1+. Общие положения и понятия строительной механики

1.

1. ОБЩИЕ
ПОЛОЖЕНИЯ
И ПОНЯТИЯ
СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ

2. Предмет строительной механики

Строительная
механика
–
наука,
которая
разрабатывает принципы и методы расчета различных
инженерных сооружений на прочность, жесткость и
устойчивость.
Строительная механика – раздел механики
деформируемого твердого тела (МДТТ) – науки,
изучающей напряжения, деформации и перемещения в
2
телах различного вида от внешних воздействий.

3.

В курсе сопротивления материалов основной объект –
стержень, в строительной механике – системы,
которые состоят из отдельных стержней, пластин,
оболочек. В теории упругости и пластичности требуется
бо́льшая строгость ⇒ более сложный математический
аппарат.
Стержневые системы
широкое
применение в
строительстве
простой и удобный объект для
освоения основных принципов и
методов строительной механики
Особенность строительной механики как науки в том,
что в ней в основном изучаются не напряжения, а их
равнодействующие – внутренние усилия (продольные и
поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты), а
также исследуются перемещения отдельных точек и
узлов системы.
Следующий же этап расчета сооружений – подбор и
конструирование самих элементов – обычно излагается
в специальных курсах конструкций.
3

4. Связь с другими науками

Результаты испытаний сооружений,
Сопротивление
данные продолжительных
материалов
наблюдений за ними
Информатика
Теория упругости и пластичности
Математика
Теоретическая механика
Физика
Строительная
механика
Мосты и дороги
Строительные конструкции
4

5.

Задачи расчета сооружений
Основная цель расчета сооружения – обеспечение его
надежности и долговечности при экономически
обоснованном расходе материалов.
Надежность сооружения – практическое исключение
возможности разрушения несущих конструкций.
Надежность и долговечность будут обеспечены, если
сооружение будет достаточно прочным, жестким и
устойчивым.
Расчет на прочность предполагает определение
внутренних усилий и напряжений в элементах
конструкции и выяснение ее несущей способности.
Цель расчета на жесткость – не допустить больших
перемещений (прогибов, горизонтальных отклонений и
т.п.),
обеспечив
тем
самым
требуемые
эксплуатационные показатели объекта.
При расчете на устойчивость устанавливается
величина нагрузки, при которой может быть соблюдена
первоначальная устойчивая форма равновесия.
Колебания конструкций изучаются для того, чтобы
предупредить возникновение резонанса, приводящего
5
иногда к их разрушению.

6. Исторический очерк

Самостоятельно как наука строительная механика
стала развиваться в 1-ой половине XIX в. в связи с
начавшимся
усиленным
строительством
мостов,
железных
дорог,
плотин,
судов
и
крупных
промышленных сооружений.
Начало науки о прочности связывают обычно с
именем Галилео Галилея.
Когда развитие судоходства поставило задачу
увеличения тоннажа судов и изменения их конструкций.
Галилей установил, что при увеличении размеров судов
одним только пропорциональным увеличением всех
размеров брусьев нельзя обеспечить их прочность; он
доказал,
что
геометрически
подобные
тела,
находящиеся под действием собственной массы, не
являются одинаково прочными.
6

7.

Галиле́о Галиле́й (итал. Galileo Galilei; 15 февраля 1564, Пиза – 8
января 1642, Арчетри) – итальянский физик, механик, астроном,
философ и математик, оказавший значительное влияние на науку
своего времени.
7

8.

Закон,
связывающий
напряжения
и
деформации в 1678 г. в
простейшей форме был
установлен Р.Гуком и
сформулирован
так:
каково растяжение –
такова сила.
Ро́берт Гук (англ. Robert Hooke; Роберт Хук, 18 июля 1635, остров
Уайт – 3 марта 1703, Лондон) – английский естествоиспытатель,
учёный-энциклопедист.
8

9.

