Similar presentations:
Геометрическая кристаллография
1. Раздел 1. Геометрическая кристаллография
Основные понятия кристаллографииЭлементы симметрии континуума
и теоремы их сложения
Классы симметрии (точечные группы)
Элементы симметрии дисконтинуума.
Системы трансляций Бравэ. Базис.
Пространственные группы,
правильные системы точек
1
2. Лекция 1.1. Основные понятия кристаллографии
Понятие о кристаллеПространственная решетка
Элементарная ячейка
Категории и сингонии
Индексы плоскостей и направлений
кристалла
Проекции кристаллов
2
3. Элементарная ячейка
Любая элементарная ячейка описываетсянекомпланарными осевыми трансляциями - a, b, c
и осевыми углами: a, b, g
3
4. Правила выбора элементарной ячейки
элементарная ячейка должна лучшим образомотражать симметрию решетки;
предпочтение отдается перпендикулярным
и равным друг другу трансляциям, т.е.
число прямых углов и одинаковых
трансляций должно быть максимальным;
объем ячейки должен быть минимальным.
4
5. Разделение кристаллов на сингонии и категории
СингонияОси координат
триклинная
a ≠b ≠ c
a ≠ b ≠ g ≠ 90
a≠b≠c
a = g = 90 , b ≠ 90
a≠b≠c
a = b = g = 90
a=b=c
a = b = g ≠ 90
a=b≠c
a = b = g = 90
a=b≠c
a = b = 90 , g = 120
a=b=c
a = b = g = 90
моноклинная
ромбическая
тригональная
тетрагональная
гексагональная
кубическая
Категория
низшая
средняя
высшая
5
6. Индексы плоскостей и направлений кристалла
[[m, p, q]] координаты узлаиндексы направления - три целых,
взаимно простых числа, пропорциональных
координатам любой точки, лежащей на
этом направлении, если оно проходит через
начало координат
[uvw]
[uvw]
z
y
x
(hkl)
z
(hkl)
y
x
индексы плоскости – три целых, взаимно
простых числа, обратно пропорциональных
отрезкам, отсекаемым этой плоскостью на
осях координат
6
7. Межплоскостное расстояние
zd(hkl)
n(hkl)
(hkl)
y
x
(hkl) – семейство параллельных плоскостей
d(hkl) – межплоскостное расстояние
7
8. Совокупность плоскостей
12
d гекс
1
2
d куб
4(h 2 hk k 2 ) l 2
2
2
3a
c
h 2 k 2 l2
a2
1
d 2ромбич
1
d 2тетр
h 2 k 2 l2
2 2 2
a
b
c
h 2 k 2 l2
2
2
a
c
Плоскости кристалла, имеющие численно одинаковые
индексы и одно и тоже межплоскостное расстояние,
принадлежат к одной совокупности {hkl}
Кубическая сингония, совокупность {110}:
(110),(110),(1 10), (1 10),(101), (101), (10 1),
(10 1),(011), (0 11), (01 1),(0 1 1)
8
9. Зона плоскостей
Плоскости кристалла, параллельные одному общемунаправлению, образуют зону плоскостей, а это общее
направление называется осью зоны.
Условие зональности:
hu + kv + lw = 0,
т.е. плоскость (hkl)
принадлежит зоне с
осью [uvw]
9
10. Лекция 1.2. Элементы симметрии континуума и теоремы их сложения
Элементы симметрии континуумаЭпюры элементов симметрии
Теоремы сложения элементов симметрии
Определяющие элементы симметрии
Установка кристалла
10
11. Элементы симметрии
Плоскость симметрии mЦентр инверсии С
11
12. Элементы симметрии
Плоские фигуры с осями симметрииразного порядка
2-го порядка
3-го порядка
4-го порядка
5-го порядка
6-го порядка
12
13. Элементы симметрии внешней формы и их обозначения
||плоскости
чертежа
плоскости
чертежа
плоскость симметрии m (= P)
2го порядка
поворотные оси
3го порядка
4го порядка
6го порядка
13
14. Элементы симметрии внешней формы и их обозначения
||плоскости
чертежа
плоскости
чертежа
центр симметрии 1 ( C )
3го порядка
инверсионные
оси
4го порядка
6го порядка
14
15. Иллюстрация равенства
m 215
16. Теоремы сложения элементов симметрии
Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостейсимметрии есть ось симметрии с элементарным
углом поворота в два раза большим угла между
плоскостями.
16
17. Теоремы сложения элементов симметрии
Теорема 2. Через точку пересечения двух осейсимметрии проходит третья, равнодействующая им.
Теорема 3. В точке пересечения оси четного порядка
с перпендикулярной ей плоскостью симметрии
расположен центр инверсии.
Cледствие:
В центросимметричном кристалле сумма осей
симметрии четного порядка равна числу плоскостей
симметрии.
17
18. Теоремы сложения элементов симметрии
Теорема 4. Если перпендикулярно оси порядка nрасположена хотя бы одна ось второго порядка,
то число таких осей второго порядка равно n.
18
19. Теоремы сложения элементов симметрии
Теорема 5. Если через ось порядка n проходит хотябы одна плоскость симметрии, то всего таких
плоскостей симметрии должно быть n.
