Примеры решения задач ДЗ2 (1)

1. Домашнее задание №2

Примеры решения задач

2. 1. Определить элементы симметрии, представленные на чертеже пространственной группы симметрии P42/ncm в Международных

кристаллографических таблицах, их
взаимное расположение и описать действие каждого из них.
-винтовая ось 42, перпендикулярная плоскости чертежа.
Поворот на 90 в сочетании с параллельным переносом
вдоль оси на 2/4 = 1/2 трансляции c
_
-инверсионная ось 4, перпендикулярная плоскости
чертежа. Поворот на 90 в сочетании с отражением в
центре симметрии
-ось 2, параллельная плоскости чертежа. Поворот на 180
-винтовая ось 21, параллельная плоскости чертежа.
Поворот на 180 в сочетании с параллельным переносом
вдоль оси на a/2
-центр симметрии
-зеркальная плоскость симметрии m
-плоскость скользящего отражения c, перпендикулярная плоскости чертежа.
Отражение как в m в сочетании с перемещением параллельно плоскости на 1/2
трансляции c
-плоскость скользящего отражения, перпендикулярная плоскости чертежа.
Отражение как в m в сочетании с перемещением параллельно плоскости
скользящего отражения и плоскости чертежа на a/ 2
-плоскость скользящего отражения n, параллельная плоскости чертежа.
Отражение как в m в сочетании с перемещением параллельно плоскости
чертежа в направлении стрелки на (a+b)/2

3. 2. Пользуясь Международными кристаллографическими таблицами, указать все пространственные группы симметрии, которые можно

получить из
точечной группы симметрии 4mm.
Искомые пространственные группы
симметрии должны относиться к одному
виду симметрии, название которого
определяется названием общей простой
формы заданной точечной группы
симметрии, в нашем случае к
дитетрагонально-пирамидальному
виду (см. также задачу 3):
P4mm, P4cc, P4bm, P4nc, P42mc, P42cm,
P42nm, P42bc, I4mm, I4cm, I41md

4. 3. Из какой точечной группы симметрии может быть получена пространственная группа P42cm?

Рассматривая симметрию формы кристалла параметры элементарной ячейки, а значит,
и входящие в пространственную группу элементарные трансляции, следует считать
бесконечно малыми. Отсюда следует, что для симметрии формы кристалла нет различия
между простыми и винтовыми осями симметрии, между зеркальными плоскостями и
плоскостями скользящего отражения.
Тогда для ответа на вопрос задачи в символе пространственной группы:
• зачеркиваем символ ячейки Бравэ
• символы винтовых осей симметрии заменяем на символы поворотных осей симметрии
• символы плоскостей скользящего отражения заменяем на символ зеркальной
плоскости симметрии
В результате получаем, что пространственная группа P42cm может быть получена
из точечной группы 4mm.

5. 4. Указать сингонию и правила записи символа пространственной группы симметрии P63/mmc.

63
Р m m c
1
2
3
4
Во второй позиции символа пространственной группы симметрии указан символ винтовой
оси симметрии 63. Следовательно сингония гексагональная.
Для гексагональной сингонии:
• в первой позиции всегда указывается тип ячейки Бравэ – примитивная (P)
• во второй позиции указывается символ оси симметрии 6 порядка (простой или поворотной);
если перпендикулярно к оси симметрии 6 порядка проходит плоскость симметрии, то ее
символ также записывается во второй позиции, при этом символ плоскости симметрии
отделяется от символа оси 6 порядка наклонной или горизонтальной чертой
• в третьей позиции указывается символ элемента симметрии, параллельного направлению
[11.0], т.е. длинной диагонали ромба, лежащего в основании примитивной ячейки Бравэ (если
такой есть); предпочтение отдается плоскостям симметрии
• в четвертой позиции указывается символ элемента симметрии, параллельного
_
направлению [11.0], т.е. короткой диагонали ромба, лежащего в основании примитивной
ячейки Бравэ (если такой есть); предпочтение отдается плоскостям симметрии

6. 5. Как изменится символ пространственной группы симметрии Pban, если изменить установку граней с XYZ на YZX?

Pban – пространственная группа ромбической сингонии
Z
X
n
Согласно правилам записи символа пространственной
группы ромбической сингонии в структуре с примитивной
ячейкой Бравэ ось X перпендикулярна плоскости b, ось Y
перпендикулярна плоскости a, ось Z перпендикулярна плоскости
n (обозначены на рисунке черным цветом)
n
b
a
с
b
Y
Z
X Y
Очевидно, что для плоскостей скользящего отражения
перемещения не зависят от выбора осей XYZ; от выбора этих
осей зависят только символы плоскостей скользящего
отражения
Тогда если изменить установку граней с XYZ на YZX (новые оси
обозначены на рисунке синим цветом), в структуре с
примитивной ячейкой Бравэ новая ось X перпендикулярна
плоскости n, новая ось Y перпендикулярна плоскости c, новая
ось Z перпендикулярна плоскости b
Таким образом, если изменить установку граней с XYZ на YZX,
символ пространственной группы изменится с Pban на Pncb

