Кризис оснований математики

1.

Кризис оснований
математики
От интуитивной веры к строгой формализации

2.

Эра оптимизма
Наивная теория множеств Георга
Кантора

3.

Георг Кантор и его открытие
В конце XIX века Георг Кантор создал теорию
множеств, которая должна была стать
«алфавитом» всей математики.
Принцип выделения: любое свойство
мыслимых объектов образует множество.
Вера в то, что математика — это описание
объективных «идей».
Рождение понятий актуальной
бесконечности и мощностей множеств.

4.

Готлоб Фреге:
Логицизм
Грандиозный проект Фреге ставил целью
доказать, что арифметика — это просто
ветвь логики.
В его труде «Основные законы
арифметики» математика впервые
приобрела вид абсолютно строгого
логического исчисления.
«Математика не должна зависеть от
интуиции». — Фреге

5.

Роковое письмо 1902 года
Как один вопрос разрушил целую жизнь

6.

Бертран Рассел
Логический взрыв
Когда второй том труда Фреге уже был в
печати, он получил письмо от молодого
Рассела.
Письмо содержало парадокс, указывающий
на фатальную ошибку в системе Фреге.
Фреге был опустошен: «Арифметика
пошатнулась. Я вижу, что фундамент моего
здания разрушен».

7.

Парадокс Рассела
Суть парадокса
Рассмотрим множество всех множеств,
которые не содержат себя в качестве своего
элемента. Содержит ли оно само себя?
Если да, то по определению оно не должно
там быть.
Если нет, то по определению оно обязано
там находиться.
Это доказало, что «наивный» подход к
созданию множеств ведет к катастрофе.

8.

Джузеппе Пеано: Аксиоматика
Итальянский математик Джузеппе Пеано
предложил выход: заменить интуицию
жесткими формальными аксиомами.
Язык символов: ввел знаки ∈, ∃, ⊂, чтобы
убрать двусмысленность слов.
Аксиомы Пеано: первая строгая база для
натуральных чисел.
Математика стала набором правил для
манипуляции символами.

9.

Система ZFC
Цермело-Френкель
Аксиоматическая система, ставшая общепринятым
фундаментом современной математики. Она ввела
запрет на создание «слишком больших» множеств.
Аксиома Выбора (C)
Дополнительное правило, которое разрешает
бесконечный выбор элементов. Оно сделало систему
мощной, но вызвало новые дискуссии.
Основные аксиомы
Объемности: Два множества равны, если их элементы
совпадают.
Выделения: Запрещает «слишком большие» множества (защита
от парадокса Рассела).
Бесконечности: Гарантирует существование бесконечных
множеств.
Пары и Объединения: Позволяют строить новые множества из
существующих.
Степени: Существование множества всех подмножеств.
Регулярности: Исключает множества, содержащие сами себя.
Подстановки: Образ множества под действием функции также
является множеством.

10.

Почему это спасло математику?
Ограничение свободы: ZFC запрещает «наивное» создание множеств.
Чтобы создать множество, нужно «выделить» его из уже существующего.
Смерть парадокса: «Множество всех множеств» больше не существует в
рамках этой системы.
Строгость превыше всего: Мы потеряли часть интуиции, но обрели
невероятную надежность доказательств.

11.

Вопросы?
Математика — это не поиск божественного порядка,
а строгая игра по правилам, которые мы выбираем сами.

12.

Image Sources
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Georg_Cantor_%28Portr%C3%A4t%29.jpg/960px-Georg_Cantor_%28Portr%C3%A4t%29.jpg
Source: en.wikipedia.org
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Young_frege.jpg
Source: en.wikipedia.org
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Honourable_Bertrand_Russell.jpg
Source: commons.wikimedia.org
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Giuseppe_Peano.jpg/500px-Giuseppe_Peano.jpg
Source: commons.wikimedia.org