Развитию науки о прочности в
XVIII в. в большой степени
способствовали также успехи
высшей
математики
и
механики;
особо
важное
значение
имели
работы
Эйлера и Лагранжа.
Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707, Базель,
Швейцария – 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская
империя) – швейцарский, немецкий и российский математик,
внёсший значительный вклад в развитие математики, а также
9
механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

10.

Жозе́ф Луи́ Лагра́нж (фр. Joseph Louis Lagrange, итал. Giuseppe
Lodovico Lagrangia; 25 января 1736, Турин – 10 апреля 1813,
Париж) – французский математик, астроном и механик
10
итальянского происхождения.

11.

Величайшей
заслугой
М.В.Ломоносова является то,
что он фактически подошел к
открытию всеобщего закона
сохранения материи, а тем
самым и закона сохранения
энергии. C помощью этого
закона
установлен
универсальный
метод
определения перемещений.
Михаи́л
(Миха́йло)
Васи́льевич
Ломоно́сов
(8 [19] ноября 1711, деревня Мишанинская, Россия –
4 [15] апреля 1765, Санкт-Петербург, Российская империя) –
первый
русский
учёный-естествоиспытатель
мирового
11
значения, энциклопедист, химик и физик.

12.

Знаменитый русский механик И.П. Кулибин,
используя законы общей механики, дал в 1776 г. проект
арочного деревянного моста пролетом 300м через реку
Неву в С.-Петербурге. Для определения очертания оси
арки он применил веревочный многоугольник. С
помощью модели он определил распор арки; эта работа
положила начало экспериментальному методу в
мостостроении (методу испытания моделей всего
сооружения и его частей).
Наибольший пролет деревянного моста того
времени, построенного братьями Груберман в 1778 г.,
достигал лишь 119 м.
12

13.

В то время, когда
металлические мосты и
притом малых пролетов
еще
только
начинали
строить,
Кулибин
разработал
проект
трехарочного
стального
моста протяжением 260м и
сконструировал
его
модель.
Ива́н Петро́вич Кули́бин (10 апреля (21 апреля) 1735, Подновье,
Нижегородский уезд – 30 июля (11 августа) 1818, Нижний
Новгород) – выдающийся русский механик-изобретатель.
13

14.

Русский инженер Д.И. Журавский разработал теорию
расчета плоских ферм.
Он установил закон распределения усилий,
возникающих в различных частях раскосных ферм под
действием нагрузок.
Свои
выводы
он
проверил
испытанием модели фермы с помощью созданного им
«струнного метода». Тяжи модели заменялись струнами
одинаковой толщины; эти струны-тяжи настраивались на
один тон. При загружении модели натяжение струн
изменялось. При проведении по струнам скрипичным
смычком струны-тяжи у опор издавали звук более
высокого тона, чем струны, расположенные в средних
панелях. Это доказывало, что наибольшие усилия
возникают в элементах решетки, расположенных в
опорных панелях.
14

15.

Д.И. Журавский впервые
предложил при сооружении
мостов больших пролетов
увеличивать высоту стоек
ферм от опор к середине
пролета.
Ему принадлежит также
создание теории касательных
напряжений при изгибе.
Дми́трий Ива́нович Жура́вский (17 [29] декабря 1821, село
Белый Колодезь Щигровского уезда Курской губернии; ныне
Золотухинского района Курской области – 18 [30] ноября 1891,
Петербург) – русский учёный и инженер, специалист в области
мостостроения и строительной механики.
15

16.

Профессором
X.С. Головиным в 1882г.
был предложен расчет
упругой
арки
методами
теории
упругости; он одним из
первых использовал в
строительной
механике
«принцип
наименьшей работы».
Головин, Харлампий Сергеевич (1844–1904) – русский учёный в
области теории упругости и строительной механики, военный
инженер и профессор.
16

17.