7. 6. Пользуясь Международными кристаллографическими таблицами, указать, как выбирается начало координат в пространственной группе

симметрии P42/ncm.
Ось Z системы координат направим вдоль инверсионной
_
оси 4 .
Определим местоположение начала координат на оси Z
(точку [000]), пользуясь указаниями Международных
кристаллографических таблиц.
На чертеже пространственной группы симметрии
имеются горизонтальные элементы симметрии (оси 2,
21 и плоскость n), их положение относительно начала
координат указано в долях трансляции с.
_
Начало координат выбираем на оси 4, на расстоянии
1/4 трансляции с от горизонтальной плоскости n

8. 7. Пользуясь Международными кристаллографическими таблицами (МКТ), по координатам (0, 1/2, z) точки М рассчитайте координаты

всех других точек,
входящих в ту же правильную систему точек (ПСТ) и ее кратность для
пространственной группы симметрии Iba2.
Iba2 – ромбическая сингония, a b c, = = = 90
• в МКТ дан чертеж 1/4 части ячейки Бравэ
• ось Z в верхнем левом углу полной ячейки Бравэ
• ни наклонных, ни горизонтальных элементов симметрии
нет, структура параметрическая, начало координат
выбираем на оси Z в любом месте
Позиция
Кратность ПСТ
Координаты заданной
точки М

9. Задача 7 (продолжение).

Расчет координат всех точек, входящих в ту
же ПСТ, в которую входит заданная точка M
Задача 7 (продолжение).
Чертеж полной ячейки Бравэ
(с осями координат)
Z
M(0,1/2,z)
M1(0,1/2,z+1/2)
Y
M2(1/2,0,z)
M6(1/2,1,z)
M3(1/2,0,z+1/2)
M7(1/2,1,z+1/2)
M4(1,1/2,z)
X
Стандартные изображения симметрично
эквивалентных точек
M5(1,1/2,z+1/2)
• точка M лежит на оси симметрии 2 порядка
• точка M1 получается отражением точки M в любой плоскости c,
проходящей через ось 2, на которой лежит точка M
• точки M2 и M3 получаются последовательным отражением точек
M и M1 в плоскостях a и b, либо путем поворота вокруг винтовой
оси 21
• и так далее
Всего получаем 8 точек
8 точек лежат на гранях ячейки Бравэ, одной ячейке Бравэ
принадлежит по 1/2 каждой точки. Тогда кратность ПСТ 8*1/2 = 4

10. 8. Определить стехиометрию тройного соединения, если известно, что ионы сорта А образуют плотнейшую шаровую упаковку, ионы

сорта В занимают 1/2
часть тетраэдрических пустот, а ионы сорта С занимают 3/4 части
октаэдрических пустот.
Пусть на одну элементарную ячейку приходится N ионов сорта А,
образующих плотнейшую шаровую упаковку.
Тогда число тетраэдрических пустот на ячейку равно 2N, октаэдрических – N.
Ионы сорта B занимают 1/2 часть тетраэдрических пустот, тогда число ионов B
на ячейку равно 2N/2 = N.
Ионы сорта C занимают 3/4 части октаэдрических пустот, тогда число ионов C
на ячейку равно 3N/4.
Таким образом, число ионов сорта A на ячейку равно N, число ионов сорта B на
ячейку равно N, число ионов сорта C на ячейку равно 3N/4.
Отсюда A : B : C = 1 : 1 : 3/4 = 4 : 4 : 3, стехиометрическая формула соединения A4B4C3.

11. 9. Пользуясь справочной литературой, описать заданный структурный тип в соответствии с планом:   - Описать элементарную ячейку

9. Пользуясь справочной литературой, описать заданный структурный тип в соответствии
с планом:
- Описать элементарную ячейку структуры (а, b, с, углы α, β, ). Определить сингонию.
- Сделать рисунок шариковой модели элементарной ячейки.
- Описать тип решетки Бравэ.
- Записать символ ПГС. Описать элементы симметрии, представленные в символе ПГС, их
расположение относительно основных трансляций и действие каждого из них.
- Определить число структурных единиц, стехиометрическую формулу вещества и число
формульных единиц.
- Определить число и кратность правильных систем точек (ПСТ).
- Определить положение начала координат, осей координат и записать координаты 1
атома из каждой ПСТ.
- Определить координационные числа и многогранники.
- Определить наличие плотнейшей шаровой упаковки (ПШУ), и, если она есть, ее тип,
слойность и мотив заполнения пустот.
- Указать расположение плоскостей (…), (…) и направлений […], […] в структуре.
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться учебными пособиями из списка
основной и дополнительной литературы, а также интернетом.