Многогранники

1.

Многогранники
Работу выполнила
Уч-ся 11 «А» класса
МОУСО школа №36
Глущенко Карина
Учитель математики
Ковальчук Л.Л.
Калининград 2007

2.

Введение
Научный вклад в развитие теории
многогранников
Выпуклые однородные многогранники.
Платоновы и Архимедовы тела.
Некоторые звёздчатые формы и
соединения.
Многогранники вокруг нас
Невыпуклые однородные многогранники.
Задачи «Многогранники»
Список литературы.

3.

Тема " Многогранники " одна из основных тем
в школьном курсе геометрии.
Эта тема имеет яркие приложения, в том
числе в живописи,
архитектуре. Кроме этого в ней, по образному
выражению академика А.Д. Александрова
сочетаются "Лёд" и "Пламя",
т.е. живое воображение и
строгая логика.

4.

Математика: лабиринты
открытий.
Стереометрия как наука известна уже очень давно.
Изысканиями в этой области занимались многие
видные умы древности. Причём издавна великие
«геометры» уделяли внимание не только
теоретическим положениям и практическим
приложениям науки, многие понятия, образы
становились незаменимыми «компонентами» их
философских систем.
Мы рассмотрим вклад некоторых математиков в
развитие «теории многогранников».

5.

Научный вклад в развитие теории
многогранников философовматематиков
Леонардо Да Винчи
Архимеда
Платона
Евклида
Кеплера

6.

Золотое сечение - математический термин
Леонардо да Винчи
Леонардо да Винчи ввел термин "золотое сечение", означающий
такое деление отрезка на две части, когда большая его часть
является средним геометрическим всего отрезка и меньшей его
части. Часто под золотым сечением понимают иррациональное
число
τ = 1,6180339887498948482045868343656381177203091798... ,
равное отношению большей и меньшей частей отрезка.
Иррациональное число τ было известно намного раньше. Еще
Евклид использовал золотое сечение при построении
правильных 5- и 10-угольников, а также двух правильных
многогранников Платона, додекаэдра и икосаэдра1. Золотое
сечение широко применялось в геометрии и искусстве, в первую
очередь в архитектуре. В 1509 г. в Венеции вышла книга Пачоли
"О божественной пропорции", содержащая теорию
геометрических пропорций 2. Пачоли указывает 13 свойств
божественной пропорции (золотого сечения), чтобы почтить 12
апостолов и их учителя Иисуса Христа, и утверждает, что для
перечисления всех свойств божественной пропорции не хватило
бы чернил и бумаги. Леонардо да Винчи сделал рисунки для
этого сочинения, в том числе 59 изображений многогранников.

7.

Математик, физик и инженер Архимед
Сиракузский оставил после себя немало
изобретений, тринадцать сочинений (таких
как «О сфере и цилиндре», «Измерение
круга», «Равновесие плоскостей»,
«Стомахион», «Правильный семиугольник
и другие).
Архимед, как геометр определил
поверхность шара и его объём, исследовал
параболоиды и гиперболоиды, изучал
«архимедову спираль», определил число
«пи», как находящееся между 3,141 и 3,142.
около 287 – 212 гг. до н.э.
Вклад Архимеда в теорию многогранников описание 13 полуправильных выпуклых
однородных многогранников (архимедовых
тел).

8.

Платон
Платоновыми телами называются
правильные однородные выпуклые
многогранники, то есть выпуклые
многогранники, все грани и углы которых
равны, причем грани - правильные
многоугольники.
Платоновы тела - трехмерный аналог
плоских правильных многоугольников.
Однако между двумерным и трехмерным
случаями есть важное отличие: существует
бесконечно много различных правильных
многоугольников, но лишь пять различных
правильных многогранников.
около 429 – 347 гг до н.э.
Доказательство этого факта известно уже
более двух тысяч лет; этим доказательством
и изучением пяти правильных тел
завершаются "Начала" Евклида.
Характеристики платоновых тел

9.

Характеристики
платоновых тел
Многогранник
Число
сторон
грани
Число
граней,
сходящихся
в каждой
вершине
Число
граней
Число
рёбер
Число
вершин
Тетраэдр
3
3
4
6
4
Куб
4
3
6
13
8
Октаэдр
3
4
8
12
6
Икосаэдр
3
5
20
30
12
Додекаэдр
5
3
12
30
20

10.

«Начала Евклида.
«…в науке нет царского пути»
Главный труд Евклида – «Начала» (в
оригинале «Стохейа». «Начала» состоят из
13 книг, позднее к ним были прибавлены
ещё 2.
Первые шесть книг посвящены
планиметрии. Книги VII – X содержат
теорию чисел, XI, XII и XIII книги
«Начал» посвящены стереометрии.
Из постулатов Евклида видно, что он
представлял пространство как пустое,
безграничное, изотропное и трёхмерное.
около 365 – 300 гг. до н.э.
Интересно, что «Начала» Евклида
открываются описанием построения
правильного треугольника и заканчиваются
изучением пяти правильных многогранных
тел! В наше время они известны как
Платоновы тела.

11.

1571 – 1630 гг.
Немецкий астроном и математик. Один из
создателей современной астрономии.
Вклад Кеплера в теорию многогранника - это,
во-первых, восстановление математического
содержания утерянного трактата Архимеда о
полуправильных выпуклых однородных
многогранниках.
Еще более существенным было предложение
Кеплера рассматривать невыпуклые
многогранники со звездчатыми гранями,
подобными пентаграмме и последовавшее за
этим открытие двух правильных невыпуклых
однородных многогранников - малого
звездчатого додекаэдра и большого звездчатого
додекаэдра.
Космологическая гипотеза Кеплера

12.

13.

Модель№1
Тетраэдр
Простейшим среди
многогранников является
тет раэдр. Его четыре грани —
равносторонние треугольники.
Четыре — это наименьшее число
граней, отделяющих часть
трёхмерного пространства. Тем
не менее тетраэдр обладает
многими свойствами,
характерными для однородных
многогранников. Все его грани
суть правильные
многоугольники, причём каждая
отделяется ребром в точности от
одной грани.

14.

