ЛР4_Интерполяция

1. Математическое моделирование систем и процессов

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ.
Основные понятия и определения
1

2.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Аналитический
у f (x)
Пример
s vt 0.5at 2
Прямо указывает
действие
и последовательность их
выполнения
над независимой
переменной х для
получения
соответствующего
значения.
Табличный
Графический
Х
У
2,4
3,526
2,6
3,782
2,8
3,945
3
4,043
3,2
4,104
3,4
4,155
3,6
4,222
3,8
4,311
4
4,507
4,2
4,775
4,4
5,159
4,6
5,683
2

3.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ
ДАНО: функция f(x) задана таблично.
x0. , x1 ,..., xn
f 0 , f1 ,..., f n
Требуется восстановить функцию при других значениях аргумента
x xi (i 0.1,...N )
.
ПРИМЕРЫ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ:
1) Нахождение значений выходных параметров, найденных по
экспериментальным данным.
2) Нахождение значения производной f ' ( x ) функции, заданной таблично.
b
3) Нахождение значения определенного интеграла
заданной таблично на интервале интегрирования.
f ( x)dx от функции,
a
3

4.

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ
1) Вопрос об имеющейся информации относительно функции f,
т.е. о виде, в котором задана функция f.
Основные случаи представления функции:
аналитически,
в виде таблицы.
2) Вопрос о классе аппроксимирующих функций, т.е. какими функциями
будет аппроксимирована функция f.
В численном анализе широкое применение имеют 3 группы аппроксимирующих
функций:
функции вида 1, х, …, х n , линейные комбинации которых порождают класс всех
многочленов степени не выше n.
Тригонометрические функции sin a i x и cos ai x , порождающие ряды Фурье
и интеграл Фурье.
Экспоненциальные функции
e
ai x
.
3) Вопрос о близости аппроксимируемой и аппроксимирующей функций, т.е.
4
о выборе критерия согласия.

5.

КРИТЕРИЙ ЧЕБЫШЕВА
Заданное в каждой узловой точке x i расстояние i не должно превышать
максимальной величины отклонения функций f и :
max max f xi xi , i 0, 1, ..., N
i
Интерполирование (или интерполяция) – это способ аппроксимации,
основанный на частном случае критерия Чебышева:
max 0 или
f xi xi , i 0, 1, ..., N
Если аргумент, для которого определяется приближенное значение функции,
принадлежит отрезку x0 , x N , то задача вычисления значение функции
в точке х называется интерполированием в узком смысле.
Если же аргумент х находятся вне отрезка x0 , x N , то поставленная задача
называется экстраполированием.
5

6.

КРИТЕРИЙ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
N
2
f xi xi 0
i 0
В качестве аппроксимирующей функции принимают ту,
для которой минимально.
Этот критерий целесообразно использовать в случае
большого количества информации,
заданной с невысокой точностью.
Метод аппроксимации, основанный на данном критерии,
называют методом наименьших квадратов.
6

7.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ МНОГОЧЛЕНОВ
n
( x) Pn ( x) a k x n k
(1)
k 0
Выбор конкретного значения n во многом определяется свойствами
аппроксимируемой функции, требуемой точностью, а также узлами
интерполирования.
Для однозначного определения (n+1) коэффициентов
необходимо потребовать совпадения f и
f ( xi ) Pn ( xi )
a k многочлена Pn
Pn в (n+1)-й узловой точке:
(i = 0,1,…,n)
(2)
Y
x1
x0
x2
Х
7

8.

ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ
ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО МНОГОЧЛЕНА
Пусть на отрезке [a,b] заданна сетка N : {a x0 x1 .... x N b} и
произвольные числа
сi (i=0,1,…,n), тогда существует единственный
многочлен Pn степени не выше n, принимающий в узлах x i заданные
значения с i
a0 xin a1 xin 1 ... a n ci (i=0.1,….,n)
(3)
Определитель системы (3) - определитель Вандермонда
x0n
x1n
W
...
x nn
x0n 1
x1n 1
...
x nn 1
...
...
...
...
x0 1
x1 1
... ...
xn 1
W 0, если xi x j при i j
8

9.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА
n
Ln ( x ) f i l i ( x )
i 0
Множители Лагранжа
( x x0 )...(x xi 1 )( x xi 1 )... x xn
li ( x)
xi x0 ... xi xi 1 xi xi 1 ... xi xn
Пусть
Тогда
Свойства
множителей Лагранжа
0, i k
li ( xk )
1, i k
n ( x) ( x x0 )( x x1 )...( x xn )
n ( xi ) ( xi x0 )...( xi xi 1 )( xi xi 1 )...( xi xn )
Интерполяционный многочлен Лагранжа для неравномерной сетки узлов
n ( x)
Ln ( x) f i
'
(
x
x
)
i 0
i
n ( xi )
n
9

10.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА
ДЛЯ РАВНООТСТОЯЩИХ УЗЛОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
i
C
t (t 1)...(t n) n
Ln Ln ( x0 ht)
( 1)i 1 n f i
n!
t i
i 0
h – шаг интерполяции
h xi 1 xi const ,
t ( x x0 ) / h
n!
C
i!(n i )!
i
n
Погрешность расчета значения многочлена Лагранжа в точке х*
2 Ln i l i x *
n
i 0
i - погрешность значений функции f(xi )
10

11.

Пример: Функция y=sin(x) задана в виде таблицы
x
y
0
0
/4
0.707
/2
1
Определить значение функции в точке x* / 6
1)
t* 0
6
4
1
2
3
2) при n=2, имеем
2
1
(2 / 3)( 2 / 3 1)( 2 / 3 2) 2
L2
0
0.707
1 0.517
2!
2 / 3 1
2/3 2
6
2/3 0
3) оценка погрешности
M 3 max (sin( x)) 1, x* / 6
[ 0, / 2 ]
1
1 0,024
3! 6 12 3
sin( / 6) 0,52 0,03
11

12.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЛР №4
1. ЗАДАДИМ ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ – РАЗМЕР ВЫБОРКИ N,
ВЕКТОРЫ Х И Y.
2. Сформируем матрицу Вандермонда
12

13.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЛР №4
3. Решим систему:
a0 xin a1xin 1 ... an fi
Результат:
4. Используя полученный результат сформируем интерполяционный
многочлен:
13

14.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЛР №4
n
3. Интерполяционный многочлен Лагранжа: Ln ( x) fili ( x)
i 0
4. Используя полученный результат сформируем интерполяционный
многочлен:
14

15.

ПРИМЕР. ПРОВЕРКА
P ( t) 3.3964071611052704236 t 1.55375097832
sin ( 1) 1
1
2.4 1.67546318055115
f ( t) interp regress 3.5 0.64921677231038
4.7 0.0000767424358991
sin ( 5) 1
5
15

16.

16