08_ ОТС_ Аналитический сигнал

1. Аналитический сигнал

С. А. Алексейцев

2.

Усложнять – просто;
упрощать – сложно.
Закон Мейера
Понять – значит упростить.
Михаил Анчаров
2

3. Метод комплексных амплитуд

U m cos(2 ft )
U me
j (2 ft )
Um
2 ft
Re
U m cos(2 ft )
x(t ) Re{z (t )}
3

4.

Сигналы произвольной формы «состоят» из
гармонических колебаний
U m cos(2 ft ) U m
U m cos(2 ft )
e
j (2 ft )
e
2
U me
j (2 ft )
j (2 ft )
подавление составляющей с отрицательной
частотой и удвоение составляющей с
положительной частотой
4

5. Получение аналитического сигнала

z (t )
x(t )
H( f )
H( f )
2
0
f
5

6.

иной способ: сформировать мнимую часть, а в
качестве вещественной взять исходный сигнал
U m cos(2 ft )
U me
j (2 ft )
можно представить в виде
U m cos(2 ft )
U m cos(2 ft )
jU m sin(2 ft )
x(t )
x(t )
Hг ( f )
x (t )
z (t ) x(t ) jx (t )
6

7.

x(t )
z (t )
H( f )
x(t )
x(t )
x (t )
Hг ( f )
H( f )
Hг ( f )
2
j
0
f
при
j
0
f
f 0 : jX ( f ) X ( f )
X ( f ) jX ( f )
f 0 : jX ( f ) X ( f )
X ( f ) jX ( f )
7

8. Характеристики фильтра-преобразователя

j , f 0,
Hг ( f )
j , f 0.
1
ФЧХ
hг (t ) H ( f )e j 2 ft df
f
lim je e
0
j 2 ft
/2
df lim je
0
f
f
f
/ 2
0
АЧХ
e
j 2 ft
df
0
0 ( j 2 t ) f
( j 2 t ) f
lim j e
df j e
df
0
0
8

9.

0 ( j 2 t ) f
lim j e
df j e( j 2 t ) f df
0
0
0
1
1
( j 2 t ) f
lim j
e
e( j 2 t ) f
0
j 2 t
j 2 t
0
1
1
1
lim j
hг (t )
0
j
2
t
j
2
t
t
)
t
9

10.

x (t ) x(t ) hг (t ) x( )hг (t )d
x( )
x (t )
d
t
1
x ( )
x(t )
d
t
1
пара преобразований
Гильберта
x(t ) x (t ) hг (t )
1
x ( s)
x(t )
ds
s t
1
x(t )
x (s)
dt
s t
10

11. Трёхмерный график комплексного гармонического колебания

11

12. Трёхмерный график аналитического сигнала

© Cariolaro G. Unified Signal Theory. University of Padova, Italy

13. Свойства преобразования Гильберта

( x , y ) ( x, y)
( x , x ) ( x, x)
обобщенная формула Рэлея (т.к.
ядро самосопряженное)
равенство Парсеваля
Wx ( f ) Wx ( f )
т.к. для ПГ АЧХ ≡ 1
Rx ( ) Rx ( )
(следствие)
x(t ) const
x (t ) 0
вследствие нечетности ИХ
13

14. Свойства преобразования Гильберта

для вещественного сигнала
( x, x ) X ( f ) X ( f )df
0
j X ( f ) X ( f )df j X ( f ) X ( f )df 0
0
Wx ( f )
X ( f ) jX ( f )
Wx ( f )
X ( f ) jX ( f )
14

15. Аналитический сигнал в показательной форме

Im
A(t )
j ( t )
z (t ) A(t )e
x (t )
мгновенная частота:
d (t ) d
Im ln z (t )
dt
dt
(t ) arg x(t ) jx (t )
Re
x(t )
z '(t )
1
d
1
f (t )
Im ln z (t )
Im
2
dt
2
z (t )
15

16.