Модель№2
Октаэдр
Окт аэдр — эт о многогранник,
гранями которого являются
восемь равносторонних
треугольников. Так как его
противоположные грани лежат в
параллельных плоскостях

15. Модель№1 Тетраэдр

Модель№3
Гексаэдр (куб)
Несомненно, куб,
или, как его иногда
называют
математики, гексаэдр
— самый
общеизвест ный и
широко
используемый.
многогранник.

16. Модель№2 Октаэдр

Модель№4
Икосаэдр
Икосаэдр — одно из пяти
Платоновых тел, по простоте
следующее за тетраэдром и
октаэдром. Их объединяет то
обстоятельство, что гранями
каждого являются
равносторонние треугольники.

17. Модель№3 Гексаэдр (куб)

Модель№5
Додекаэдр
В известном смысле
додекаэдр представляет
наибольшую
привлекательность среди
Платоновых тел,
соперничая с икосаэдром,
который почти ему не
уступает (а быть может, в
чём-то и превосходит).

18. Модель№4 Икосаэдр

Модель№6
Усечённый тетраэдр

19. Модель№5 Додекаэдр

Модель№7
Усечённый октаэдр

20. Модель№6 Усечённый тетраэдр

Модель№8
Усечённый гексаэдр (куб)
Этот многогранник представляет
собой всего-навсего усечённый
куб. Вряд ли его модель когонибудь особо привлечёт, но
следует помнить, что это всётаки
тоже
однородный
многогранник.

21. Модель№7 Усечённый октаэдр

Модель№9
Усечённый икосаэдр

22. Модель№8 Усечённый гексаэдр (куб)

Модель№10
Усечённый додекаэдр
Гранями этого
многогранника
являются
правильные
треугольники и
десятиугольники.

23. Модель№9 Усечённый икосаэдр

Модель№11
Кубооктаэдр
Само название
многогранника указывает
на некую близость его к
кубу и к октаэдру. Такая
близость существует в
действительности. Шесть
квадратных граней этого
многогранника
принадлежат граням
некоторого куба, тогда
как восемь треугольных
граней принадлежат
граням октаэдра.

24. Модель№10 Усечённый додекаэдр

Модель№12
Икосододекаэдр
Икосододекаэдр,
подобно
кубооктаэдру,
являет собой
квазиправильный
комбинированный
многогранник.

25. Модель№11 Кубооктаэдр

Модель№13
Ромбокубооктаэдр
Название многогранника и на
этот раз объясняет его
происхождение. Множество
квадратных граней
ромбокубооктаэдра разбивается
на два подмножества

26. Модель№12 Икосододекаэдр

Модель№14
Ромбоикосододекаэдр
Эта модель
принадлежит к числу
наиболее
привлекательных
среди всех других
моделей архимедовых
тел.

27. Модель№13 Ромбокубооктаэдр

Модель№15
Ромбоусечённый кубооктаэдр
Этот многогранник,
известный также под
названием усечённого
кубооктаэдра

28. Модель№14 Ромбоикосододекаэдр

Модель№16
Ромбоусечённый икосододекаэдр
Этот многогранник
часто называют также
усечённым
додекаэдром.

29. Модель№15 Ромбоусечённый кубооктаэдр

Модель№17
Курносый куб
Этот многогранник можно
вписать в куб таким образом,
что плоскости шести
квадратных его граней
совпадут с плоскостями
граней куба, причём эти
квадратные грани курносого
куба окажутся как бы слегка
повёрнутыми по отношению
к соответственным граням
куба.

30. Модель№16 Ромбоусечённый икосододекаэдр

Модель№18
Курносый додекаэдр
Этот многогранник
находится в таком же
отношении к правильному
додекаэдру, в каком
курносый куб находится к
правильному гексаэдру
(кубу).

31. Модель№17 Курносый куб

32. Модель№18 Курносый додекаэдр

Модель№19
Звёздчатый октаэдр
(stella octangula Кеплера)
У октаэдра есть
только одна
звёздчатая форма. Её
можно рассматривать
как соединение двух
тетраэдров.

33.

Модель№20
Малый звёздчатый додекаэдр
Этот многогранник —
одно из тел Кеплера —
Пуансо.

34. Модель№19 Звёздчатый октаэдр (stella octangula Кеплера)

Модель№21
Большой додекаэдр
Этот многогранник
составлен из 12
пересекающихся
пятиугольных
граней.

35. Модель№20 Малый звёздчатый додекаэдр

Модель№22
Большой звёздчатый додекаэдр
Это последняя звёздчатая
форма правильного
додекаэдра. модель
многогранника можно
изготовить, подклеивая
треугольные пирамиды к
граням икосаэдра.

36. Модель№21 Большой додекаэдр

Модель№23
Соединение пяти октаэдров
Каждую грань этого
многогранника образуют
два равносторонних
треугольника,
расположенных так, как
показано на
фотографии.

37. Модель№22 Большой звёздчатый додекаэдр

Модель№24
Соединение пяти тетраэдров
Асимметричное и
скошенное
положение граней
этого многогранника
придаёт ему
необычайно
привлекательный
вид.

38. Модель№23 Соединение пяти октаэдров

Модель№25
Соединение десяти тетраэдров
Этот многогранник
представляет собой
комбинацию двух
энантиоморфных форм
соединения пяти
тетраэдров.

39. Модель№24 Соединение пяти тетраэдров

Модель№26
Первая звёздчатая форма икосаэдра
Эту модель делают из
20 частей, Каждая часть
представляет собой
невысокую треугольную
пирамиду без
основания.

40. Модель№25 Соединение десяти тетраэдров

Модель№27
Вторая звёздчатая форма икосаэдра
На этой очень красивой
модели заметны
пятигранные высокие
пики, выступающие из
впадин модели
соединения десяти
тетраэдров.