Профессор Н.А. Белелюбский
спроектировал в том числе
величайший для своего времени
по протяженности и совершенству
конструкции Сызранский мост
через р.Волгу и двухъярусный мост
через
р.Днепр
возле
Днепропетровска,
разрушенный
во время ВОВ. Белелюбский
первым в России применил на
строительстве
мостов
железобетон.
Николай Аполло́нович Белелю́бский (1 [13] марта 1845,
Харьков – 4 августа 1922, Санкт-Петербург) – русский инженер
и учёный в области строительной механики и мостостроения.
17

18.

Н.А. Белелюбский содействовал созданию русской
цементной промышленности, активно боролся за
распространение в России железобетонных конструкций
и был одним из первых инженеров в мире,
применившим в мостостроении литое железо и
доказавшим огромное прогрессивное значение этого
нового материала.
Вслед за ним металлические мосты из литого
железа начали широко строить и за границей.
Мост Белелюбского
через реку Мста
в Боровичах
18

19.

Профессор
Ф.С.Ясинский
в
исследовании «Опыт развития
теории продольного изгиба»
(1894)
впервые
обосновал
инженерное значение теории
устойчивости сжатых стержней,
вывел
формулы
для
определения критической силы
в сжатых стержнях за пределом
упругости
и
предложил
практический метод их расчета.
Яси́нский Феликс Станиславович (15 (27) сентября 1856, Варшава —
18 (30) ноября 1899, Петербург) — российский ученый-механик,
основатель научной школы строительной механики, автор трудов по
теории упругости (теория устойчивости сжатых стержней),
проектированию и реконструкции железнодорожных сооружений. 19

20.

Блестящие исследования по
теории
динамического
расчета
рельсов
были
опубликованы академиком
Н.П.Петровым.
Петров Николай Павлович [13(25).5.1836, Трубчевск Орловской
губернии, ныне Брянской области, ‒ 15.1.1920, Туапсе], русский
учёный и инженер в области ж.-д. транспорта, почётный член
Петербургской АН (1894), инженер-генерал-лейтенант.
20

21.

Профессором В.Л.Кирпичевым был открыт закон
упругого подобия: «Два тела, сделанные из одного и того
же материала, которые были
подобны до приложения к ним
внешних
сил,
остаются
подобными и после действия их,
если
силы
распределены
подобным
образом
по
поверхности
обоих
тел,
а
величины соответствующих сил
на
единицу
поверхности
одинаковы в обоих телах. При
этом все внутренние силы
первого тела будут равны
соответственно силам второго,
т.е. оба тела будут одинаково
прочны».
Ви́ктор Льво́вич Кирпичёв (26 сентября (8 октября) 1845, СанктПетербург – 20 октября 1913, там же) – русский физик, профессор
механики,
основатель
и
первый
ректор
Харьковского
технологического института (ныне НТУ «ХПИ») и Киевского
21
политехнического института (ныне НТУУ «КПИ»).

22.

Гиперболоидные ажурные башни академика В.Г.Шухова,
а также наливные речные и морские суда и сетчатые
своды широко применяются во всех странах мира.
22

23.

Влади́мир Григо́рьевич Шух́ ов (16 (28) августа 1853 – 2
февраля 1939) – русский и советский инженер, архитектор,
изобретатель, учёный; член-корреспондент (1928) и почётный член
(1929) Академии наук СССР, Герой Труда.
23

24.

По проекту Л.Д.Проскурякова
был построен первый мост со
шпренгельными
фермами
через
реку
Енисей.
По
рациональности конструкции
мост этот был признан одним
из наиболее удачных решений
вопроса перекрытия больших
пролетов. В этом проекте для
определения усилий в фермах
он впервые применил линии
влияния.
Ла́вр Дми́триевич Проскуряко́в (18(30) августа 1858, с. Борисовка,
Воронежская губ. – 14 сентября 1926, Москва) – русский учёный,
инженер, выдающийся специалист в области мостостроения и
строительной механики.
24

25.

