Матлаб

1. Математические вычисления и визуализация в MATLAB

Шурупова А.В. ХТиТ 1-17

2. Введение

MATLAB (сокращение от Matrix Laboratory) — это мощная среда
технических вычислений, где базовым элементом данных является
массив (или матрица). В отличие от классических языков
программирования, MATLAB оптимизирован для работы с
векторами и матрицами «из коробки».

3. Математические действия

4. Математические выражения в MATLAB

Как и большинство других языков программирования, Matlab
предоставляет возможность использования математических выражений,
но в отличие от многих из них, эти выражения в Matlab включают
матрицы. Основные составляющие выражения:
— переменные;
— числа;
— операторы;
— функции.

5. Переменные 

Переменные
В Matlab нет необходимости в определении типа переменных или размерности.
Когда Matlab встречает новое имя переменной, он автоматически создает
переменную и выделяет соответствующий объем памяти. Если переменная уже
существует, Matlab изменяет ее состав и если это необходимо выделяет
дополнительную память.
Имена переменных состоят из букв, цифр или символов подчеркивания. Matlab
использует только первые 31 символ имени переменной. Matlab чувствителен к
регистрам, он различает заглавные и строчные буквы. Поэтому A и a — не одна и та
же переменная. Чтобы увидеть матрицу, связанную с переменной, просто введите
название переменной.

6. Числа.  

Числа.
Matlab использует принятую десятичную систему счисления, с необязательной
десятичной точкой и знаками плюс-минус для чисел. Научная система
счисления использует букву e для определения множителя степени десяти.
Мнимые числа используют i или j как суффикс.
Все числа для хранения используют формат long, это числа с
плавающей точкой обладающие ограниченной точностью —
приблизительно 16 значащих цифр и ограниченным диапазоном
— приблизительно от 10-308 до 10308.

7. Операторы. 

Операторы.
Выражения используют обычные арифметические операции
В MATLAB все арифметические
операции делятся на два типа:
скалярные/матричные и поэлементные.
Шаблоны презентаций с сайта presentation-creation.ru

8. Скалярная арифметика

Когда вы работаете с
отдельными числами
(скалярами), MATLAB
ведет себя как
стандартный, но очень
мощный калькулятор.
На этом уровне важно
понимать приоритет
операций и
особенности деления.
Если вы работаете с обычными числами
(скалярами), синтаксис максимально
привычен:
•Сложение (+): a + b
•Вычитание (-): a – b
•Умножение (*): a * b
•Деление (/): a / b (деление слева направо)
•Возведение в степень (^): a ^ b

9. Примеры для скаляров:

10. Примеры для скаляров:

Замечание: В MATLAB есть также оператор обратного деления (\). Например,
a \ b означает «разделить b на a». В скалярной арифметике 5 \ 10 даст 2.

11. Поэлементные операции

Так как MATLAB изначально «заточен» под матрицы, обычные знаки *, /,
^ по умолчанию выполняют линейно-алгебраические (матричные)
операции.
Если попытаться умножить вектор на вектор с помощью *, MATLAB
выдаст ошибку несоответствия размерностей (если только вы не
умножаете строку на столбец по правилам линейной алгебры).
Чтобы в MATLABе применить действие к каждому конкретному
элементу массива: нужно поставить точку (.) перед оператором.
Примечание: Для сложения (+) и вычитания (-) точка не нужна, так как эти операции в линейной
алгебре и так всегда выполняются поэлементно.

12.

Поэлементные операции

13. Функции

Matlab предоставляет большое количество элементарных математических
функций, таких как abs, sqrt, exp, sin. Вычисление квадратного корня или
логарифма отрицательного числа не является ошибкой: в этом случае
результатом является соответствующее комплексное число. Matlab также
предоставляет и более сложные функции, включая Гамма функцию и
функции Бесселя. Большинство из этих функций имеют комплексные
аргументы. Важно помнить, что тригонометрические функции по умолчанию
работают с радианами Чтобы вывести список всех элементарных
математических функций, наберите:
help elfun
Чтобы посмотреть список всех функций Matlab для анализа данных:
help datafun
Если вам нужно узнать о Statistics Toolbox, введите:

14. Встроенные математические функции

15.

Несколько специальных
функций предоставляют
значения часто
используемых констант:
Имена функций не являются зарезервированными, поэтому возможно
изменять их значения на новые, например:
eps = 1.e-6
и далее использовать это значение в последующих вычислениях.
Начальное значение может быть восстановлено следующим образом:
clear eps

16. Операторы отношения 

Операторы отношения
Служат для сравнения двух величин, векторов или матриц, все операторы
отношения имеют две сравниваемые величины и записываются, как показано в
табл
Данные операторы
выполняют поэлементное
сравнение векторов или
матриц одинакового
размера, и логическое
выражение принимает
значение 1 (True), если
элементы идентичны, и
значение 0 (False) в
противном случае.

