5. Свойства операций над множествами (законы алгебры множеств).

4.41M

Category: $mathematics$ mathematics

Основы теории множеств и бинарных отношений

1. Литература:

ЛИТЕРАТУРА:
https://urait.ru/viewer/diskretnaya-matematika-450002#page/1
https://urait.ru/viewer/diskretnaya-matematika-450129#page/1
https://urait.ru/viewer/diskretnaya-matematika-imatematicheskaya-logika-447489#page/1

2. Тема 1

ТЕМА 1
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

3. 1. Понятие множества и его элементов.

1.
ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
И ЕГО ЭЛЕМЕНТОВ.

4.

Множество - это набор объектов, называемых
элементами этого множества, отличимых друг от
друга и обладающих общим характеристическим
свойством.
Например:

5.

Еще примеры:

6.

Обозначения:
-диаграмма
- диаграмма Эйлера-Венна

7.

Элементы множества сами могут являться
множествами
Например:
множество студентов группы состоит из
элементов (групп), которые, в свою очередь, состоят из
студентов.

8.

-пустое множество
(не содержит ни одного элемента)

9. 2. способы задания множеств.

2.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ
МНОЖЕСТВ.

10.

1. Перечислением составляющих его
элементов.
= { }.
А = {а1, а2, …, аn}.

11.

Проверь себя.
Верно ли, что: 1) 2 {1, 2, 3} ?

12.

Проверь себя.
Верно ли, что: 1) 2 {1, 2, 3} да.
2) 2 {{1}, {2}, {3}} ?.

13.

Проверь себя.
Верно ли, что: 1) 2 {1, 2, 3} да.
2) 2 {{1}, {2}, {3}} нет.

14.

2. Указанием общего свойства или
признака, по которому элементы
объединились в единое целое.

15.

Георг
Кантор

16.

Наивная теория
множеств
Переход от наивной теории множеств
к аксиоматической связан
с открытием парадоксов
Аксиоматическая
теория множеств

17.

Например, парадокс Рассела:
Условимся называть множество «обычным», если оно не
является своим собственным элементом.
Например, множество всех зайцев является «обычным»,
так как само множество — не заяц.
Примером «необычного» множества является множество
всех множеств, так как оно само является множеством.
Рассмотрим множество, состоящее только из всех
«обычных» множеств. Парадокс возникает при попытке
определить, является ли это множество «обычным» или нет?
Если оно «обычное», то оно по определению должно
включать себя в качестве элемента. Но тогда оно «не
обычное» по определению, так как «обычные» множества себя
не включают.
Если оно «необычное», то должно включать себя в качестве
элемента. Но это не возможно, так как оно состоит только из
«обычных» множеств.
В любом случае получается противоречие.

18.

Некоторые аксиомы:

19.

Множества А и В считаются равными (А=В), если они
состоят из одних и тех же элементов.

20. 3. Сравнение множеств (подмножества).

3.
СРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВ
(ПОДМНОЖЕСТВА).

21. 3. Сравнение множеств (подмножества).

3.
СРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВ
(ПОДМНОЖЕСТВА).

22.

Если каждый элемент из множества А является
также элементом множества В, то говорят, что
множество А является подмножеством
множества В, а В – надмножеством множества А.
А
В
диаграмма Эйлера-Венна

23.

Замечание.
Свойства включения множеств.

24.

Подмножество множества А, отличное от пустого
множества и самого множества А, называется
собственным подмножеством множества А.
(равенство не допускается)
Теорема (о равенстве множеств).

25.

Определение.
Мощностью конечного множества А называется
количество его элементов и обозначается
.
Пример
Пусть множество А={а, о, е, ё, и, у, ы, ю, я}.
Тогда |А|= 9.

26.

Проверь себя.
1) | |= ?.

27.

Проверь себя.
1) | |= 0.
2) Пусть А – множество действительный решений
некоторого квадратного уравнения.
|A| - ?

28.

Проверь себя.
1) | |= 0.
2) Пусть А – множество действительный решений
некоторого квадратного уравнения.
|A| 2.

29.

Множество всех подмножеств множества А
называется булеаном (степенью) множества А:
Проверь себя.
Если А = {1, 2, 3}, то P(A) = ?

30.

Множество всех подмножеств множества А
называется булеаном (степенью) множества А:
Проверь себя.
Если А = {1, 2, 3}, то P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1,2},
{1,3}, {2,3}, {1, 2 3}}.

31.