Большой вклад в теорию упругости и пластичности
академиков
Б.Г.Галеркина,
Н.И.Мусхелишвили,
Ю.Н.Работнова,
чл.-кор.
АН
СССР
В.3.Власова,
А.А.Ильюшина и др.; в строительную механику мостов и
конструкций академиков Г.П.Передерия и Е.О.Патона.
Развил методы расчета инженерных сооружений чл.кор. АН СССР Н.С.Стрелецкий.
А.Ф.Смирнов впервые широко применил матричный
аппарат при решении сложных задач. Разработкой
теории матриц и использованием их в строительной
механике занимался В.П.Гудков.
Дальнейшее развитие строительной механики тесно
связано с появлением ЭВМ.
На базе развития метода перемещений, широко
используемого в практике расчета стержневых систем на
ЭВМ, и вариационно-разностного метода теории
упругости в строительной механике появился метод,
который получил название метода конечных элементов
(МКЭ).
25

26.

В настоящее время на базе МКЭ построены
универсальные программные комплексы, позволяющие
рассчитывать широкий класс конструкций. Строительная
механика вышла из рамок стержневых систем и стала
фундаментальной наукой по расчету конструкций и
сооружений любого вида.
В связи с появлением ЭВМ существенные
видоизменения произошли и в динамике сооружений.
Благодаря широкому использованию численных
методов решаемые задачи стали более близкими к
реальным.
26

27. ЭЛЕМЕНТЫ СООРУЖЕНИЙ

РАСЧЁТНАЯ СХЕМА СООРУЖЕНИЯ
– это его упрощённое, с соблюдением определённых
правил, изображение, в котором учтено лишь то, что
важно с точки зрения механического поведения
сооружения, и игнорируется всё второстепенное и
несущественное.
ЭЛЕМЕНТЫ СООРУЖЕНИЙ
Одномерные (прямые и кривые стержни)
l
b
b, h << l
b
h
l
h
Осевая линия
Стержень – элемент системы, у которого размеры
поперечного сечения много меньше длины. Схематично
стержень изображают в виде линии (оси). Различают
стержни с прямолинейной и криволинейной осью, с
постоянным и переменным по длине сечением.
27

28.

В зависимости от расположения в конструкции и
особенностей работы под нагрузкой стержень может
называться балкой, брусом, стойкой, колонной, ригелем,
полуаркой, раскосом, затяжкой и т.п.
Стержневыми называются системы, состоящие из
стержней. Узлами считают точки соединения отдельных
стержней. Узлы могут быть шарнирными и жесткими.
28

29.

Двухмерные (оболочки и пластинки)
h << l1 , l2
h
l1
l2
h
l2
l1
Срединная поверхность
Пластина (плита) и оболочка – элементы, толщина
которых мала по сравнению с 2-мя другими размерами.
Схематично пластину изображают в виде срединной
плоскости, оболочку – срединной поверхности.
29

30.

Трёхмерные (массивы)
h
l
b~l~h
b
Массивные тела – элементы сооружений и окружающей
среды, все размеры которых имеют один и тот же
порядок, а иногда и неограниченные (подпорные
стенки, плотины, фундаменты отдельно стоящих колонн,
грунтовые и скальные массивы).
30

31.

При составлении расчетной схемы:
стержни заменяются осевыми линиями, пластины
– срединными плоскостями, оболочки –
срединными поверхностями;
нагрузки с поверхностей элементов переносятся
на оси, срединные плоскости или поверхности;
реальные опорные устройства и связи между
элементами заменяются идеальными связями;
поперечные сечения стержней независимо от их
формы и размеров определяются своими
геометрическими характеристиками.
31

32.

Классификация стержневых систем.
По конструктивным решениям различают плоские
(балки, фермы, арки, рамы) и пространственные
(каркасы многоэтажных промышленных зданий)
стержневые
системы.
Иногда
выделяют
плоскопространственные.
32

33.