41. Модель№26 Первая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№28
Третья звёздчатая форма икосаэдра
Этот весьма простой
многогранник принадлежит
к семейству дельтаэдров.
Для дельтаэдров
характерно, что все их
грани представляют собой
равносторонние
треугольники

42. Модель№27 Вторая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№29
Четвёртая звёздчатая форма
икосаэдра
Как уже отмечалось, процесс
продолжения граней икосаэдра
ведёт к появлению десяти
различных типов отсеков,
служащих дополнением к
исходному телу. Модель одной из
звёздчатых форм можно построить
таким образом, что отсеки,
заготовки для которых показаны на
рисунке внизу справа, явятся как
бы связками между вершинами
некоторого многогранника.

43. Модель№28 Третья звёздчатая форма икосаэдра

Модель№30
Пятая звёздчатая форма икосаэдра
Многие звёздчатые формы
икосаэдра внешне очень похожи
на большой икосаэдр. Одна из
них особенно интересна: она
служит примером
многогранника, вершины
которого связаны только
отсеками. Треугольные
трафареты для этой модели
совпадают с трафаретами для
модели большого икосаэдра.

44. Модель№29 Четвёртая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№31
Шестая звёздчатая форма икосаэдра
На модели легко
обнаружить 12 длинных
пиков, выступающих из
впадин модели дельтаэдра
28.

45. Модель№30 Пятая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№32
Седьмая звёздчатая форма икосаэдра

46. Модель№31 Шестая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№33
Восьмая звёздчатая форма икосаэдра

47. Модель№32 Седьмая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№34
Девятая звёздчатая форма
икосаэдра
На рисунке вы легко узнаете
грань длинного пика
модели. В предыдущих
моделях пики были
несколько короче, но эта
состоит всего лишь из
двенадцати таких пиков.

48. Модель№33 Восьмая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№35
Десятая звёздчатая форма
икосаэдра
Дальнейшее продолжение
граней икосаэдра приводит к
появлению нового типа
отсеков — наклонных пиков.
Это единственный тип
отсеков, имеющих две
энантиоморфные
модификации; каждая из них
состоит из 60 коротких
трёхгранных пирамидок

49. Модель№34 Девятая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№36
Одиннадцатая звёздчатая форма
икосаэдра

50. Модель№35 Десятая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№37
Двенадцатая звёздчатая форма
икосаэдра

51. Модель№36 Одиннадцатая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№38
Тринадцатая звёздчатая форма
икосаэдра

52. Модель№37 Двенадцатая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№39
Четырнадцатая звёздчатая форма
икосаэдра
Этот многогранник, весьма
эффектный благодаря
оригинальным скошенным
граням, обладает обычной
симметрией додекаэдра,
подобно модели дельтаэдра
28, но характерен большими
пятиугольными отверстиями,
пронизывающими его насквозь
и оставляющими как бы
открытым изнутри.

53. Модель№38 Тринадцатая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№40
Пятнадцатая звёздчатая форма
икосаэдра
Многогранник
состоит из 60
небольших пиков,
расположенных так,
что нутро его
остаётся пустым и
видно сквозь узкие
щели.

54. Модель№39 Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№41
Большой икосаэдр
Из описанных до сих пор
многогранников, пожалуй,
самым красивым и
декоративным является
большой икосаэдр —
последний из четырёх
правильных звёздчатых
многогранников Кеплера —
Пуансо.

55. Модель№40 Пятнадцатая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№42
Завершающая звёздчатая форма
икосаэдра
Показанный на фотографии
многогранник —
завершающая звёздчатая
форма икосаэдра. Модель
как бы ощетинена иглами,
группирующимися по пять в
красивые и отчётливо
заметные гроздья. Вся
модель состоит из 12 таких
гроздьев.

56. Модель№41 Большой икосаэдр

Модель№43
Соединение куба и октаэдра
Первой звёздчатой формой
кубооктаэдра является
соединение куба и октаэдра.
Если воспользоваться
разноцветными заготовками,
то получится весьма
интересная модель. Части
куба можно раскрасить тремя
красками, а части октаэдра
— двумя другими.

57. Модель№42 Завершающая звёздчатая форма икосаэдра

Модель№44
Вторая звёздчатая форма
кубооктаэдра
Этот многогранник
является следующей
звёздчатой формой
кубооктаэдра. Он
образован из
соединения куба и
октаэдра
добавлением 24
бипирамид.

58. Модель№43 Соединение куба и октаэдра

Модель№45
Третья звёздчатая форма
кубооктаэдра
Этот многогранник весьма интересен по
двум причинам. Во-первых, на его модели
ясно заметно расположение квадратных
граней: они группируются в пары таким
образом, что грани каждой из них
параллельны между собой и
перпендикулярны к остальным подобным
граням. Во-вторых, многогранник
представляет собой своего рода соединение
шести четырёхугольных пирамид,
основаниями которых служат описанные
выше квадраты, а боковые треугольные
грани «вдавлены» в тело и касаются своими
вершинами средних точек противоположных
углублений.

59. Модель№44 Вторая звёздчатая форма кубооктаэдра

Модель№46
Завершающая звёздчатая форма
кубооктаэдра
Итоговая звёздчатая форма
кубооктаэдра особенно привлекает
тем, что она является соединением
двух тетраэдров, Кеплеровой stella
octangula, итоговой звёздчатой
формы октаэдра и трёх правильных
четырёхугольных призм, общим
пересечением которых является
исходный куб. Каждое основание
этих призм представляет собой
глубокую впадину, образованную
четырьмя рёбрами.

60. Модель№45 Третья звёздчатая форма кубооктаэдра

Модель№47
Первая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Этот многогранник являет
собой пример соединения
двух платоновых тел —
додекаэдра и икосаэдра;
его можно также
рассматривать как первую
звёздчатую форму
икосододекаэдра.

61. Модель№46 Завершающая звёздчатая форма кубооктаэдра

Модель№48
Вторая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Этот многогранник — вторая
звёздчатая форма
икосододекаэдра,
принадлежащая упомянутой
выше «основной линии». Он
связан с малым звёздчатым
додекаэдром и является по
существу своеобразным
усечённым вариантом этого
правильного многогранника.

62. Модель№47 Первая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№49
Третья звёздчатая форма
икосододекаэдра
Многогранник является
третьей звёздчатой формой
на «основной линии»
икосододекаэдров.
Любопытно, что одну из
его граней составляет
правильный пятиугольник,
тогда как все остальные
грани неправильные.