Любые два множества, между элементами
которых может быть установлено взаимнооднозначное соответствие (биекция),
равномощны (содержат одинаковое количество
элементов).
Множество А бесконечно тогда и только тогда,
когда оно равномощно своему собственному
подмножеству:
Пример:

32.

Множество называют счетным, если оно
равномощно множеству натуральных чисел N
(говорят «можно перенумеровать его
элементы»).
Существуют множества, элементы которых
нельзя перенумеровать. Такие множества
называют несчетными.
Теорема.
Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.
Множество, равномощное множеству всех
точек отрезка [0, 1], называется множеством
мощности континуум.

33.

Примеры:
Мощность множества натуральных чисел N – счетное
Мощность множества всех четных целых чисел – счетное
Мощность множества рациональных чисел Q – счетное
Мощность множества всех действительных чисел R –
континуум
Мощность множества точек любого интервала на оси
действительных чисел – континуум
Мощность множества иррациональных чисел - континуум

34.

35.

36.

37.

Некоторые задачи:
Гипотеза Пуанкаре —утверждает, что любой трёхмерный объект без
сквозных отверстий можно преобразовать в сферу путём одной только
деформации (т.е. не разрезая и не склеивая поверхность).
Гипотеза Римана — это гипотеза о том, что расположение на
числовой прямой простых чисел подчиняется определенным
правилам.
Гипотеза Ходжа связана с изучением сложных геометрических
объектов.
Учёные используют подход, при котором вместо сложного объекта
применяют простые «кирпичики» с уже известными свойствами. Эти
«кирпичики» склеивают между собой, и получается подобие
изучаемого объекта. Зная свойства «кирпичиков», можно понять
свойства самого объекта.
Гипотеза Ходжа предполагает, что для отдельного типа сложных
объектов (проективных алгебраических многообразий) этот подход
можно применять всегда.

38. 4. Операции над множествами.

4.
ОПЕРАЦИИ
НАД МНОЖЕСТВАМИ.

39.

1. Объединение
Пример.

40.

1. Объединение
Пример.
Проверь себя:

41.

1. Объединение
Пример.
Проверь себя:

42.

2. Пересечение
Пример.

43.

2. Пересечение
Пример.
Проверь себя:
?

44.

2. Пересечение
Пример.
Проверь себя:
?

45.

2. Пересечение
Пример.
Проверь себя:

46.

3. Разность
Пример.

47.

4. Дополнение
Пример.

48.

5. Симметрическая разность
Пример.

49. 5. Свойства операций над множествами (законы алгебры множеств).

5.
СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ
НАД МНОЖЕСТВАМИ
(ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ
МНОЖЕСТВ).

50. 51. Практическая часть

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Доказать равенство множеств алгебраически:
Решение.

52. Практическая часть

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Доказать равенство множеств c помощью диаграмм Эйлера-Венна:
Решение.
Построим диаграмму Эйлера сначала выражения в левой части
равенства:
Теперь для выражения в правой части:
Видим, что диаграммы для множества в левой части равенства и
для множества в правой части равенства совпадают, значит,
множества равны и равенство верно.

53.

Проверь себя.
Доказать равенство множеств алгебраически:

54.

Проверь себя.
Доказать равенство множеств алгебраически:

55. Практическая часть

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Воспользовавшись законами алгебры множеств максимально
упростите заданное в таблице алгебраическое выражение для
четырех множеств A,B,C и D. Проверьте правильность с
помощью диаграмм Эйлера-Венна.

56. Практическая часть

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Построим диаграмму Эйлера для исходного выражения:

57. Практическая часть

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Построим диаграмму Эйлера для полученного выражения:
Видим, что слева и справа заштрихованными оказались
одинаковые области, значит, упрощение произведено верно.

58. 6. Бинарные отношения.

6.
БИНАРНЫЕ
ОТНОШЕНИЯ.

59.

Определение
Определение

60.

Декартово (прямое) произведение множеств:
Если в декартовом произведении множеств все
множества равны, то оно называется декартовой
степенью этого множества.

61.

Пример.
Проверь себя:

62.

Пример.
Проверь себя:
Нет

63.

Определение.

64.

Пример
Множество
отправления
Множество
прибытия

65.

Проверь себя:
Как задать бинарное отношение в теории множеств?

66.

Проверь себя:
Как задать бинарное отношение аналитически?
Так же, как и все множества.

67.

х и у находятся в отношении:

68.

Бинарное отношение
обычно называется однородным
бинарным отношением
или отношением на множестве А.
У однородного бинарного отношения
множество отправления и
множество прибытия совпадают.