Различия стержневых систем по особенностям работы
Балочные конструкции воспринимают поперечные
нагрузки и работают на изгиб. В горизонтальных балках
при действии вертикальной нагрузки в опорах не
возникает горизонтальных составляющих опорных
реакций (распора). Поэтому балочные системы
называют безраспорными.
Арочные конструкции состоят из криволинейных
стержней, выпуклость которых направлена в сторону,
противоположную действию нагрузки. Вертикальная
нагрузка вызывает в опорах арки кроме вертикальных
реакций еще и горизонтальные – распор. Поэтому
арочные конструкции считаются распорными. Работают
арки в основном на внецентренное сжатие.
33

34.

Рамы – стержневые системы с жестким соединением
прямолинейных элементов во всех или некоторых узлах,
нагруженные поперечными или узловыми нагрузками.
Элементы рам работают на изгиб с растяжением или
сжатием.
Фермы – системы прямолинейных стержней, которые
нагружены узловыми нагрузками и испытывают
преимущественно деформации растяжения или сжатия.
При расчетах узлы ферм часто считают шарнирными.
34

35.

Комбинированные системы представляют собой
совокупности некоторых рассмотренных выше систем,
объединенных для совместной работы. Часть стержней
работает на изгиб, другая часть – на растяжение-сжатие.
Разновидностью комбинированных являются висячие
системы. В них основными являются гибкие элементы
(ванты, кабели, тросы), работающие на растяжение.
Ванты поддерживают жесткие элементы (балки,
фермы), воспринимающие поперечную нагрузку.
35

36.

По статическому признаку сооружения можно
разделить на статически определимые (все опорные
реакции, внутренние силы и моменты можно
определить из уравнений статического равновесия) и
статически неопределимые (для вычисления всех
опорных реакций и внутренних усилий уравнений
статики недостаточно, дополнительно необходимо
использовать уравнения совместности деформаций).
По кинематическому признаку стержневые системы
можно разделить на геометрически неизменяемые,
геометрически изменяемые и мгновенно изменяемые.
36

37.

Связи и их характеристики
Всякое
устройство,
препятствующее
изменению
взаимного положения элементов системы (налагающее
ограничения на перемещения), называется связью.
Связь, соединяющая сооружение с основанием,
называется опорой (опорной связью).
Аксиома связей: всякое несвободное тело можно
рассматривать как свободное, если отбросить связи и
заменить их действие реакциями.
Каждая
связь
имеет
2
характеристики.
Кинематическая характеристика определяет, каким
перемещениям одного элемента относительно другого
препятствует связь, а статическая – какие реакции могут
в ней возникать.
37

38.

Стержень и шарнирно подвижная опора
Кинематическая
характеристика связи
состоит в том, что она
препятствует
перемещению одного
элемента относительно другого вдоль оси стержня.
Допускается взаимный поворот элементов и их
смещение в направлении, перпендикулярном оси
стержня.
В
статическом
отношении
стержень
характеризуется
наличием
реактивных
сил
R,
направленных вдоль его оси.
Если одним из соединяемых
элементов является основание,
то связь называется шарнирно
подвижной опорой. Реакция
направлена вдоль оси стержня.
Реакция считается перпендикулярной
опорной плоскости.
Введение стержня устраняет взаимные перемещения
в одном направлении, поэтому подобную связь
называют одиночной или элементарной связью.
38

39.

Шарнир и шарнирно неподвижная опора
Шарниром называется
такое
подвижное
соединение элементов,
которое
дает
им
возможность свободно
поворачиваться
друг
относительно друга.
Шарнир может быть простым и кратным. Простой
шарнир соединяет 2 элемента, сложный (кратный) –
более 2-х.
С точки зрения кинематики введение простого
шарнира устраняет взаимные линейные смещения в 2-х
направлениях, допуская лишь поворот. Поэтому шарнир
эквивалентен 2-м одиночным связям.
В
статическом
отношении
простой
шарнир
характеризуется силой взаимодействия R, проходящей
через его центр. Эту силу удобно представлять в виде 2-x
составляющих, чаще всего горизонтальной H и
вертикальной V.
39

40.