z '(t )
1
d
1
f (t )
Im ln z (t )
Im
2
dt
2
z (t )
x '(t ) jx '(t ) x(t ) jx (t )
1
Im
2
2
2
x (t ) x (t )
1 x '(t ) x(t ) x '(t ) x (t )
2
2
2
x (t ) x (t )
16

17. Узкополосный сигнал

( f )
Z( f )
-F0
0
F
f
A(t ) имеет смысл огибающей, (t ) 2 F0t (t )
( f ) Z ( f F0 )
(t ) z (t )e
j 2 F0t
17

18. Узкополосный сигнал

( f ) Z ( f F0 )
(t ) A(t )e
j ( t )
(t ) z (t )e
j 2 F0t
(t ) u (t ) jv(t )
комплексная огибающая
Im
A(t )
v (t )
(t )
Re
u (t )
0
18

19.

для аналитического сигнала
x (t )
Im
A(t )
A(t ) x (t ) x (t )
2
2
Узкополосный сигнал
x(t ) A(t )cos (t )
(t )
Re
x(t )
A(t ) cos 2 F0t (t )
19

20.

A(t )
v (t )
x(t ) Re (t )e
j 2 F0t
(t )
Re
u (t )
0
Re u (t ) jv(t ) cos(2 F0t ) j sin(2 F0t )
u (t )cos(2 F0t ) v(t )sin(2 F0t )
синфазная компонента
квадратурная компонента
20

21.

Пример: выделение огибающей
21

22.

22

23. Вычисление квадратурных компонент

u (t ) Re (t ) Re z (t )e
j 2 F0t
Re x(t ) jx (t ) cos(2 F0t ) j sin(2 F0t )
x(t )cos(2 F0t ) x (t )sin(2 F0t )
v(t ) Im (t ) x (t ) cos(2 F0t ) x(t )sin(2 F0t )
23

24. Вычисление квадратурных компонент

u (t ) / 2
x(t )
ФНЧ
cos 0t
v(t ) / 2
x(t )cos(2 F0t )
ФНЧ
sin 0t
u(t )cos (2 F0t ) v(t )sin(2 F0t )cos(2 F0t )
2
(1 cos(2 2 F0t ))
sin(2 2 F0t )
u (t )
v(t )
2
2
u (t )
ФНЧ
2
24

25. Вычисление квадратурных компонент

u (t ) / 2
x(t )
x(t )sin(2 F0t )
ФНЧ
cos 0t
v(t ) / 2
ФНЧ
sin 0t
u(t )cos(2 F0t )sin(2 F0t ) v(t )sin (2 F0t )
2
sin(2 2 F0t )
1 cos(2 2 F0t )
u (t )
v(t )
2
2
v(t )
ФНЧ
2
25

26. Значение понятия аналитического сигнала

1. Только через понятие АС можно
непротиворечиво определить огибающую и
мгновенную частоту произвольного сигнала.
2. Благодаря АС возможно экономное
описание УПС через НЧ квадратурные
компоненты и среднюю частоту.
3. Вся обработка УПС может быть
реализована на низких частотах, что
экономит быстродействие и объем памяти
устройств.
26

27. Примеры. Синхронное детектирование модулированных сигналов

Амплитудная модуляция
A(t )
u (t )
u (t ) / 2
x(t )
ФНЧ
cos 0t
v(t ) / 2
ФНЧ
sin 0t
v(t ) 0
27

28. Примеры. Синхронное детектирование модулированных сигналов

Угловая модуляция
u (t ) const
u (t ) / 2
x(t )
ФНЧ
cos 0t
v(t ) / 2
ФНЧ
sin 0t
v(t )
b(t )
28

29. Условие каузальности и вид КЧХ

H( f )
2
0
Z ( f ) 0 при f 0 z(t ) x(t ) jx (t )
h(t )
0
t
h(t ) 0 при t 0 H ( f ) Re H ( f ) j Im H ( f )
Вещественная и мнимая части КЧХ каузальной ЛИС-цепи связаны
парой преобразований Гильберта
29