63. Модель№48 Вторая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№50
Четвёртая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Многогранник
представляет собой
соединение малого
звёздчатого додекаэдра и
икосаэдра модели 26,
которые являются
первыми звёздчатыми
формами додекаэдра и
икосаэдра
соответственно.

64. Модель№49 Третья звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№51
Пятая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Многогранник устроен
так: малый звёздчатый
додекаэдр как бы
пронизывает
соединение пяти
октаэдров

65. Модель№50 Четвёртая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№52
Шестая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Звёздчатая грань этого
многогранника,
лежащая в одной
плоскости с любой из
12 граней додекаэдра,
состоит из двух
правильных
пентаграмм; бóльшая
из них принадлежит
грани малого
звёздчатого
додекаэдра.

66. Модель№51 Пятая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№53
Седьмая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Многогранник представляет
собой соединение большого
додекаэдра — второй звёздчатой
формы додекаэдра — и
многогранника 32 — одной из
звёздчатых форм икосаэдра.

67. Модель№52 Шестая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№54
Восьмая звёздчатая форма
икосододекаэдра
В этом многограннике
легко распознать
соединение пяти
тетраэдров, пронизанное
большим додекаэдром.
Вершины последнего
выглядят как маленькие
розетки в центрах впадин
соединения.

68. Модель№53 Седьмая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№55
Девятая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Многогранник представляет
собой соединение 10
тетраэдров, на котором «тень»
большого додекаэдра оставила
следы в виде отверстий на
дне впадин; из-за этого нутро
многогранника становится
видимым и доступным.

69. Модель№54 Восьмая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№56
Десятая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Этот простой многогранник
внешне напоминает дельтаэдр
28 — одну из звёздчатых форм
икосаэдра. Но в данном случае
отверстия в центрах впадин
дельтаэдра, через которые
видно нутро тела, обязаны
своим происхождением малому
звёздчатому додекаэдру

70. Модель№55 Девятая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№57
Одиннадцатая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Этот многогранник
представляет особый
интерес благодаря
удивительному
сходству с одним из
однородных тел.

71. Модель№56 Десятая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№58
Двенадцатая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Как можно судить по
фотографии, этот многогранник
весьма привлекателен. Он
образован
взаимопроникновением двух
тел — усечённой формы
большого звёздчатого
додекаэдра и дельтаэдра

72. Модель№57 Одиннадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№59
Тринадцатая звёздчатая форма
икосододекаэдра
В этой модели большой
звёздчатый додекаэдр пронизан
телом одного из звёздчатых
икосаэдров. Поэтому 12 и 20
вершинных пиков кажутся как
бы выступающими из
основного ядра модели.

73. Модель№58 Двенадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№60
Четырнадцатая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Этот многогранник представляет
собой соединение большого
звёздчатого додекаэдра с
усечённой формой большого
икосаэдра (усечение последнего
производится путём удаления
части его внешних отсеков). В
результате соединения
получается «колючее» тело,
чем-то напоминающее морского
ежа.

74. Модель№59 Тринадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№61
Соединение большого звёздчатого
додекаэдра и большого икосаэдра
По-видимому, самыми
впечатляющими из всех
многогранников следует
считать правильные
звёздчатые тела — большой
звёздчатый додекаэдр и
большой икосаэдр.
Показанный на фотографии
многогранник представляет
собой соединение этих двух
тел, являющееся
одновременно звёздчатой
формой икосододекаэдра.

75. Модель№60 Четырнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№62
Пятнадцатая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Этот многогранник замечателен
своим совершенным сходством с
однородным многогранником 95,
который нам ещё предстоит
рассмотреть. Но в отличие от
модели 95 наш многогранник не
является однородным, ибо его
шестиугольные звёздчатые грани
отличаются от правильных, а
пятиугольные — неполны, так как
у них отсечены вершины. Чертежи
помогут вам понять, как следовало
бы видоизменить многогранник,
чтобы он стал однородным.

76. Модель№61 Соединение большого звёздчатого додекаэдра и большого икосаэдра

Многогранники вокруг нас
Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания
биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может
быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить
его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет
под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что
только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его
геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют
экономить генетическую информацию. Правильные многогранники
- самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.
Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму
правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов
поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых
квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл
сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьмянистый
сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные
многогранники определяют форму кристаллических решеток
некоторых химических веществ.

77. Модель№62 Пятнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра

Литография «Водопад»
В центре картины расположен комплекс конструкций
поднимающийся на фоне ландшафта с террасами
Вертикальная ось создается двумя мощными башнями,
каждая из которых увенчана остроганными
многогранниками (слева - три пересекающиеся куба, а
справа также три пересекающихся правильных октаэдра).
Маленькие домики примыкают к башням слева и справа в
едином комплексе. Слева на первом плане картины
изображен маленький садик со странными, необычными
подводными растениями. Центральным действием
картины является ручей, который падает на колесо и
крутит его. Он течет слегка полого вниз и извивается,
проход я через башни, при этом он трижды протекает
через точку, в которой уже проходил. Как и в конструкции
Вельведера абсурдность доходит до нас через "круг"
неправильных соединений куба. В результате невольного
восприятия зрительная точка оказывается самой ближней,
а самая высокая точка становится самой низкой. Таким
образом водопад на картине осуществляет то, что мы
считаем невозможным - вечное движение.

78. Многогранники вокруг нас

79.

Модель№63
Шестнадцатая звёздчатая форма
икосододекаэдра
В некоторых звёздчатых
икосаэдрах вершины
связываются друг с другом
лишь отсеками или
соединениями отсеков.
Благодаря этому получаются
открытые, «воздушные»
модели. Для построения
подобных моделей подходят
и отсеки, получаемые при
продолжении граней
икосододекаэдра.

80.

Модель№64
Семнадцатая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Этот многогранник тесно связан с
соединением большого звёздчатого
додекаэдра и большого икосаэдра
(модель 61). Он может быть
получен в результате удаления из
тела соединения большого
икосаэдра, «следы» которого
остаются в виде внутренних граней
многогранника. Но для того чтобы
получить остающиеся отсеки
большого звёздчатого додекаэдра,
которые связывали бы вершины
многогранника, следует закрыть
ромбические грани этих отсеков.