Если в качестве 1-го из соединяемых элементов является
основание, то связь называется шарнирно неподвижной
опорой.
Шарнирное соединение эквивалентно 2-ум одиночным
связям и может быть представлено 2-мя стерженьками
по фиксированным направлениям.
Сложный (кратный) шарнир, соединяющий в одном
узле более 2-х элементов, можно представить в виде
совокупности некоторого числа простых шарниров.
Сложный шарнир эквивалентен определенному числу
простых – кратности сложного шарнира:
Ш = n – 1,
(1)
где n – число элементов, соединяемых шарниром. Эта
формула справедлива только для полного шарнира.
Если шарнир неполный, то жестко связанные между
собой элементы необходимо считать за 1.
Неполные шарниры
Полные
шарниры
40

41.

Жесткий узел и жесткая заделка
Жесткое
соединение
характеризуется
полным
отсутствием взаимных перемещений элементов.
Специальных обозначений обычно не вводят. Здесь
может возникать реактивная сила
любого направления, проходящая
через любую точку. Эту силу можно
представить в виде 3-х составляющих:
2-ух сил по заданным направлениям и
момента.
Жесткая заделка (защемляющая неподвижная
опора) выполняется путем плотного защемления
опорной части конструкции. В ней возникает реактивная
сила, которую удобно представлять в виде 3-х
составляющих – 2-х сил (горизонтальной H и
вертикальной V) и момента М. Жесткое соединение
(заделка) эквивалентно 3 одиночным связям либо
шарниру и стержню.
41

42.

Скользящая заделка
Препятствует повороту и линейным перемещениям,
перпендикулярным оси закрепленного элемента, и
допускает линейные перемещения вдоль его оси. При
расчетах вводят 2 составляющих реакции: силу и
момент.
Схематично скользящая заделка
может быть представлена в виде 2-ух
параллельных одиночных связей.
Отметим, что при представлении любой опоры в виде
одиночных связей число этих связей должно равняться
числу составляющих полной реакции опоры. В
дальнейшем под «реакцией» будем подразумевать
одну из этих составляющих.
42

43.

Геометрическая неизменяемость сооружений
Геометрически
неизменяемой
называется
система,
допускающая
перемещения
составляющих
ее
элементов лишь за счет деформации
самих элементов.
Диском в строительной механике называется система
или ее часть, геометрическая неизменяемость которой
очевидна или доказана.
Дисками,
например,
считаются отдельный стержень, шарнирно-стержневой
треугольник, Г-, Т-, П-образные элементы рам и т.п.
Земля (основание) является неподвижным диском.
Диада
–
это
простейшая
неизменяемая система, состоящая из
двух
прямолинейных
стержней,
шарнирно соединенных между собой и
с основанием.
Любая геометрически неизменяемая система способна
принимать на себя и уравновешивать внутренними
силами нагрузки и воздействия различных видов вплоть
до разрушения материала.
43

44.

Геометрически изменяемой называется система, у
которой перемещения элементов возможны без их
деформации. Она способна менять свою форму без
изменения длин и формы стержней и представляет
собой механизм.
Кинематическая цепь – изменяемая система из
прямолинейных
стержней,
последовательно
соединенных шарнирами.
В качестве строительных конструкций применяются
только геометрически неизменяемые системы. В
висячих сооружениях используются кинематические
цепи, которые вместе с другими элементами образуют
44
геометрически неизменяемые расчетные схемы.

45.

Связи абсолютно необходимые и лишние (избыточные)
Если при устранении какой-либо связи геометрически
неизменяемая система становится изменяемой, то такая
связь называется абсолютно необходимой.
Связь, которую можно удалить из конструкции без
нарушения
ее
геометрической
неизменяемости,
называется
избыточной
(лишней,
условно
необходимой).
Мгновенно изменяемые системы
– занимают промежуточное положение. Изначально
являются геометрически изменяемыми, т.к. допускают
малые перемещения элементов (теоретически –
бесконечно малые) без их деформации (стадия I). После
того, как перемещения произойдут, эти системы
принимают новую конфигурацию и становятся
геометрически неизменяемыми. Т.е. дальнейшие
перемещения точек сооружений будут сопровождаться
деформациями элементов (стадия II).
45

46.

