Философия математики

1.

Философия математики
Докладчик:
Тилахун Адимасу Черу

2.

Философия математики
ЧТО ТАКОЕ ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ?
Философия математики может рассматриваться как раздел философии
науки, рядом с такими дисциплинами, как философия физики и
философия биологии. Однако из-за своего предмета философия
математики занимает особое место в философии науки.
Математическое знание долгое время считалось моделью человеческого
знания с истинами, которые важны и специфичны. Математические
методы исследования значительно отличаются от методов исследования
в других науках. Математические знания приобретаются, как правило,
путем выведения из базовых принципов, тогда как в других областях
науки объекты получают с помощью индуктивных методов.

3.

Философия математики
1. ЧЕТЫРЕ ШКОЛЫ ФИЛОСОФСКОЙ МАТЕМАТИКИ
Вплоть до XIX века, ключевым моментом в научном мировоззрении являлся
эмпирический аспект.
1.1. Логика. Идея, что математика — это замаскированная логика, восходит к
Лейбницу. Но серьезная попытка выполнить программу логиков в деталях могла
быть предпринята только тогда, когда в XIX веке были сформулированы основные
принципы центральных математических теорий (Дедекиндом и Пеано), а принципы
логики были раскрыты (Фреге). Фреге посвятил большую часть своей карьеры
попыткам показать, как математика может быть сведена к логике.
Основной закон Фреге V:
{x | Fx} = {x | Gx} тогда и только тогда, когда ∀x (Fx≡Gx),
В известном письме к Фреге Рассел показал, что Основной закон Фреге V влечет за
собой противоречие. Этот аргумент стал известен как парадокс Рассела.

4.

Философия математики
1.2. Интуиционизм.
• Интуиционизм берет свое начало в работах математика Л.Е.Дж.
Брауэр (van Atten 2004), и он вдохновлен кантианскими взглядами на
то, что представляют собой объекты.
• Из этих общих соображений о природе математики, основанных на
состоянии человеческого разума.
• Эта ситуация изменилась, когда стало ясно, что в высшей математике
интуиционистская альтернатива довольно резко отличается от
классической теории. Например, интуиционистский математический
анализ - довольно сложная теория, и она сильно отличается от
классического математического анализа.

5.

Философия математики
1.3. Формализм.
• Дэвид Гильберт согласился с интуиционистами, что в некотором смысле
естественные числа являются основными в математике. Но в отличие от
интуиционистов, Гильберт не воспринимал натуральные числа как ментальные
конструкции. Вместо этого он утверждал, что натуральные числа можно считать
символами. Символы строго говоря абстрактные объекты.
• В отличие от интуиционистов, Гильберт не был готов занять ревизионистскую
позицию по отношению к существующей совокупности математических знаний.
Вместо этого он занял инструменталистскую позицию в отношении высшей
математики. Он думал, что высшая математика - не более чем формальная игра.
Утверждения математики высшего порядка представляют собой не
интерпретируемые строки символов. Доказательство таких утверждений - не
более чем игра, в которой символами манипулируют согласно установленным
правилам. Смысл «игры высшей математики» состоит, по мнению Гильберта, в
доказательстве утверждений элементарной арифметики, которые имеют прямое
толкование

6.

Философия математики
1.4. Предикативизм.
• Как упоминалось ранее, предикативизм обычно не описывается как одна из школ.
Но только по непредвиденным причинам до наступления Второй мировой войны
прогнозируемость не поднималась до уровня известности других школ.
• Происхождение предикативизма лежит в работе Рассела. Аргумент парадокса
Рассела определяет совокупность C всех математических объектов,
удовлетворяющих.
• В 1920-х годах вмешалась история. Вейл был подогнан более радикальным
интуиционистским проектом Брауэра. Тем временем математики убедились, что
высокоимперная теория трансфинитов, разработанная Кантором и Зермело,
менее остро угрожает парадоксом Рассела, чем предполагалось ранее. Эти
факторы привели к тому, что предикативизм в течение нескольких десятилетий
впал в спящее состояние.
• Исследования Фефермана и других (особенно Харви Фридмана) показывают, что
большая часть анализа двадцатого века является приемлемой с точки зрения
предикативизма. Но также ясно, что не вся современная математика,
общепринятая в математическом сообществе, является приемлемой с точки
зрения предикативизма: теория трансфинитных множеств является наглядным
примером.