81. Модель№63 Шестнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№65
Восемнадцатая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Отверстия в теле многогранника и
структура его внутренней поверхности
— это следы, оставленные в большом
икосаэдре после удаления большого
звёздчатого додекаэдра.
Десятиугольную звёздчатую грань,
представляющую собой усечённую
пентаграмму, которая столь заметна
на приведённом чертеже, по существу
на многограннике обнаружить нельзя,
ибо взгляд постоянно задерживается
на внешних треугольных гранях. И
лишь тщательное изучение
подсказывает истинное строение
внутренней поверхности.

82. Модель№64 Семнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№66
Завершающая звёздчатая форма
икосододекаэдра
Завершающие звёздчатые формы
любых многогранников всегда
вызывают особый интерес. Перед
нами завершающая звёздчатая форма
икосододекаэдра. Не правда ли,
чем-то она напоминает вспышку
фейерверка, когда из одной точки в
разных направлениях разлетаются
огненные звёзды и путь их ясно
виден на фоне ночного неба. Но
никакой фейерверк не сможет
передать удивительной
упорядоченности и математической
точности этого многогранника, лучи
которого чётко группируются в 12
заметных «короноидальных» групп.

83. Модель№65 Восемнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№67
Тетрагемигексаэдр
В этом простом многограннике
легко узнать огранённую форму
октаэдра. Топологически он
представляет собой известный
односторонний гептаэдр
(семигранник), гомеоморфный
односторонней поверхности,
носящей имя Штейнера В этом
многограннике три
экваториальных квадрата лежат в
трёх взаимно перпендикулярных
плоскостях, причём каждый
квадрат имеет общие рёбра с
четырьмя треугольниками.

84. Модель№66 Завершающая звёздчатая форма икосододекаэдра

Модель№68
Октагемиоктаэдр
Этот многогранник
представляет собой
огранённый кубооктаэдр.
Иногда его называют также
октатетраэдром. Четыре
экваториальные
шестиугольные грани
многогранника имеют общие
рёбра с восемью
треугольными гранями

85. Модель№67 Тетрагемигексаэдр

Модель№69
Малый кубокубооктаэдр
Этот многогранник получен в
результате огранки
ромбокубооктаэдра. Его
квадратные грани лежат на
плоскостях граней куба,
восьмиугольные — на
параллельных им плоскостях за
квадратами, а треугольные
грани совпадают с
треугольными гранями
ромбокубооктаэдра.

86. Модель№68 Октагемиоктаэдр

Модель№70
Малый битригональный
икосододекаэдр
Этот многогранник состоит из 12
пентаграмм на гранях додекаэдра
и 20 треугольников на гранях
икосаэдра. Как легко заметить,
вблизи каждой вершины грани
встречаются тройками в
чередующемся порядке. Поэтому
многогранник и называется
битригональным
икосододекаэдром.

87. Модель№69 Малый кубокубооктаэдр

Модель№71
Малый икосоикосододекаэдр
Гранями многогранника
служат 20
треугольников, 20
шестиугольников и 12
пятиконечных звёзд,
причём треугольники
располагаются
параллельно
шестиугольникам и над
ними.

88. Модель№70 Малый битригональный икосододекаэдр

Модель№72
Малый додекоикосододекаэдр
Этот многогранник легко
распознать как огранённую
форму
ромбоикосододекаэдра. Для
его пятиугольных и
десятиугольных
параллельных граней
подходит шестицветная
додекаэдральная раскраска.

89. Модель№71 Малый икосоикосододекаэдр

Модель№73
Додекододекаэдр
Этот многогранник
содержит 12 звёзд на
гранях додекаэдра, а
на параллельных
плоскостях под
звёздами находятся 12
пятиугольных граней,
каждая из которых
имеет общие рёбра с
пятью пересекающими
её звёздами.

90. Модель№72 Малый додекоикосододекаэдр

Модель№74
Малый ромбододекаэдр
Этот многогранник также получен
из ромбоикосододекаэдра.
Пятиугольные грани последнего
удалены, и их место заняли
неглубокие чаши, пятиугольные
донца которых лежат на
десятиугольных гранях тела.
Удалены также треугольные
грани: их заменили небольшие
выемки, и грани выемок опятьтаки лежат на десятиугольных
гранях тела. На прежних местах
остались только квадраты.

91. Модель№73 Додекододекаэдр

Модель№75
Усечённый большой додекаэдр

92. Модель№74 Малый ромбододекаэдр

Модель№76
Ромбододекододекаэдр
Этот красивый,
почти
шарообразный
многогранник,
очень
напоминает
пляжный
резиновый мяч.

93. Модель№75 Усечённый большой додекаэдр

Модель№77
Большой кубокубооктаэдр
Этот многогранник
представляет собой
огранённый куб. Каждая
восьмиугольная звезда
лежит на гранях
окружающего его
воображаемого куба
Промежутки между лучами
каждой звезды заполнены
желобками и выемками,
чередующимися между
собой.

94. Модель№76 Ромбододекододекаэдр

Модель№78
Кубогемиоктаэдр
Этот многогранник
служит примером
другой огранки
кубооктаэдра

95. Модель№77 Большой кубокубооктаэдр

Модель№79
Кубооктоусечённый кубооктаэдр
Этот многогранник
есть не что иное, как
огранённый октаэдр.
Двугранные желобки
между лучами звёзд
образованы частями
шестиугольных
граней.

96. Модель№78 Кубогемиоктаэдр

Модель№80
Битригональный додекаэдр
Этот многогранник
особенно интересен
своей тесной связью с
большим звёздчатым
додекаэдром.
Описание этой связи
достаточно сложное,
но после завершения
работы над моделью
она станет для вас
почти очевидной.

97. Модель№79 Кубооктоусечённый кубооктаэдр

Модель№81
Большой битригональный
додекоикосододекаэдр
Показанный на
фотографии
многогранник
относится к
семейству
икосододекаэдров.