Центр вращения. Фиктивный шарнир
Точка, относительно которой возможен поворот
геометрически изменяемой конструкции или ее части,
называется центром вращения.
2 стержня в плоской системе эквивалентны шарниру,
находящемуся в точке их пересечения. Точку
пересечения осевых линий 2-х стержней будем считать
фиктивным шарниром.
Если 2 стержня, прикрепляющие
диск к земле, параллельны, то диск
может перемещаться относительно
земли поступательно. В этом случае
считают, что центр вращения диска
также существует, но бесконечно от
него удален.
46

47.

Число степеней свободы (W)
W абсолютно твердого тела – это min количество
независимых
геометрических
параметров,
определяющих положение тела относительно введенной
системы координат. Геометрическими параметрами
считаются линейные и угловые координаты точек тела.
Незакрепленное
абсолютно
твердое тело (на плоскости)
может перемещаться линейно и
поворачиваться.
Положение
любой
его
точки
может
быть
определено
3-мя
независимыми геометрическими
параметрами, т.е. W = 3.
Наложение связей уменьшает число степеней
свободы.
W=1
W=2
47

48.

Формула Чебышёва
Рассмотрим систему дисков, соединенных шарнирами и
стержнями (одиночными связями). Пусть Д – количество
дисков; Ш – простых шарниров; С0 – одиночных связей
(опорных стержней). W каждого диска = 3, ⇒ W = 3Д.
Простой шарнир эквивалентен наложению 2-x связей и
уменьшает W на 2, а стержень – наложению 1-ой связи и
уменьшает W на 1. Если шарнир сложный, то
необходимо учитывать его кратность по формуле (1). ⇒
W = 3Д – 2Ш – С0 .
(2)
Если W>0, то система геометрически изменяема.
Замечания по применению формулы Чебышева:
• земля считается неподвижным диском, но в Д не
входит, т.к. W определяется относительно земли;
• каждые диск и связь должны быть учтены только 1 раз;
• жесткие соединения дисков (заделки, узлы),
необходимо заменять 3-мя стержнями или шарниром и
стержнем. Скользящие заделки – 2-мя стержнями;
• каждый диск должен быть внутренне статически
определим (не содержать замкнутых контуров). Иначе
его необходимо разбить на несколько дисков и учесть их
жесткое соединение между собой.
48

49.

Пафну́тий Льво́вич Чебышёв (4 [16] мая 1821, Окатово, Боровский уезд,
Калужская губерния — 26 ноября [8 декабря] 1894, Санкт-Петербург) —
русский
математик
и
механик,
основоположник
петербургской
математической школы, академик Петербургской академии наук с 1859
года. Иностранный член Парижской академии наук (1874), член
Лондонского королевского общества (1877), Берлинской академии наук
(1871), Болонской академии наук (1873), Шведской академии наук (1893) и
49
других академий и научных обществ.

50.

W (степень изменяемости) плоской стержневой системы
Любой элемент реальной конструкции является
деформируемым, он состоит из ∞ количества точек.
Независимо от количества и характера наложенных на
него связей его W = ∞.
Однако при расчетах достаточно жестких конструкций
на статические нагрузки уравнения равновесия можно
составлять по недеформированной схеме, т.е. считать
элементы системы дисками. Тогда W может находиться
так же, как и для абсолютно твердого тела. Оно будет
иметь конечное, вполне определенное значение.
При анализе плоских сооружений, элементы которых
считаются дисками, W следует понимать как
«наименьшее число одиночных связей, которые
необходимо добавить к геометрически изменяемой
системе, чтобы превратить ее в геометрически
неизменяемую». Поэтому его также называют степенью
изменяемости сооружения.
Если система содержит лишние связи, то