Лекции 2 2023

1. Курс лекций по теоретической механике

СОВРЕМЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Курс лекций по
теоретической
механике
Статика

2. Содержание

Лекция 1. Введение. Основные понятия. Аксиомы статики. Связи и реакции связей.
Лекция 2. Система сходящихся сил. Теорема о трех силах. Аналитическое определение
равнодействующей сходящихся сил.
Лекция 3. Произвольная плоская система сил. Момент силы относительно точки. Пара сил. Теоремы о
парах. Метод Пуансо. Главный вектор и главный момент. Уравнения равновесия. Три формы уравнений
равновесия. Теорема Вариньона.
Лекция 4. Плоские фермы. Основные понятия. Методы расчета. Метод вырезания узлов. Метод
сечений (метод Риттера). Графический метод определения усилий в стержнях (метод Максвелла –
Кремоны).
Лекция 5. Трение скольжения. Основные законы. Способы определения коэффициента трения. Угол
трения. Конус трения. Учет сил трения при решении задач на равновесие. Сопротивление при качении.
Лекция 6. Произвольная пространственная система сил. Моменты силы относительно центра и оси.
Связь момента силы относительно точки и момента силы относительно оси. Теоремы о парах.
Сложение произвольно расположенных сил в пространстве. Главный вектор и главный момент.
Лекция 7. Аналитическое определение главного вектора и главного момента. Уравнения равновесия
произвольной пространственной системы сил. Возможные случаи приведения системы. Зависимость
главного момента от выбора центра приведения. Инварианты системы. Теоремы Вариньона.
Лекция 8. Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил. Центр тяжести. Определение
положения центра тяжести однородных тел. Центры тяжести простейших фигур. Способы определения
положения центров тяжести.
Рекомендуемая литература
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа. 1988 г. 416 с.
2. Бертяев В.Д. и др. Примеры и задачи в теоретической механике.ч1. Статика .Кинематика. Пособие для
самостоятельной работы. М.: Ассоциация строительных вузов. 2004 г. 191 с.
3. Сборник заданий для курсовых работ /Под ред. А.А. Яблонского. М.:Высшая школа. 1985 г. 366 с.

3.

Лекция 2
1. Система сходящихся сил – линии действия сил пересекаются
в одной точке.
План исследования любой системы сил соответствует
последовательному решению трех вопросов :
1.
2.
3.
F1
F2
R1, 2
R1, 2,3
R1, 2,3, 4
Как упростить систему?
Каков простейший вид системы?
Каковы условия равновесия системы?
F3
1. Перенесем все силы по линии их действия в точку пересечения
(кинематическое состояние тела при этом не изменится – следствие из аксиомы присоединения).
Сложим первые две силы F1 и F2 (аксиома параллелограмма).
Количество сил уменьшилось на единицу.
Сложим полученную равнодействующую R12 со следующей силой F3.
Количество сил вновь уменьшилось на единицу.
Повторим эту же операцию со следующей силой F4.
Осталась всего одна сила, эквивалентная исходной системе сил.
F4
R1, 2 F1 F2
R1, 2,3 R1, 2 F2
R1, 2,3, 4 R1, 2,3 F4
Сложение сил построением параллелограммов можно заменить построением силового
треугольника – выбирается одна из сил или изображается параллельно самой себе с началом
в любой произвольной точке, все другие силы изображаются параллельными самим себе с
началом, совпадающим с концом предыдущей силы.
Результатом такого сложения является вектор, направленный из начала первой силы к концу
последней из сил.
3

4.

Лекция 2 (продолжение 2.1)
2.
Простейший вид системы – сила, приложенная в точке пересечения исходных сил. Таким
образом, сходящаяся система сил приводится к одной силе – равнодействующей (силе,
эквивалентной исходной системе сил), равной геометрической сумме сил системы.
R F1 F2 F3 F4 ... Fi
3.
Если равнодействующая системы оказывается не равной нулю, тело под действием такой
системы силы будет двигаться в направлении равнодействующей (система сил не
уравновешена). Для того, чтобы уравновесить систему достаточно приложить силу, равную
полученной равнодействующей и направленной в противоположную сторону (аксиома о
двух силах). Таким образом, условием равновесия системы сходящихся сил является
обращение равнодействующей в ноль.
R Fi 0
Это условие эквивалентно замкнутости силового треугольника
определенным образом, а именно,
направление всех сил при обходе по контуру не изменяется
по направлению:
4

5.