98. Модель№80 Битригональный додекаэдр

Модель№82
Малый битригональный
додекоикосододекаэдр
Возможно, это один из самых
замечательных многогранников,
ибо, хотя он и имеет
непосредственное отношение к
звёздчатым додекаэдрам, его
сумели найти только в текущем
столетии, а первая публикация
об этом появилась в 1954 году
[18]. Трудно представить себе,
почему он не был открыт ранее.
Впрочем, и сами звёздчатые
додекаэдры не были известны
до Кеплера.

99.

Модель№83
Икосододекододекаэдр
Этот многогранник во многом
схож с моделью 76, с той
лишь разницей, что роль
квадратных граней берут на
себя шестиугольные. Это
меняет очертания выемок и
придаёт модели большую
красоту, а также
дополнительную жёсткость.

100. Модель№82 Малый битригональный додекоикосододекаэдр

Модель№84
Икосододекоусечённый
икосододекаэдр
Изображённый на фотографии
многогранник относится к семейству
икосаэдра в том же смысле, в каком
многогранник 79 входил в семейство
октаэдра. Поэтому и технология
изготовления его модели та же.
Чтобы построить модель, надо
вклеить попеременно между лучами
десятиугольных звёзд (декаграмм)
заранее подготовленные в
соответствии с приведённой схемой
раскраски мелкие треугольные части
и двугранные желобки.

101. Модель№83 Икосододекододекаэдр

Модель№85
Квазиромбокубооктаэдр
Этот многогранник во многом
сходен с моделью 77
Восьмиугольные звёздчатые
грани этой модели в нашем
случае изымаются полностью,
остаются только их рёбра.
Вместо граней появляются
глубокие выемки и впадины.
Многогранник содержит два
типа пересекающихся
квадратных граней.

102. Модель№84 Икосододекоусечённый икосододекаэдр

Модель№86
Малый ромбогексаэдр
Этот многогранник представляет
собой иной вариант огранки
ромбокубооктаэдра, весьма
напоминающий модель 69.
Вообразите, что треугольные и
квадратные грани модели 69
удалены, а все выемки закрыты
новыми квадратами — перед вами
искомый многогранник.

103. Модель№85 Квазиромбокубооктаэдр

Модель№87
Большой битригональный
икосододекаэдр
Этот многогранник, как и
многогранник 70, — битригональный
икосододекаэдр, но в отличие от
модели 70 пентаграммы отсутствуют.
Их заменяют параллельные им
пятиугольные грани, проходящие
через центр тела. Внешними частями
20 треугольных граней модели
являются равносторонние
треугольники двух размеров, внешние
части 12 пятиугольных граней —
равнобедренные треугольники, углы
при основании которых имеют 72° и
36°.

104. Модель№86 Малый ромбогексаэдр

Модель№88
Большой икосоикосододекаэдр
Этот многогранник связан с
моделью 81. Их отличие
сводится к тому, что
десятиугольные звёзды модели
81 здесь удалены, хотя их рёбра
сохраняются. Добавление
шестиугольных граней привело к
появлению сложноогранённой
поверхности на месте плоскости
каждой прежней звезды. К тому
же поверхность эта весьма
замысловата.

105. Модель№87 Большой битригональный икосододекаэдр

Модель№89
Малый икосогемидодекаэдр
Как и модель 91, эта модель
представляет собой
огранённую форму
икосододекаэдра.
Десятиугольные сечения
проходят непосредственно
через центр тела в его
экваториальных плоскостях.
Поверхность многогранника
содержит глубокие
пятигранные выемки —
пирамиды «наизнанку»,
вершины которых сходятся в
центре тела.

106. Модель№88 Большой икосоикосододекаэдр

Модель№90
Малый додекоикосаэдр
Как и в случае многогранника
82, публикация об этом
многограннике впервые
появилась лишь в 1954 году
[18]. На его поверхности мы
видим огранённые звёзды,
образованные пересечениями
всего двух имеющихся типов
граней: шестиугольников и
десятиугольников.

107. Модель№89 Малый икосогемидодекаэдр

Модель№91
Малый додекогемидодекаэдр
Выше уже упоминались
отношения, в которых
находится этот многогранник
к модели 89 и к
икосододекаэдру.
Треугольные отверстия на его
поверхности закрыты
выемками — трёхгранными
пирамидами с вершинами в
центре тела.

108. Модель№90 Малый додекоикосаэдр

Модель№92
Квазиусечённый гексаэдр
Многогранник представляет
собой квазиусечённый куб.
Шесть его октаграммы
лежат на гранях
внутреннего куба. Они
имеют общие рёбра с
восемью треугольными
гранями, пересекающими
куб.

109. Модель№91 Малый додекогемидодекаэдр

Модель№93
Квазиусечённый кубооктаэдр
Шесть октаграммы этого
многогранника лежат на гранях
правильного гексаэдра. 12
квадратных граней пересекаются по
три, формируя края 8 трёхгранных
впадин, глубоко проникающих в
нутро тела. Боковые грани и
основания впадин образованы
пересечением шестиугольных граней
тела. По этой причине боковые
грани впадин совпадают с гранями
усечённой stella octangula, а
основания лежат на поверхности
внутреннего правильного октаэдра.

110. Модель№92 Квазиусечённый гексаэдр

Модель№94
Большой икосододекаэдр
Изображённый на фотографии
многогранник называется
большим икосододекаэдром,
поскольку 20 его треугольных
и 12 звёздчатых пятиугольных
граней лежат на подобных им
гранях икосододекаэдра, но
вместе с тем он не является
звёздчатой формой
икосододекаэдра.

111. Модель№93 Квазиусечённый кубооктаэдр

Модель№95
Усеченный большой икосаэдр
Многогранник представляет
собой усечённый вариант
большого икосаэдра 41,
поэтому для построения можно
воспользоваться раскраской
последнего. В этом
многограннике место
треугольных граней занимают
шестиугольные и метод
соединения частей модель
существенно не меняется.

