Полуправильные многогранники

1.

Полуправильные многогранники
(тела Архимеда)

2.

От Платона к Архимеду
Платоновы тела- это 5 многогранников, у которых:
• Все грани одинаковые правильные многоугольники
• Все вершины одинаковы
Архимед предложил расширение:
• Разрешить разные типы граней
• Сохранить одинаковость вершин

3.

Определение
Полуправильный многогранник – выпуклые объемные фигуры, грани которых
состоят из правильных многоугольников двух или более различных видов, при
этом все многогранные углы при вершинах одинаковы.
1. Грани: Правильные многоугольники (треугольники, квадраты,
пятиугольники и т.д.), но разные.
2. Вершины: Все вершины равны, то есть любое многогранное сечение
одинаково.
3. Основные типы: К полуправильным относятся 13 архимедовых тел, а также
бесконечные серии правильных призм и антипризм.

4.

Почему в полуправильном многограннике
тело выглядит одинаково откуда не
посмотри, но грани разные?
Рассмотрим на примере
усеченного икосаэдра

5.

Как их получить?
Основной способ – усечение (срезаются вершины многограника)
Типы:
Простое усечение
Ректификация
(срез до середины
ребер)
Кантелизация
(усечение ребер)

6.

Группы
• Самые простые: Усечённый тетраэдр, кубооктаэдр,
икосододекаэдр.
• Ромбические: Ромбокубооктаэдр,
ромбоикосододекаэдр (у них есть квадраты).
• Плоские (курносые): Курносый куб и курносый
додекаэдр (имеют зеркальные версии — левую и
правую).
• Звёздчатые: те же формы, но с удлинёнными
гранями или пересечёнными поверхностями,
образующими звёздообразные вершины и
сложный силуэт

7.

Самый известный пример
Усечённый икосаэдр
(12 пятиугольников + 20 шестиугольников).
Связь с реальностью:
• Классическая форма
футбольного мяча
• молекулы фуллерена
C₆₀ (бакминстерфуллерен).

8.

Тела Архимеда
1. Усечённый тетраэдр
2. Усечённый октаэдр
3. Усечённый куб (гексаэдр)
4. Усечённый додекаэдр
5. Усечённый икосаэдр
6. Кубооктаэдр
7. Ромбокубооктаэдр
8. Ромбоусечённый кубооктаэдр
9. Плосконосый (курносый) куб
10.Икосододекаэдр
11.Усечённый икосододекаэдр
12.Ромбоусечённый икосододекаэдр
13.Плосконосый (курносый) додекаэдр

9.

Применение
Архитектура: Куполикосаэдр в проектах
Фуллера, геодезические
купола (часто основаны на
архимедовых телах).
Химия: Кластерные
соединения металлов
(формы кубооктаэдра).
Дизайн: Игровые кости
(d10 делают в форме
ромбоэдра), светильники,
головоломки.

10.

Сравнение с правильными
Платоновы: 5 тел — все грани одинаковые,
вершины одинаковы.
Архимедовы: 13 тел — грани разных типов
(2+), но вершины всё равно одинаковы.

11.

Заключение
1. Полуправильные многогранники — это баланс между строгостью и
разнообразием.
2. Они доказывают: даже отойдя от идеала (одной грани), можно сохранить
идеальную симметрию вершин.