Лекция 2 (продолжение – 2.2)
2. Теорема о трех силах – если тело, под действием трех непараллельных сил находится в
равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.
1.
Перенесем две силы по линии их действия в точку их пересечения (кинематическое
состояние тела при этом не изменится – следствие из аксиомы присоединения).
2.
Сложим эти силы (аксиома параллелограмма). Теперь система состоит всего из двух сил. А
такая система находится в равновесии, если эти силы равны между собой и направлены по
одной линии в противоположные стороны. Таким образом, все три силы пересекаются в
одной точке.
F1
F3
F1
R12
F2
F2
Теорема о трех силах может эффективно применяться для определения направления одной из
двух реакций тел.
5

6.

Лекция 2 (продолжение – 2.3)
3.Аналитический способ определения равнодействующей сходящихся сил.
В теоретической механике используется теорема о равенстве проекций суммы векторов на
любую ось сумме проекций этих векторов на ту же ось
Проекция геометрической суммы сил (их равнодействующей) на какую-либо ось равна
алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось.
Пусть мы имеем силовой многоугольник F1,F2,F3,R. Спроецируем все силы на ось x.
6

7.

Лекция 2 (продолжение – 2.4)
Для решения основной задачи статики используется тот факт, что тело не может находиться
в равновесии под действием любых сил. В случае равновесия все действующие силы должны
удовлетворять определенным соотношениям, которые называются условиями равновесия.
Условия равновесия формулируются и записываются различно в зависимости от типа системы
сил, которая при этом образуется.
Для системы сходящихся сил
геометрической форме.
имеют место условия равновесия в аналитической и в
Условия равновесия в аналитической форме :
Если на тело действуют сходящиеся силы, лежащие в одной плоскости, то уравнений
равновесия будет два.
Если на покоящееся тело наложены связи с трением, то к уравнениям равновесия с учетом
сил трения следует присоединить закон Кулона для трения:
где f- коэффициент трения скольжения при покое, N-величина нормальной реакции.
7

8.

Лекция 2 (продолжение – 2.5)
Условия равновесия в геометрической форме формулируется следующим образом.
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы
многоугольник, построенный для данных сил, был замкнутым.
силовой
Пример. Груз M1 весом Р подвешен на гибком нерастяжимом тросе ОМ1, отклоненном от
вертикали на угол α , и удерживается в равновесии при помощи другого гибкого нерастяжимого
троса М1АМ2, охватывающего идеальный блок А и несущего на свободном конце груз М2 . Считая,
что при равновесии участок троса М1А горизонтален, определить величину Q веса груза М2 и
натяжение троса ОМ1. Размерами груза М1 и весом тросов пренебречь. Решить задачу двумя
способами: аналитическим и геометрическим.
Решение
Рассмотрим равновесие груза М1. Задаваемыми силами являются
вертикально направленная сила Р и горизонтально направленная
сила Т2, равная по величине весу груза Q, так как идеальный блок А
изменяет только направление силы.
На груз М1 наложена связь, осуществляемая тросом ОМ1.
Освободим груз от связи. Реакция связи Т1 направлена по тросу
вверх. Таким образом, груз М1 находится в равновесии под
действием плоской сходящейся системы трех сил : Р, Т1 и Т2,
причем Т2= Q (рис.б).
8

9.

Лекция 2 (продолжение – 2.6)
Геометрический способ
Поскольку точка М1 находится в равновесии под действием трех
сил, то силовой треугольник, построенный на этих силах, должен
быть замкнутым (рис. в).
Построение силового треугольника следует начинать с
заданной силы Р. Изобразив вектор Р, проводим через его
начало и конец прямые, параллельные направлениям сил Т1 и
Т2. Точка пересечения этих прямых определит третью вершину
силового треугольника. Ориентация всех векторов должна быть
такова, чтобы силовой треугольник
был замкнутым. Из
силового треугольника находим :
Таким образом , вес Q груза М2, равныйТ2 будет Q=Р∙tgα , а
натяжение троса ОМ1 численно равно:
9

10.

Лекция 2 (продолжение – 2.7)
Аналитический способ
Выберем оси координат. Их следует выбирать так, чтобы
уравнения равновесия имели наипростейший вид. Этого можно
добиться, проводя оси перпендикулярно неизвестным силам. При
этом оси могут оказаться неортогональными (оси М1y и М1y/).
Обычно пользуются ортогональными осями. Проведем ось М1y
перпендикулярно неизвестной силе Т2, а ось М1x –горизонтально.
Система приложенных сил Р, Т1 и Т2 – плоская сходящаяся система, для которой
имеет место два уравнения равновесия. В задаче две неизвестные величины: Т1 и
Т2, т.е. задача статически определима.
Составим уравнения равновесия :
Отсюда находим:
10