112. Модель№94 Большой икосододекаэдр

Модель№96
Ромбоикосаэдр
Рассматриваемый многогранник тесно
связан с моделями 76 и 83. Все они
содержат одно и то же множество из
30 пересекающихся скошенных
квадратов, образующих экваториальные
пояса. Но в данном случае
шестиугольные грани занимают место
пятиугольных, так что плоские звёзды
становятся огранёнными. Кроме того,
прямо над средними частями
квадратных граней появляются
неглубокие чаши, дно которых лежит
на этих же гранях, а боковые грани,
глубоко уходящие в тело
многогранника, образованы четырьмя
шестиугольными гранями.

113. Модель№95 Усеченный большой икосаэдр

Модель№97
Квазиусечённый звёздчатый
додекаэдр
Этот многогранник
представляет собой
квазиусечённую форму
малого звёздчатого
додекаэдра.

114. Модель№96 Ромбоикосаэдр

Модель№98
Квазиусечённый додекаэдр
Этот многогранник находится в
том же отношении к большому
звёздчатому додекаэдру, что и
модель 93 к звёздчатому октаэдру.
В данном случае октаграммы
заменены декаграммами. В
отличие от 12 квадратных граней
в модели 93 в нашем
многограннике 30 квадратных
граней, пересекающихся по три.
Эти пересечения формируют края
20 трёхгранных выемок, глубоко
проникающих в тело модели.
Грани выемок образуются
пересечением десятиугольных
граней.

115. Модель№97 Квазиусечённый звёздчатый додекаэдр

Модель№99
Большой додекоикосододекаэдр
Эта модель особенно хороша в
цвете благодаря легко
различимым чеканным
телесным звёздам,
выступающим из
десятиугольных звёздчатых
граней. Её легко построить,
придерживаясь обычной
техники соединения частей.
Гранями части I служат
заготовки, форма которых
напоминает нашивки на
погонах.

116. Модель№98 Квазиусечённый додекаэдр

Модель№100
Малый додекогемиикосаэдр
Поверхность этого многогранника
составляют 12 пентаграмм,
лежащих в гранях додекаэдра, и 10
экваториальных шестиугольных
граней, центры которых совпадают
с центром тела. Модель связана с
моделью 73, выемки которой на
сей раз заменяются глубокими
шестиугольными впадинами —
пирамидами «наизнанку». Эти
впадины можно рассматривать как
12 вершинных частей большого
икосаэдра, вывернутых наизнанку и
вдавленных в тело модели.

117. Модель№99 Большой додекоикосододекаэдр

Модель№101
Большой додекоикосаэдр
Этот многогранник во всём
подобен модели 81, за
исключением того, что
выемки и желобки
последнего заменены здесь
более глубокими
девятигранными и
четырёхгранными
выемками.

118. Модель№100 Малый додекогемиикосаэдр

Модель№102
Большой додекогемиикосаэдр
Рассматриваемый
многогранник представляет
собой огранённый вариант
додекододекаэдр.
Поверхности огранённых звёзд
образованы пересечением
пятиугольных и
шестиугольных граней, легко
различимых на модели.

119. Модель№101 Большой додекоикосаэдр

Модель№103
Большой ромбогексаэдр
Этот многогранник имеет
прямое отношение к модели
77, но четырёхгранные
выемки и двугранные
желобки многогранника 77 в
нём заменены более
глубокими девятигранными
чашами и четырёхгранными
желобками.

120. Модель№102 Большой додекогемиикосаэдр

Модель№104
Квазиусечённый большой звёздчатый
додекаэдр
Этот многогранник представляет
собой квазиусечённый вариант
большого звёздчатого додекаэдра.
Лучи последнего в этом случае
отсекаются почти у самого их
основания плоскостями
треугольных граней, так что
звёздчатые пятиугольные грани
становятся десятиугольными. В
итоге части секущих граней
образуют трёхгранные выемки,
сверху замыкающие усечённые
пирамиды.

121. Модель№103 Большой ромбогексаэдр

Модель№105
Квазиромбоикосододекаэдр
Этот многогранник очень похож
на модель 99 с той лишь
разницей, что десятиугольные
звёздчатые грани последней
здесь заменены причудливым
переплетением пересекающихся
плоскостей. Благодаря такому
переплетению появляется
удивительно интересная
структура огранки. Изготовление
модели займёт около 30 часов.

122. Модель№104 Квазиусечённый большой звёздчатый додекаэдр

Модель№106
Большой икосогемидодекаэдр
Рассматриваемый многогранник
непосредственно связан с моделью
94. И на этой модели можно
увидеть пятигранные чаши или
розетки модели 94, только здесь
пятиугольные грани уступают место
экваториальным декаграммам,
части, которых образуют глубокие
выемки. Гранями выемок и являются
лучи декаграмм. Такая конструкция
многогранника подсказывает способ
построения его модели.

123. Модель№105 Квазиромбоикосододекаэдр

Модель№107
Большой додекогемидодекаэдр
Этот многогранник сродни как
модели 94, так и модели 106.
Его конструкция очень проста, а
полученная модель будет
достаточно прочной. Прочность
достигается за счёт
своеобразного расположения
граней многогранника: его
десятиугольные звёздчатые грани
лежат в экваториальных
плоскостях параллельно двум
противоположным пятиугольным
звёздчатым граням.

124. Модель№106 Большой икосогемидодекаэдр

Модель№108
Большой квазиусечённый
икосододекаэдр
Изображённый на фотографии
многогранник состоит из очень
большого числа частей, так что
на модели обычных размеров
некоторые из них, скажем
огранённые звёзды, будут очень
малы. Поэтому полной
раскраской всех частей модели
можно пренебречь; к тому же
она слишком трудоёмка.

125. Модель№107 Большой додекогемидодекаэдр

Модель№109
Большой ромбододекаэдр
Десятиугольные грани этого
многогранника совпадают с
гранями модели 99, но вместо
пятиугольных и треугольных
граней в нём имеются только
квадратные грани. Поэтому там,
где на модели 99 были сдвоенные
лучи звезды и розетки, у него
глубокие выемки, образованные
пересечением квадратных граней.

