6.37M

Category: $mathematics$ mathematics

Лекция 2 по МС

1.

Теория вероятностей
и математическая
статистика

2.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Числовые характеристики
выборки
Оценки генеральных
параметров

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Мера центральной тенденции ─ это число,
характеризующее выборку по уровню
выраженности измеренного признака.
Существует три способа определения
«центральной тенденции», каждому из которых
соответствует своя мера:
● мода
● медиана
● выборочное среднее

4.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Мода ( M 0 ) ─ наиболее часто встречающееся
значение статистического признака.
Если распределение имеет несколько мод, то
говорят, что оно мультимодально.
Медиана ( M е ) ─ значение признака, которое
делит ранжированное (упорядоченное)
множество данных пополам (одна половина
значений оказывается меньше медианы,
другая ─ больше).

5.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Если данные содержат нечетное число
значений, то медиана есть центральное
значение.
Если данные содержат четное число значений,
то медиана есть среднее арифметическое двух
центральных значений.

6.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Среднее (выборочное среднее, выборочная
средняя, среднее арифметическое) ─ сумма всех
значений, деленная на их количество.
На величину среднего влияют значения всех
измерений признака.
Таким образом, среднее весьма чувствительно к
«выбросам» ─ экстремально малым или
экстремально большим значениям признака.

7.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

8.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

9.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Для номинальных данных, разумеется,
единственной подходящей мерой центральной
тенденции является мода.
Для порядковых и метрических признаков,
распределение которых унимодальное и
симметричное, мода, медиана и выборочное
среднее совпадают.

10.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Числовые характеристики выборки
xn
X
─ выборочная средняя
i i
в
n
─ выборочная дисперсия
в Dв ─ выборочное СКО
n
S
Dв ─ «исправленная» дисперсия
n 1
2

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

22.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

23.

24.

25.

26.

27.

28.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Оценка генеральных параметров
Для описания ГС достаточно иметь
информацию о параметрах распределения ГС
( M [ X ], D[ X ], [ X ] ─ генеральные параметры)
и о законе распределения ГС
( F ( x), f ( x) ─ функции распределения).

29.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
На практике определение генеральных
параметров либо затруднительно, либо
невозможно. Поэтому для их характеристики
используют т.н. статистические оценки.
Пусть г ─ некоторая генеральная числовая
характеристика (генеральный параметр (мат.
ожидание или СКО)).

30.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

31.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Задача оценки параметров состоит в получении
наилучших (в определенном смысле)
приближений параметров распределения ГС
на основе выборочных данных.
Итак, пусть найдено в .
Можно ли утверждать, что г в ?

32.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Да, если в является
● несмещенной
● состоятельной
● эффективной
оценкой г .
●●● *свойства, характеризующие качество оценок

33.

34.

35.

36.

«Исправленная дисперсия» = несмещённая оценка

37.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Определение 1
Выборочная оценка в называется
несмещённой, если M [ в ] г (её мат.
ожидание равно оцениваемому параметру).
Определение 2
Несмещённая оценка называется эффективной,
если она имеет наименьшую дисперсию по
сравнению с другими несмещёнными оценками
того же параметра ГС (т.е. при данном объёме
выборки из всех возможных оценок она имеет
наименьшую дисперсию).

38.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Определение 3
Оценка в называется состоятельной оценкой
параметра г , если в сходится по вероятности к
г при n :
Поясним: чем больше объем выборки n, тем ближе оценка
приближается к оцениваемому генеральному параметру.
Наилучшими по всем трём критериям оценками параметров
ГС являются выборочные характеристики X в и S .

39.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Точечные оценки параметров основных распределений
1) Нормальное распределение
xn
─ генеральное мат. ожидание
a X
i i
г
в
n
n
2
2
г S
Dв ─ «исправленная» дисперсия
n 1
г S S 2 ─ «исправленное» СКО

40.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
2) Распределение Пуассона
3) Показательное распределение
Ю.В. Шапарь

41.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Интервальные оценки генеральных параметров
Оценка неизвестного параметра называется
интервальной, если она определяется двумя
числами ─ концами интервала.
г ─ оцениваемый генеральный параметр
в ─ точечная оценка г

42.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
г в ─ ошибка выборки
P г в ─ доверительная вероятность
(надёжность оценки)
─ точность оценки
─ доверительный интервал
─ уровень значимости

43.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Доверительный интервал для параметров
нормального распределения
1) X N (a, ), известно, задана.
Пусть X1 , X 2 ,..., X n ─ выборка (n измерений, n
значений признака X в n опытах).
X1 , X 2 ,..., X n независимы, X i N (a, ).