Параллельные прямые в пространстве

1.

ГЕОМЕТРИЯ
10 КЛАСС
В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ МАТЕМАТИКИ

2.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ
ПРЯМЫЕ В
ПРОСТРАНСТВЕ.
п. 4.

3.

1.
2.
Прямые a и b параллельны, если:
А)
В)
Б)
Г)
Параллельны ли прямые a и b?
Дано:
Доказать:
3.

4.

Как могут располагаться две прямые на плоскости?
Прямые a и b
совпадают.
Прямые a и b
пересекаются.
Прямые a и b не
пересекаются.
Прямые имеют бесконечно
много общих точек.
Прямые имеют одну
общую точку.
Прямые не имеют
общих точек.

5.

Как могут располагаться две прямые в пространстве?
Рассмотрим прямоугольный
параллелепипед
Что можно сказать о прямых:
Лежат
и в
одной
и
плоскости
Прямые пересекаются
не лежат в одной плоскости
и
Прямые скрещиваются
Прямые параллельны

6.

Две прямые в пространстве называются
параллельными, если они лежат в
одной плоскости и не пересекаются.
Обозначается так:
ВАЖНО!
Если две прямые лежат в разных
плоскостях, то нельзя говорить про их
параллельность.

7.

Теорема.
Через любую точку пространства, не
лежащую на данной прямой, проходит прямая,
параллельная данной, и притом только одна.
Доказательство.
1.
Рассмотрим прямую а и
точку М, не лежащую на
этой прямой.
Через прямую а и точку М
проходит плоскость, и притом
только одна. Обозначим эту
плоскость буквой α.

8.

2.
Прямая, проходящая через
точку М параллельно прямой а,
должна
лежать
в
одной
плоскости с точкой М и прямой
а, т. е. должна лежать в
плоскости α. Но в плоскости α,
как
известно
из
курса
планиметрии, через точку М
проходит прямая, параллельная
прямой а, и притом только одна.

9.

3.
На рисунке эта прямая
обозначена буквой b. Итак, b —
единственная
прямая,
проходящая через точку М
параллельно прямой а.
Теорема доказана.

10.

КАКИЕ ПРЕДМЕТЫ, ОКРУЖАЮЩИЕ НАС,
ПРЕДСТАВЛЯЮТ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ?
Рельсы
железной дороги
Зубья вилки
Ступени
лестницы
Разметка на
дороге

11.

Определение.
Два
отрезка
(луча)
параллельными, если они
параллельных прямых.
называются
лежат на

12.

Определение.
Отрезок (луч) называется параллельным
данной прямой, если он лежит на прямой,
параллельной данной.

13.

Лемма.
Если одна из двух параллельных прямых
пересекает данную плоскость, то и другая
прямая пересекает эту плоскость.

14.

На
рисунке
прямая
РМ
пересекает плоскость α в точке М,
N ∈ РМ, причем MN : NP = 2 : 1,
PP₁ || NN₁, NN₁ = 14 см, P₁ и N₁ —
точки пересечения параллельных
прямых с плоскостью α.
А)
Докажите, что точки М, N₁ и Р₁
лежат на одной прямой.
Б)
Найдите длину отрезка PP₁.

15.

А)
1.
PP₁ || NN₁ ⇒ ∃β.
2.
NP ∈ β, M ∈ NP ⇒ M ∈ β (по А₂).
3.
M ∈ α, M ∈ β ⇒ α ∩ β = M (по А₃).
4.
М, N₁, Р₁ ∈ α,
М, N₁, Р₁ ∈ β ⇒ М, N₁, Р₁ лежат на
одной прямой.

16.

Б)
(по 1 признаку)
см.

17.

ДОМА
п. 4, 5
учить записи,
№ 16, 17