Лекция 2.pptИУ4 а 08 сент

1.

2. Проецирование прямой линии
Классификация прямых (см. в тетради стр. 7)
Задание прямой на чертеже. Принадлежность точки прямой.
Следы прямой
Прямая общего положения
Рис. 2.1
Рис. 2.2
•В общем случае прямая проецируется в прямую.
Принадлежность точки прямой (см. след. \слайд)
• Если точка принадлежит прямой, то проекции точки принадлежат одноименным
проекциям прямой.
Следы прямой - это точки пересечения прямой с плоскостями проекций.
Для построения следов прямой следует продолжить проекции прямой до пересечения с осью
проекций и воспользоваться свойством принадлежности точки (следа) прямой.

2. Принадлежность точки прямой Если точка принадлежит прямой, то проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой. Для

обоснования этого положения следует заметить, что плоскость прямоугольного
треугольника (На Fа F'а) перпендикулярна плоскости проекций π1 по признаку
перпендикулярности двух плоскостей: АА' ' π1. По теореме геометрии два перпендикуляра к
одной плоскости параллельны:
АА' || BB' . Следовательно, АА' и BB' лежат в плоскости, совпадающей с плоскостью (На Fа
F'а), и тогда проекция точки B (и любой другой точки прямой а) Для доказательства
следует привести аксиому стереометрии: «если две плоскости имеют общую точку, то
они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей».

3. Прямые частного положения Прямые уровня

Горизонтальная прямая
Рис. 2.3
Фронтальная прямая
Рис. 2.5

4. У прямых, параллельных горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций, одна из трех проекций параллельна одной оси проекций.

У профильной прямой горизонтальная и фронтальная проекции
параллельны соответственно оси ординат и оси аппликат. Ниже приведено доказательство этого свойства
линий уровня.
В школьном учебнике по геометрии для 11 класса в задаче № 132 следует доказать, что «если
прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от плоскости». Переходя на «язык»
начертательной геометрии , следует доказать, что одна (или две) ортогональные проекции линии
уровня параллельна оси проекций.
Доказательство
1. Выберем на прямой a две произвольные точки А и В и докажем, что расстояния от точки А
и от точки В до плоскости α равны: ААα = ВВα.
Если прямая a параллельна плоскости α, то в плоскости α содержится множество прямых, параллельных
данной прямой a, например, прямая a1.
2. Определим расстояния от точек А и В до плоскости α - ААα и ВВα:
ААα α и ВВα α. Так как перпендикуляра к одной плоскости параллельны, то ААα || В Вα.
3.Проведем АА1 || ВВ1, соединим точки Аα и А1 Вα и В1 и рассмотрим два равных треугольника - ААαА1
и ВВαВ1: АА1 = ВВ1 как отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя другими
параллельными прямыми; АαА1 = ВαВ1 как проекции равных наклонных.
Из равенства треугольников следует, что ААα = ВВα – что и требовалось доказать.

5. Профильная прямая

Рис. 2.7
Рис. 2.8

6.

В учебнике по геометрии (автор Атанасян Л.С. и др. Геометрия для 10-11 кл.
М.: Просвещение. 2009. 207 с.) приведена с доказательством задача №132):
«Доказать, что если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой
равноудалены от плоскости
Дано:
Прямая a || α
Доказать: все точки прямой a равноудалены от плоскости α.
Доказательство
Выберем на прямой a две произвольные точки А и В.
Докажем, что расстояния от точки А и от точки В до плоскости α равны: ААα =
ВВα.
Если прямая a параллельна плоскости α, то в плоскости α содержится
множество прямых, параллельных данной прямой a, например, прямая a1.
Определим расстояния от точек А и В до плоскости α - ААα и ВВα:
ААα α и ВВα α. Так как перпендикуляра к одной плоскости параллельны, то
ААα || В Вα.
Проведем АА1 || ВВ1, соединим точки Аα и А1 Вα и В1 и рассмотрим два равных
треугольника - ААαА1 и ВВαВ1: АА1 = ВВ1 как отрезки параллельных прямых,
заключенных между двумя другими параллельными прямыми; АαА1 = ВαВ1 как
проекции равных наклонных.
Из равенства треугольников следует, что ААα = ВВα – что и требовалось
доказать.

7. Проецирующие прямые

8.

Рис. 2.15 и 2.16 следует оформить на лекции с доски

9.

Правило
Определение длины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой
к плоскостям проекций
Следует построить прямоугольный треугольник, одним катетом которого
является горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим катетом абсолютная величина алгебраической разности аппликат (ординат) концов отрезка.
Гипотенуза будет равна длине отрезка, а угол между гипотенузой и катетом,
равным горизонтальной (фронтальной) проекции отрезка, равен углу наклона отрезка
к горизонтальной (фронтальной) плоскости проекций.

10. Взаимное положение прямых Прямые пересекаются Прямые параллельны Прямые скрещиваются

Взаимное положение прямых
Прямые пересекаются
Рис.2.18
Прямые параллельны
Рис. 2.19
Прямые скрещиваются
Рис. 2.20