отсекает прямая от осей
координат.
y
b
0
a
х

7. Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой,
называется направляющим вектором этой прямой.
Требуется найти уравнение прямой, проходящей через заданную
точку М0(х0; у0 ) и параллельно заданному вектору q = l; m
Очевидно, что точка М (х; у ) лежит на
прямой, только в том случае, если
векторы
q = l; m и M 0 M = x − x0 ; y − y0
q
М (х; у )
М0(х0; у0 )
коллинеарны.
По условию коллинеарности получаем:
x − x0
y − y0
=
l
m
Каноническое уравнение
прямой

8. Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ) и М2(х2; у2 ).
q
М2(х2; у2 )
М1(х1; у1 )
Тогда в качестве направляющего вектора в каноническом
уравнении можно взять вектор:
q = M1M 2 = x 2 − x1; y 2 − y 1
x − x1
y − y1
=
y2m
− y1
x2 −l x1
Уравнение прямой,
проходящей через две
заданные точки

9. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси OY и имеет направляющий
вектор q = l; m , то угловой коэффициент k этой прямой
равен тангенсу угла наклона прямой к оси OX.
y
mq
0
m
k = tg =
l
l
x − x0
y − y0
=
l
m
х
Уравнение прямой с
угловым коэффициентом
m
y − y0 = k ( x − x0 )
l
y = y0 + kx − kx0 y = kx + yb0 − kx0
=b

10. Пример

Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет направляющий
вектор: q = {− 1; 3 }
Написать: каноническое, общее уравнение прямой, уравнение
прямой в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом.
Найти нормальный вектор прямой, отрезки, которые отсекает
прямая от осей координат и угол, который составляет прямая с
осью OX.
1. Каноническое уравнение:
2. Общее уравнение:
3x + y − 5 = 0
x −1 y − 2
=
−1
3
N = {3;1}
x −1 y − 2
=
−1
3
3 ( x − 1) = −( y − 2 )

11. Пример

3. Уравнение в отрезках: 3 x + y − 5 = 0
3x y
+ =1
5 5
x y
+ =1
5
5
3
a=
5
3
4. Уравнение с угловым коэффициентом:
М
N
0
a
х
b=5
3x + y − 5 = 0
y = −3 x + 5
y
b
q
3x + y = 5
k = tg = − 3

12. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L1 :
L2 :
A1x + B1y + C1 = 0
A2 x + B2 y + C2 = 0
Угол между этими прямыми
определяется как угол между
нормальными векторами к этим прямым:
n1 = A1;B1
n2
n1
L2
n2 = A2 ;B2
n1 n2
cos = cos(n1; n2 ) =
n1 n2
=
A1 A2 + B1 B2
A12 + B12 A22 + B22
A1 A2 + B1 B2 = 0
L1 ⊥ L2
A1 B1
=
A2 B2
L1 ll L2
L1

13. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:
L1 :
L2 :
x − x1 y − y 1
=
l1
m1
x − x2 y − y 2
=
l2
m2
q2
Угол между этими прямыми определяется
как угол между направляющими векторами
к этим прямым: q1 = l1;m1
q2 = l 2;m2
cos = cos(q1; q2 ) =
l1 l 2 + m1 m2 = 0
l1 m1
=
l 2 m2
L2
q1
q1 q2
q1 q2
=
l1 l 2 + m1 m2
l12 + m12 l 22 + m22
L1 ⊥ L2
L1 ll L2
L1

14. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами:
y
L
L1 :
y = k1x + b1
L2 :
y = k2 x + b2
2
= 2 − 1
k1 = tg 1
1
k2 = tg 2
2
0
tg 2 − tg 1
k 2 − k1
tg = tg ( 2 − 1 ) =
=
1 + tg 2 tg 1
1 + k 2 k1
k1 k2 = −1
k1 = k2
L1 ⊥ L2
L1 ll L2
х
L1