126. Модель№108 Большой квазиусечённый икосододекаэдр

Модель№110
Малый курносый икосододекаэдр
Это первая из моделей невыпуклых
курносых многогранников, и её легче
всего построить. 20 пар
равносторонних треугольников
рассекают грани исходного
икосаэдра, образуя 20 шестиугольных
звёзд. Звезды не являются
правильными, как должно быть в
однородном многограннике, хотя и
получены пересечением правильных
треугольников. 12 пентаграмм
полностью окружены другим набором
треугольников, включающим в себя
60 треугольников. Такая конструкция
подсказывает простой способ
изготовления модели.

127. Модель№109 Большой ромбододекаэдр

Модель№111
Курносый додекододекаэдр
Этот многогранник имеет 12
пятиугольных звёзд,
расположенных в параллельных
плоскостях над плоскостями
пятиугольных граней, что очень
сближает его с моделью 73. Но в
данном случае пентаграммы
имеют общие рёбра с 60
равносторонними треугольниками,
что приводит к появлению
«курносости».

128. Модель№110 Малый курносый икосододекаэдр

Модель№112
Курносый икосододекододекаэдр
Как и в модели 111,
пятиугольные звёздчатые грани
этого многогранника лежат в
плоскостях, параллельных
плоскостям пятиугольных граней,
но теперь пентаграммы повёрнуты
относительно пятиугольников.
Благодаря этому освобождается
место ещё для 20 треугольников в
дополнение к 60 треугольникам,
имеющим общие с пентаграммами
рёбра.

129. Модель№111 Курносый додекододекаэдр

Модель№113
Большой вывернутый курносый
икосододекаэдр
Этот многогранник служит ещё
одним примером курносого
тела, модель которого
сравнительно легко построить.
Это объясняется тем, что вся
конструкция образована
повторением одних и тех же
вершинных частей, поскольку
все вершинные фигуры
многогранника одинаковы.
Модель изготавливают
непосредственным соединением
этих заранее выполняемых
частей.

130. Модель№112 Курносый икосододекододекаэдр

Модель№114
Вывернутый курносый
додекододекаэдр
У этого многогранника есть
интересная особенность: лучи его
пентаграмм как бы слегка
подрезаны плоскостями граней
пятиугольников и одного набора
треугольников. В связи с этим
конструкция тела вблизи его
вершин значительно усложняется.
Пятиугольные грани лежат в
плоскостях, параллельных
плоскостям пентаграмм, но на
значительном от них удалении —
практически рядом с
экваториальной плоскостью
многогранника.

131. Модель№113 Большой вывернутый курносый икосододекаэдр

Модель№115
Большой курносый
додекоикосододекаэдр
Характерной чертой этого
многогранника является
наличие сдвоенных
пентаграмм, лежащих в одной
плоскости. Нечто подобное мы
обнаружим позже в модели
119. В рассматриваемой же
модели мы видим
специфически «курносое»
чередование впадин, уже
отмеченное в модели 113.

132. Модель№114 Вывернутый курносый додекододекаэдр

Модель№116
Большой курносый икосододекаэдр
В этом многограннике содержатся очень
маленькие элементы поверхности,
которые, хотя формально и являются
видимыми снаружи частями его граней,
всё же настолько малы, что не отмечены
на наших чертежах этих граней. Модели
свойственны многие характерные черты
уже рассмотренного многогранника 115:
здесь вы вновь найдёте 12 пятигранных
впадин и 60 многогранных вершин.
Однако вместо сдвоенных пентаграмм
модели 115 в этой модели лишь одна
пентаграмма, пересекающая другие
грани обычным икосаэдоальным
способом. Сходство с предыдущей
моделью подсказывает нам способ
соединения частей: он будет
аналогичным.

133. Модель№115 Большой курносый додекоикосододекаэдр

Модель№117
Большой вывернутый
обратнокурносый икосододекаэдр
Этот многогранник поистине
замечателен своей сложностью.
Глубокие пятигранные чаши на его
поверхности перекрываются низко
расположенными десятизвёздными
розетками, загораживающими
сужающиеся книзу грани чаши. Чаши
образованы, казалось бы, совершенно
невероятными гранями многогранника,
которые кажутся фантастически
запутанными. В многограннике пары
треугольных граней пересекаются над
центральными частями пентаграмм. Это
пересечение порождает весьма
стройные пикообразные клинья,
вершины которых совпадают с
вершинами пентаграмм.

134. Модель№116 Большой курносый икосододекаэдр

Модель№118
Малый вывернутый
обратнокурносый
икосоикосододекаэдр
Этот сложный многогранник
имеет одно общее свойство с
рассмотренной выше
моделью 110: как легко
заметить из чертежей его
граней, он обладает
плоскостями симметрии.
Однако по сравнению с
моделью 110 построение
этой модели сопряжено с
большими трудностями

135. Модель№117 Большой вывернутый обратнокурносый икосододекаэдр

Модель№119
Большой биромбоикосододекаэдр
Этот многогранник
замечателен по
нескольким причинам.
Прежде всего
математически он
отличается от всех других
известных нам
однородных
многогранников.

136. Модель№118 Малый вывернутый обратнокурносый икосоикосододекаэдр

137. Модель№119 Большой биромбоикосододекаэдр

Задача№1
Определить видимость ребер
пирамиды ABCS и построить
недостающую проекцию линии m
лежащей на её поверхности.
Задача№2
Построить наложенное сечение
призмы фронтально проецирующей
плоскостью .

138.

Задача№3
Определить видимость ребер
пирамиды ABCS, найти точки
пересечения прямой линии m с
пирамидой и определить видимость
прямой.
Задача№4
Построить линию пересечения
пирамиды и призмы.

139.

1. Чанышев А.Н. Курс лекция по древней и
средневековой философии: Учеб. Пособие
для вузов. – М.: Высш. шк., 1991. – 512 с.
2. Адамар Ж., Элементарная геометрия, ч. 2,
М., Учпедгиз, 1958, гл. III Дополнений к
ч. 2 и Прибавление F.
3. Ашкинузе В. Г., Многоугольники и
многогранники. Энциклопедия элементарной
математики, кн. IV (Геометрия), М.,
Физматгиз, 1963, стр. 382—447.
4. Александров А. Д., Выпуклые
многогранники, М.—Л., Гостехиздат, 1950.