Лекция 3 по МС

1.

Теория вероятностей
и математическая
статистика

2.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Проверка статистических
гипотез

3.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Процедура сопоставления высказанного
предположения (гипотезы) с выборочными
данными называется проверкой гипотез.
Статистическая гипотеза ─ любое утверждение
о виде или свойствах ГС.

4.

Параметрические гипотезы

5.

6.

Делаем вывод о наличии разницы.

7.

Непараметрические гипотезы (о законе распределения)
Эмпирическая гистограмма
Эмпирические частоты
Теоретическая кривая
Теоретические частоты
Делаем вывод о законе распределения

8.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Выдвинутое для проверки предположение
называется нулевой гипотезой ( H 0 ).
Вместе с нулевой гипотезой выдвигается
противоречащая ей альтернативная
гипотеза ( H1).
Критерием для проверки статистической
гипотезы служит любое правило,
определяющее выбор между H 0 и H1.

9.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Обычно критерий задаётся в виде некоторой
функции выборки и, следовательно, является
случайной величиной.
Tn T ( X1, X 2 ,..., X n ) ─ статистика критерия.
По выборке вычисляется так называемое
наблюдаемой значение критерия.
Те значения критерия, при которых гипотеза
принимается, образуют область принятия
гипотезы.

10.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Всё остальное множество значений критерия
(при которых гипотеза H 0 отвергается)
называется критической областью.
Критическую область принятия гипотезы
можно задать в виде интервалов,
покрывающих всю числовую ось.
Точки, разделяющие эти интервалы,
называются критическими точками данного
критерия.

11.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

12.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
При проверке гипотезы м.б. принято неверное
решение, т.е. могут быть ошибки
первого рода: отвергается верная гипотеза H 0
второго рода: отвергается верная гипотеза H1 .
─ вероятность ошибки 1 рода ─
уровень значимости
Значения : 0,01, 0,05, 0,1

13.

14.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
─ вероятность ошибки 2 рода
1 ─ мощность критерия
Гипотеза H 0 отвергается
верна
ошибка 1 рода
неверна
правильное
решение
принимается
правильное
решение
ошибка 2 рода
ТАБЛИЦА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (У Л. ГОНИКА)

15.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Примеры
H 0 : Студент NN заслуживает 2 ─ верно →
отвергается ─ ошибка 1 рода
H1: Студент NN заслуживает 3 ─ верно →
отвергается ─ ошибка 2 рода

16.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

17.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Последствия ошибок 1 и 2 рода могут быть
совершенно различными: в одних случаях
надо минимизировать , в других случаях ─ .
В радиолокации:
─ вероятность пропуска сигнала
─ вероятность ложной тревоги
В торговле:
─ риск поставщика
─ риск потребителя

18.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
В судебной системе:
─ вероятность оправдать виновного
─ вероятность осудить невиновного
Одновременное уменьшение ошибок 1 и 2
рода возможно лишь при увеличении объёма
выборки.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Проверка гипотезы о законе распределения.
Критерий согласия Пирсона
(критерий хи-квадрат ( ))
2
На основании выборочных данных
формируется предположение о виде закона
распределения ГС.
H 0 : СВ X распределена по закону F ( x) F0 ( x).
H1 : F ( x) F0 ( x) ─ альтернативная гипотеза.

26.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Используя выборочные данные, вычисляются
эмпирические частоты вариант ─ ni .
Используя предположение нулевой гипотезы,
вычисляются теоретические частоты
вариант ─ ni .

27.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
В качестве оценки меры расхождения
эмпирических и теоретических частот
используется статистика критерия
Ю.В. Шапарь

28.

29.

Эмпирические частоты
Теоретические частоты

30.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Критическое значение критерия
( , k ) определяется по таблице.
2
кр
2
k ─ число степеней свободы
─ заданный уровень значимости
проверки гипотезы

31.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Критерий
Если
2
набл
, то H 0 не противоречит
2
кр
опытным данным (принимается).

32.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Замечания
2
1) Введённая Пирсоном величина
характеризует степень расхождения
теоретических и эмпирических данных.
pi P(ai X bi ) F (bi ) F (ai ) ─ вероятность
попадания СВ X в интервал (ai , bi )
теоретические частоты

33.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Например, если ГС подчинена нормальному
x Xв
1
закону N X в , S , т.е. F ( x) Ф
, то
2
S
bi X в
ai X в
pi Ф
Ф
,
S
S
где Ф( x) ─ функция Лапласа.

34.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
При этом чтобы pi 1, интервальное
i
распределение «исправляется»: крайние
интервалы заменяются на ; x2 и xn 1; .
2
2) кр
, k берётся в таблице для
правосторонней критической области.
3) Число степеней свободы k s l 1,
где l ─ число параметров распределения.

35.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
k s 2 1 s 3 для N-закона
s число интервалов (или различных вариант
выборки, частота которых 4:
если частота <4, то интервалы (или
малочисленные варианты) объединяют с
соседними).

36.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

37.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

38.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

39.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
В МС число степеней свободы ─ это количество значений
в окончательном расчёте статистики, которые могут
свободно меняться.