15. Расстояние от точки до прямой

Пусть необходимо найти расстояние от точки М0(х0; у0 ) до
прямой, заданной общим уравнением: Ax + By + C = 0
М0(х0; у0 )
n
Пусть М1(х1; у1 ) – основание
перпендикуляра, опущенного из
точки М0 на прямую L.
d
М1(х1; у1 )
d = M1M0 = x0 − x1; y 0 − y1
L
Найдем скалярное произведение векторов n =
A; B и M M
1
n M1M0 = n M1M0 cos
=0
или
=
n M1M0 = n M1M0
cos = 1
= n d
Найдем скалярное произведение в координатной форме:
n M1M0 = A( x0 − x1 ) + B( y 0 − y1 ) = Ax0 − Ax1 + By 0 − By1
0

16. Расстояние от точки до прямой

= Ax0 + By 0 − (Ax1 + By1 )
Точка М1(х1; у1 ) принадлежит прямой L , следовательно:
Ax1 + By1 + C = 0
Ax + By = −C
1
1
n M1M0 = Ax0 + By 0 + C
n d = Ax0 + By0 + C
n M1M0 = n d
Ax0 + By 0 + C
d =
n
d=
Ax0 + By 0 + C
A2 + B 2

17. Биссектриса углов между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:
L1 :
A1x + B1y + C1 = 0
L2 :
A2 x + B2 y + C2 = 0
L2
Если точка M(x; y) лежит на биссектрисе
угла между прямыми, то расстояние от
точки М до прямой L1 равна расстоянию до
прямой L2: d1 = d2
d1 =
A1x + B1y + C1
A +B
2
1
2
1
d2 =
A2 x + B2 y + C2
A22 + B22
A1A
x1+
y1y+ C
xB
+1B
+ 1C1 AA2 2xx++BB2 2yy++CC2 2
= =
2 2
2 2
A1A+1 B
AA2222++BB2222
+1B1
d2
M(x; y)
d1
L1

18. Пример

Даны вершины треугольника: А(1; 1); В(10; 13); С(13; 6)
Найти: Уравнения высоты, медианы и биссектрисы,
проведенных из вершины А.
1. Уравнение высоты:
x − 10 y − 13
=
(ВС):
13 − 10 6 − 13
x − 10 y − 13
=
3
−7
А
− 7 x + 70 = 3 y − 39 7 x + 3 y − 109 = 0
N = {7; 3 }
(АН):
q = {7; 3 }
3x − 7y + 4 = 0
x −1 y −1
=
7
3
В
N =q
Н
С
3x − 3 = 7y − 7

19. Пример

В
2. Уравнение медианы:
т. М: =
xM =
yM =
BM
MC
x B + xC
2
=1
А
10 + 13
=
= 11 .5
2
y B + yC
13 + 6
=
= 9 .5
2
2
x −1
y −1
=
11.5 − 1 9.5 − 1
8 .5 x + 10 .5 y + 2 = 0
M (11 .5; 9 .5 )
С
x −1 y −1
=
10.5 8.5
М
8 .5 x − 8 .5 = 10 .5 y − 10 .5
17 x + 21y + 4 = 0

20. Пример

В
4. Уравнение биссектрисы:
(АВ):
x −1 y −1
=
10 − 1 13 − 1
x −1 y −1
=
9
12
12 x − 9 y − 3 = 0
12 x − 12 = 9 y − 9
4x − 3y − 1 = 0
x −1 y −1
x −1 y −1
=
=
(АС):
13 − 1 6 − 1
12
5
4x − 3y − 1
5 x − 12 y + 7
4 + ( −3 )
5 + ( −12)
2
К
С
5 x − 12 y + 7 = 0
5 x − 5 = 12 y − 12
=
2
А
2
2
4x − 3y − 1
5 x − 12 y + 7
=
5
13
52 x − 39 y − 13 = (25 x − 60 y + 35 )

21. Пример

Для биссектрисы внутреннего угла треугольника должно
выполняться условие:
k AB k AK k AC
или
4x − 3y − 1 = 0
5 x − 12 y + 7 = 0
k AC k AK k AB
4
1
y = x−
3
4
5
7
y = x+
12
12
4
3
5
k AC =
12
k AB =
27 x + 21y − 48 = 0
9
16
9
y
=
−
x
+
9 x + 7 y − 16 = 0
k AK = −
7
9
7
2) 52 x − 39 y − 13 = − ( 25 x − 60 y + 35 ) 77 x − 99 y − 22 = 0
1) 52 x − 39 y − 13 = 25 x − 60 y + 35
7x − 9y − 2 = 0
7
2
y = x−
9
9
7
k AK =
9
5 7 4
12 9 3