7.

Философия математики
2. ПЛАТОНИЗМ
2.1. Платонизм Гегеля.
• Гедель был платинитом по отношению к математическим объектам и по
математическим понятиям. Но его платонический взгляд был более
изощренным, чем взгляд математика на улице.
• Гедель утверждал, что существует сильный параллелизм между
правдоподобными теориями математических объектов и концепций,
• Математические объекты и понятия, как и физические объекты и свойства,
постулируются для получения хорошей удовлетворительной теории нашего
опыта.
• Гедель разделял убежденность Гильберта в том, что на все математические
вопросы есть определенные ответы. Но платонизм в философии математики
не следует считать ipso facto приверженным утверждению, что все
теоретико-множественные положения имеют определенные истинностные
ценности.

8.

Философия математики
2.2. Натурализм и незаменимость.
Куайн сформулировал методологическую критику традиционной философии.
Вместо этого он предложил другую философскую методологию, которая стала
известна как натурализм. Если мы хотим получить наилучший доступный ответ
на философские вопросы, такие как что мы знаем? Какие виды сущностей
существуют?
Мы
не
должны
обращаться
к
традиционным
эпистемологическим и метафизическим теориям. Мы также должны
воздерживаться
от
фундаментальных
эпистемологических
или
метафизических исследований, начиная с первых принципов. Скорее, мы
должны консультироваться и анализировать наши лучшие научные теории.
Они содержат, хотя часто и неявно, наше лучшее на данный момент описание
того, что существует, что мы знаем и как мы это знаем.

9.

Философия математики
2.3. Дефлирование платонизма.
• Бернейс заметил, что, когда математик работает, она «наивно» относится к
объектам, с которыми имеет дело, платоническим способом. Он говорит, что
каждый работающий математик - платонист
• Карнап ввел различие между вопросами, которые являются внутренними для
структуры, и вопросами, которые являются внешними для структуры. Тейт детально
проработал, как нечто подобное этому различию может быть применено к
математике.
• Философы имеют тенденцию выходить за рамки математики и спрашивать «извне»,
существуют ли математические объекты на самом деле и действительно ли
математические положения истинны. В этом вопросе они спрашивают о над
математические или метафизические основания для математических утверждений
об истине и существовании. В целом, Тейт считает, что математика не нуждается в
философском обосновании; он хочет, чтобы математика говорила сама за себя. В
этом смысле его позиция напоминает (в некотором смысле Витгенштейновскую)
естественную онтологическую позицию, за которую выступает Артур Файн в дебатах
о реализме в философии науки.

10.

Философия математики
3. СТРУКТУРАЛИЗМ И НОМИНАЛИЗМ
3.1. Ante Rem Structuralism. Шапиро проводит полезное различие между
алгебраическими и неалгебраическими математическими теориями.
Шапиро и Резник считают, что все математические теории, даже
неалгебраические, описывают структуры. Эта позиция известна как
структурализм.
3.2. Математика без абстрактных сущностей. Гудман и Куайн с самого
начала попытались укусить пулю: они начали проект по
переформулированию теорий естествознания без использования
абстрактных сущностей.

11.