17. Логические операторы

служат для реализации поэлементных логических операций над
элементами одинаковых по размеру массивов

18. Визуализация: 2D и 3D моделирование

19. 2D Моделирование (Двухмерные графики)

Основные функции построения
• plot(x, y) — строит классический линейный график по
координатам векторов (x) и (y).
• plot(y) — если задан только вектор (y), по оси абсцисс
откладываются индексы элементов (от (1) до (n)).
• scatter(x, y) — строит точечную (маркерную) диаграмму.
• stairs(x, y) — создает ступенчатый (лестничный) график.
• bar(x, y) — строит столбчатую диаграмму (гистограмму).
• polarplot(theta, r) — строит график в полярной системе координат

20.

Основные функции построения
• plot(x, y) — строит классический линейный график по
координатам векторов (x) и (y).
• plot(y) — если задан только вектор (y), по оси абсцисс
откладываются индексы элементов (от (1) до (n)).
• scatter(x, y) — строит точечную (маркерную) диаграмму.
• stairs(x, y) — создает ступенчатый (лестничный) график.
• bar(x, y) — строит столбчатую диаграмму (гистограмму).
• polarplot(theta, r) — строит график в полярной системе координат

21. Стилизация линий и маркеров (plot(x, y, ‘стиль’))

Можно настроить цвет, стиль линии и маркеры прямо в команде plot,
используя специальные строковые аргументы (например, 'r--' — красная
пунктирная линия
Цвета: 'r' (красный), 'g' (зеленый), 'b' (синий), 'k' (черный), 'y' (желтый).
Стили линий: '-' (сплошная), '--' (штриховая), ':' (пунктирная), '-.' (штрихпунктирная).
Маркеры: 'o' (круг), '*' (звездочка), '+' (плюс), 'x' (крестик), 's' (квадрат).

22. Оформление графика

Сразу после вызова функции построения используются команды для
добавления аннотаций:
title('Заголовок') — задает название графика.
xlabel('Подпись оси X') — подписывает горизонтальную ось.
ylabel('Подпись оси Y') — подписывает вертикальную ось.
grid on / grid off — включает/выключает отображение
координатной сетки.
legend('Кривая 1', 'Кривая 2') — создает легенду для
идентификации графиков.

23. Работа с несколькими графиками

hold on — фиксирует текущий график, позволяя накладывать поверх
новые данные (функция plot не будет очищать окно).
hold off — отключает режим наложения.
figure — открывает новое пустое графическое окно.
subplot(m, n, p) — разбивает графическое окно на сетку m х n, где p —
номер активного поля для построения.

24. Настройка осей и масштаба

axis([xmin xmax ymin ymax]) — задает границы отображения для осей.
axis equal — устанавливает одинаковый масштаб по обеим осям (для правильных
пропорций).
xlim([xmin xmax]) и ylim([ymin ymax]) — задают границы только для одной из осей.

25. Пример построения функции

26. 3D Моделирование (Трехмерные графики)

Для создания 3D-графиков в MATLAB используются функции,
визуализирующие зависимость \(z = f(x, y)\) или трехмерные
кривые. Полный перечень всех доступных инструментов и
руководств представлен на странице документации
MathWorks MATLAB 3-D Plots.

27. Основные команды для базовых типов визуализации, а также команды оформления трехмерного пространства:

plot3(x, y, z) — строит пространственные линии и траектории по трем массивам координат
mesh(X, Y, Z) — строит каркасную поверхность (сетку).
surf(X, Y, Z) — строит залитую цветом поверхность.
surfc(X, Y, Z) — строит залитую поверхность с линиями уровня (контурами) в основании.
surfl(X, Y, Z) — строит поверхность с учетом освещения (затенения).
contour3(X, Y, Z) — строит изолинии (линии уровня) постоянных значений в 3d

28. Оформление графика

grid on — включает отображение сетки.
title, xlabel, ylabel, zlabel — добавляют заголовки и подписи к соответствующим осям (например,
zlabel('Высота, м')).
colormap — задает цветовую палитру (например, colormap jet, colormap parula).
shading — управляет сглаживанием цветов (например, shading interp для красивой гладкой заливки
или shading flat для граней).
Команды управления осями и обзором
view(azimuth, elevation) — задает угол обзора. Углы указываются в градусах. Например, view(45, 30).
axis — настройка масштаба осей (например, axis equal, axis tight).
rotate3d on — включает интерактивный режим вращения графика с помощью мыши прямо в окне
вывода.
camorbit, camzoom — команды управления положением виртуальной камеры.

29. Пример построения 3D графика

30. Решение математического задания (Контрольный вопрос №5)

Построить график функции y = e^x - 5x^2 на участке от 0 до 1 с шагом 0.1

31.

СПАСИБО
ЗА
ВНИМАНИЕ