22. Общее уравнение кривой второго порядка

К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем
которого является окружность, гипербола и парабола.
Они задаются уравнением второй степени относительно x и y:
Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
Общее уравнение кривой
второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может определять
также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

23. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек на
плоскости, равноудаленных от точки А(a; b) (центр окружности) на
расстояние R (радиус окружности).
Для любой точки М справедливо:
y
М(x; y)
А
0
AM = R
R
(x − a ) + (y − b ) = R
2
2
х
(x − a ) + (y − b ) = R
2
Каноническое уравнение
окружности
2
2

24. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
Зададим систему координат и начало координат выберем в
середине отрезка [F1 F2]
r1 + r2 = 2a
y
r1
F1(−c; 0);
F2 (c; 0)
r2
r1 = F1M =
(x + c ) + y
r2 = F2M =
(x − c ) + y
2
2
F2
F1
-c
M(x; y)
0
c
х
2
2

25. Эллипс

Другие канонические уравнения кривых эллиптического типа:

26. Эллипс

С эллипсом связаны две
прямые, называемые его
директрисами, уравнения
которых имеют вид:
y
d1
d2
M(x; y)
r2
r1
F2
F1
−
a
-c
0
c
x=
a
х
a
Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к
расстоянию
до
соответствующей
директрисы
равно
эксцентриситету эллипса:
r1 r2
= =
d1 d 2

27. Пример

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в
точках F1(-4; 0) F2(4; 0), а эксцентриситет равен 0,8.
c=4
c
= = 0 .8
a
c 2 = a2 − b2
b 2 = a 2 − c 2 = 25 − 16 = 9
Каноническое уравнение эллипса:
y
3
-5
0
-3
c
4
a= =
=5
0 .8
5 х
x2 y 2
+
=1
25 9
b=3

28. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность
расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
y
r1 − r2 = 2a
M(x; y)
F1
-c
F1(−c; 0);
r1
F2
0
c
F2 (c; 0)
r2
х
x2 y 2
− 2 =1
2
a
b

29. Гипербола

Директрисы гиперболы
имеют уравнения
y
d2
d1
r1
b
F1
-c -а
0
F2
а c
M(x; y)
r2
x=
a
х
-b
Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к
расстоянию
до
соответствующей
директрисы
равно
эксцентриситету гиперболы.

30. Пример

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку
А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями:
6
y =
x
3
b
6
=
a
3
3b = 6a
62 ( −4)2
x2 y 2
− 2 =1 2 −
=1
Точка А лежит на гиперболе
2
2
a
a
b
b
36b 2 − 16a 2 = a 2b 2
2
3b = 6a
b2 = a2
Решим систему:
3
2
2
2 2
2
2
2 2
36b − 16a = a b
36
b
−
16
a
=
a
b
2 2
2
2
b
=
a
a = 2 3
a
= 12
3
2
2
b =8
b = 2 2
24a 2 − 16a 2 = a 4
3

31. Пример

Каноническое уравнение гиперболы:
x2 y 2
−
=1
12 8
y
2 2
−2 3
0
2 3 х
−2 2

32. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек на
плоскости, равноудаленных от данной точки F ( p ;0),
2
p
называемой фокусом, и данной прямой x = − ,
2
называемой директрисой
y
r =d
d
−
p
2
M(x; y)
r
p
2
p 0
2
F
0
p
F ( ; 0)
2
х
p
r = FM = x − + y 2
2
d =x+
p
2

33. Парабола

каноническое
уравнение параболы
2
p
p
2
x
−
+
y
=
x
+
2
2
2
2
p
p
x 2 − px +
+ y 2 = x 2 + px +
4
4
y
p
2
директриса параболы
p
r =x+
d
−
y 2 = 2px
M(x; y)
r
фокальный радиус
F
0
p
2
2
х
фокус параболы
Эксцентриситет параболы: = 1

34. Парабола