19
20. Характерная симметрия и установка кристалла в зависимости от сингонии
низшая категорияХарактерная симметрия и установка
кристалла в зависимости от сингонии
Сингония
Характерная
симметрия
Расположение осей
триклинная
1 или 1
по ребрам кристалла
моноклинная
2 или 2 ( m)
осьY 2 или m
ромбическая
три оси 2 или
три оси 2 ( m)
оси X , Y , Z 2 или m
20
21. Характерная симметрия и установка кристалла в зависимости от сингонии
высшая средняя категорияСингония
Характерная
симметрия
тригональная
ось 3 или 3
тетрагональная
ось 4 или 4
гексагональная
ось 6 или 6
кубическая
четыре оси 3
Расположение осей
главная ось
параллельна Z,
остальные – в
плоскости XY
оси X , Y , Z трем
осям 4, 4 или 2
21
22. Лекция 1.3. Классы симметрии (точечные группы)
Классы симметрии (точечные группы)Главные направления
Общее и частное положения
22
23. Классы симметрии
Класс симметрии – множество элементов симметрии,действующих на плоскости и направления в кристалле.
Вывод классов симметрии – перебор всех возможных
сочетаний элементов симметрии, пересекающихся
в одной точке.
Возможные варианты:
1) Классы с одной поворотной осью
2) Классы с одной инверсионной осью
3) Классы с 1ой поворотной осью и осями 2го порядка
4) Классы с одной поворотной осью и плоскостью
5) Классы с несколькими осями высшего порядка 23
24. Пример вывода классов симметрии
ось 4=
=
результат – класс 4
кратность точки – 4
24
25. Пример вывода классов симметрии
ось 4 + 1=
=
результат – класс 4/m
кратность точки – 8
25
26. Пример вывода классов симметрии
ось 4 + m=
=
результат – класс 4/m
кратность точки – 8
26
27. Пример вывода классов симметрии
ось 4 + || m=
результат – класс 4mm
кратность точки – 8
27
28. Пример вывода классов симметрии
ось 4 + 2=
результат – класс 422
кратность точки – 8
28
29. Пример вывода классов симметрии
ось 4 + || m + 1или ось 4 + 2 + 1
=
результат – класс 4/m 2/m 2/m
кратность точки – 16
29
30. Главные направления
сингониявектора
индексы
моноклинная
b
[010]
ромбическая
c, b, a
[001], [010], [100]
тригональная
c, b, a – b
[001], [010], [110]
тетрагональная
c, b, a – b
[001], [010], [110]
гексагональная
c, b, a – b
[001], [010], [110]
c, a + b + c, a – b
[001], [111], [110]
кубическая
30
31. Лекция 1.4. Элементы симметрии дисконтинуума
Системы трансляций БравэЭлементы симметрии дисконтинуума
Базис
31
32. Симметрия плоских сеток
с осью 2с осью 2 и m
с осью 4 и m
с осью 6 и m
32
33. Типы решеток Бравэ
a, b, c a, b, c,(a+b)/2
c
c
b
a
Примитивная – P
a, b, c,
(b+c)/2
c
b
b
a
a
Базоцентрированные – С, A
a, b, c,
a b c 2
c
c
a, b, c,
a b 2,
b c 2,
a c 2
b
b
a
a
Объемноцентрированная – I Гранецентрированная – F
33
34. Возможные решетки Бравэ в тетрагональной и кубической сингониях
Тетрагональная сингонияКубическая сингония
34
35. Пояснения к числу решеток Бравэ
Базоцентрированная тетрагональная ячейкасводится к вдвое меньшей примитивной
35
36. Элементы симметрии дисконтинуума
Зеркальная плоскость симметрии m иплоскость скользящего отражения a
36
37. Элементы симметрии дисконтинуума
tt/4
ось 41
винтовая ось 41
37
38. Примеры международных обозначений элементов симметрии
ОсиПлоскости
перпендикулярные плоскости чертежа
параллельные плоскости чертежа
наклонные к плоскости чертежа
38
39. Базис
Базис – совокупность координат всех атомов,принадлежащих элементарной ячейке
A
B
c
Базис ячейки:
A: [[000], [½½0]]
B: [[00½]]
b
a
39
40. Лекция 1.5. Пространственные группы
Пространственные группыПравильные системы точек
40
41. Пространственная группа
Пространственная группа – совокупность элементовсимметрии, действующих на одну систему трансляций
(ячейку Бравэ).
4
2
F
3
m
m
I
II
III
IV
I – тип решетки Бравэ
II, III, IV – элементы симметрии в 1ом,
2ом и 3ем главных направлениях
41
42. Примеры пространственных групп
кубическая сингония41 2
F 3
P23 P 43m
d m
тетрагональная сингония
41 2 2
4 2 2
I
I
a md
mmm
ромбическая сингония
P 222 Pnma Pmc21
гексагональная сингония
63 2 2
P
mmc
P6mm
P6
тригональная сингония
P32
P3m
моноклинная сингония
С2
P 21 m
42
43. Правильные системы точек
Правильная система точек (ПСТ) – совокупностьсимметрично эквивалентных позиций (точек),
связанных преобразованиями пространственной группы
Обозначения для ПСТ:
2
(c) : ½ y 0
I
II
III
I – кратность позиции
II – тип позиции (по алфавиту из справочника)
III – координаты любого атома из ПСТ
43
44. ПСТ в группе P2/m
частное положениеb
a
z=0
z=0
z= 0
z= 0
z=0
Тип позиции:
z=0
1(a): 0 y 0
1(a): 0 y 0
44
45. ПСТ в группе P2/m
частное положениеb
a
z=½
z=½
z= 0
z= 0
z=½
Тип позиции:
z=½
1(b): 0 y ½
1(b): 0 y ½
45
46. ПСТ в группе P2/m
частное положениеb
z= 0
a
z=0
Тип позиции:
z= 0
1(с): ½ y 0
46
47. ПСТ в группе P2/m
частное положениеb
z= 0
a
z=½
Тип позиции:
z= 0
1(d): ½ y ½
47
48. ПСТ в группе P2/m
общее положениеb
z= 0
a
z= 0
Тип позиции:
Координаты точек:
2(e): x y z
xyz и xyz
48