Философия математики
3.3. Ребусский структурализм. Согласно структурализму ребуса, не существует
никаких абстрактных структур сверх систем, которые их создают; структуры
существуют только в системах, которые их создают. По этой причине номиналист в
ребус-структурализме иногда описывается как «структурализм без структур».
Номиналистский структурализм является одной из форм ребус-структурализма. Но в
ребусе структурализм не исчерпывается номиналистским структурализмом. Даже
версия платонизма, в которой математика относится к структурам в теоретикомножественном смысле этого слова, может рассматриваться как форма ребусструктурализма.
3.4. Вымышленность. Художественная литература считает, что математические
теории похожи на фантастические истории, такие как сказки и романы.
Математические теории описывают вымышленные сущности так же, как
литературные вымыски описывают вымышленных персонажей.
Шапиро сформулировал аргумент о неполноте, который намеревается опровергнуть
претензии Филда.

12.

Философия математики
4. СУБДИСЦИПЛИНЫ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
4.1. Основы и теория множеств. Многие считают теорию множеств в некотором
смысле основой математики. Кажется, что в теории множеств может быть реализован
практически любой кусок математики, хотя иногда это бывает неловко. В последние
годы философия теории множеств становится самостоятельной философской
дисциплиной.
4.2. Категоричность. Во второй половине девятнадцатого века Дедекинд доказал, что
основные аксиомы арифметики, вплоть до изоморфизма, имеют ровно одну модель,
и то же самое справедливо для основных аксиом реального анализа. Если теория,
вплоть до изоморфизма, имеет ровно одну модель, то она называется
категориальной.
4.3. Расчет и доказательство. До недавнего времени предмету вычислений не
уделялось много внимания в философии математики. Это может быть отчасти связано
с тем, что в аксиоматизации теории чисел в гильбертовом стиле вычисления сводятся
к доказательству в арифметике Пеано.

13.

Философия математики
5. БУДУЩЕЕ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
• В двадцатом веке исследования в области философии математики вращались главным
образом вокруг природы математических объектов, фундаментальных законов,
управляющих ими, и того, как мы приобретаем математические знания о них
• Во второй половине двадцатого века исследования в области философии науки в
значительной степени отошли от фундаментальных проблем. Вместо этого философские
вопросы, связанные с ростом научного знания и научного понимания, стали более
центральными.
• «Хорошее» математическое доказательство должно сделать больше, чем убедить нас в
том, что определенное утверждение верно. Следует также объяснить, почему данное
утверждение верно. И это делается путем ссылки на глубокие отношения между
глубокими математическими понятиями, которые часто связывают различные
математические области. До сих пор в компьютерных доказательствах обычно
использовались математические понятия довольно низкого уровня. Общеизвестно, что
они слабо самостоятельно разрабатывают глубокие концепции и испытывают трудности
с объединением концепций из разных математических областей. Все это приводит нас к
философскому вопросу, который только сейчас начинает привлекать внимание, которого
он заслуживает: что такое математическое понимание?

14.

Философия математики
Заключение
Математика является наукой, стоящей как бы отдельно от всех других наук и в этом
смысле она похожа с философией. То, что реально в математике, - это просто формулы
и сами доказательства в виде цепочек символов. В математике онтологический поиск
неверен, и от него следует отказаться».
1. Философия математики изучает природу математической истины, математического
доказательства, математической практики и математического объяснения.
2. Математический платонизм - это представление о том, какие математические
объекты существуют и являются абстрактными (пространственными, вневременными и
акаузальными) и независимыми от человеческого разума и языковых практик.
2. Математический платонизм - это представление о том, какие математические
объекты существуют и являются абстрактными (пространственными, вневременными и
акаузальными) и независимыми от человеческого разума и языковых практик. Согласно
математическому платонизму, математические теории верны в силу тех объектов,
которые обладают (или нет) определенными свойствами. Одним из важных вызовов
платонизму является объяснение того, как биологические организмы, такие как люди,
могут знать о таких объектах. Другой - объяснить, почему математические теории о
таких объектах должны оказаться применимыми в науках, связанных с физическим
миром.

15.

СПАСИБО
ЗА ВНИМАНИЕ!