Выпуклость, вогнутость и точки перегиба ДО 1

1.

Выпуклость и вогнутость функции
Презентация к уроку по учебнику «Алгебра и начала анализа, 10-11»
под редакцией Ш.А.Алимова , § 53

2.

Дана функция у = f (x)
На интервале (а, b)
функция у = f (x) непрерывна и
дифференцируема,
причем f '(x) >0
у
Постройте эскиз графика
функции у = f (x) интервале (а, b)
а
b

3.

Дана функция у = f (x)
Чем отличается поведение
линий?
у
Одна из них – отрезок
прямой
Другая проходит над
отрезком
Третья – под отрезком
А четвертая – частично
над отрезком, частично
под ним
а
b

4.

В математике для обозначения такого
поведения существуют специальные
понятия:
выпуклости и
вогнутости
графика функции

5.

Выпуклость и вогнутость
функции
Геометрический смысл
второй производной

6.

Выпуклая
вверх
(выпуклая кривая)
Кривая называется
выпуклой вверх
в точке х = а,
если в некоторой
окрестности этой
точки она
расположена
под
у
своей касательной
а
х

7.

Выпуклая
вниз
(вогнутая кривая)
Кривая называется
выпуклой вниз
в точке х = а,
если в некоторой
окрестности этой
точки она
расположена
над
у
своей касательной
а
х

8. Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая)

у
0
a
b
х

9.

Кривая выпуклая вниз на интервале
(вогнутая)
у
0
a
b
х

10.

Как найти интервалы выпуклости и
вогнутости?

11. График функции у = f (х) – вогнутая кривая

В точках М1, М2, М3… проведены касательные
Величина углов
α1, α2, α3…
растет,
увеличиваются
и тангенсы этих
углов
м3
м2
м1
α1
α2
α1 < α2 < α3 < …
α3

12. График функции у = f (х) – вогнутая кривая

В точках М1, М2, М3… проведены касательные
тангенсы углов α1, α2, α3… увеличиваются
tgα = f′(х) ,
следовательно, возрастает функция f′(х)
Если функция возрастает, то ее
производная положительна
м3
Производная функции f′(х) – это
производная производной
(f ′(х))′ = f ′′(х) и
f ′′(х) >0
Вывод:
Если график функции – вогнутая
кривая, то вторая производная этой
функции – положительна.
м2
м1
α1
α2
α1 < α2 < α3 < …
α3

13. График функции у = f (х) – выпуклая кривая

В точках М1, М2, … проведены касательные
тангенсы углов α1, α2, α3… убывают
tgα = f′(х) , следовательно,
убывает функция f′(х)
α1
производная функции y = f ′(х)
(f ′(х))′ = f ′′(х) - отрицательна, т.е.
м2
f ′′(х) < 0
Вывод:
Если график функции – выпуклая
кривая, то вторая производная этой
функции – отрицательна.
м1
α2
α1
α1 > α2 > α3 > …

14.

Если вторая производная функции
у = f (х)
на данном интервале положительна, то кривая
вогнута
а если отрицательна – выпукла в этом
промежутке

15.

Точки, в которых выпуклость
меняется на вогнутость или наоборот,
называются точками перегиба

16. Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции:

Найти:
1.
Вторую производную
2.
Точки, в которых она равна нулю или не
существует
3.
Интервалы, на которые область определения
разбивается этими точками
4.
Знаки второй производной в каждом интервале
Если f '‘(х) < 0, то кривая выпукла,
если f '‘(х) > 0 – вогнута.

17. Исследование функции с помощью второй производной

Интервалы выпуклости:
(-3, 0) и (2, 5)
Интервалы вогнутости:
(-∞, -3), (0, 2) и (5, +∞)
■
■
■
■
+
-
-3
+
0
-
2
■х = -3, х = 0, х = 2
+
5
f‘‘
f
х = 5 – точки перегиба

18.

График функции
График функции
у = f (х) –
у = f (х) –
вогнутая кривая
выпуклая кривая
«+»
«-»

19. Производная второго порядка

f (x) – функция
дифференцируема на (a;b)
f ‘ (x) – производная
функции f(x) на (a;b)
f ‘‘ (x) – вторая
производная функции f(x)
на (a;b)
2
4
f(x) = x 3
-4
f ‘‘ (x) = (f ‘ (x)) ‘
f '(x) = 3x 2
f " (x) = 6x
-8

20. Точки перегиба

Если f ‘‘(x) > 0, то график
функции выпуклый вниз.
Если f ‘‘(x) < 0, то график
функции выпуклый вверх.
х0 – точка перегиба
дифференцируемой
f(x) = x3
функции f (x), если в этой
точке функция меняет
направление выпуклости.
х0 = 0
(точка
перегиба)

21.

Спасибо за работу
Успехов!