Grigorenko-MIFI-Lecture-5-1

1.

Леонид Григоренко
Лаборатория Ядерных Реакций
им. Г.Н. Флерова, ОИЯИ, Дубна
Ядерная физика
Лекция 5. Непрерывный спектр.
1. Сечения реакций.
2. Волновые функции непрерывного спектра.
3. Однородное уравнение Шредингера. S-матричное представление.
4. Рассеяние в Кулоновском поле.
5. Неоднородное уравнение Шредингера. Представление распада.
6. Функция Грина непрерывного спектра.
7. Уравнение Липмана-Швингера и Т-матрица.
8. Теория эффективного радиуса.
9. Упругое рассеяние и резонансное рассеяние.
МИФИ, весна 2026

2.

Nuclear reactions
Reactions and decays: no other way to look
inside nucleus
Alpha decay (alpha radioactivity). Nuclear
fission. Basics of the quantum physics
Elastic scattering A(B,B)A
Inelastic scattering A(B,B’)A
Dissociation reactions
Coulex
Resonance scattering
Compound nucleus theory (Bohr)
Deep inelastic reactions
Direct reactions
Direct transfer reactions
Knockout
Quasi-free scattering
Fragmentation reactions
Induced fission reactions
Fusion (evaporation) reactions
………………………………
Information from decays vs.
information from reactions
Тонкая структура альфа-распадов
(«скоростные группы» альфа-частиц)
Бинарное деление —
тройное деление —
кластерная радиоактивность

3.

Сечения реакций
«Отче наш»:
Differential of the cross section is
differential of the outgoing flux
divided by incoming flux density
Обратить внимание на разницу
s(E)
полное сечение
ds (E) /d(cosq ) диффер. сечение
ds (E) /dW
диффер. сечение
ds (E,E’) /d E’ «силовая функция»
Flux: number of
particles per unit
time.
Flux density number
of particles per unit
time per unit square

4.

Сечение на
твердой сфере из
определения
Сколько реально летит частиц
в угловой диапазон dq
Задача
Классическое сечение
— чистая геометрия
Классическое дифференциальное сечение рассеяния на
твердом эллипсоиде c полуосями {Rr,Rz}.

5.

Упругое рассеяние

6.

Упругое рассеяние 2

7.

Упругое рассеяние 3
Обратите внимание
на (k’,k) вместо (k,r)

8.

Упругое рассеяние 4

9.

Упругое рассеяние 5

10.

Задача
Рассчитать отношение квантового сечение рассеяния на твердой сфере (r0 = 3 fm, приведенная
масса равна массе нейтрона) к классическому при при E = 0.1, 1, 10, 100,1000, 10000 МэВ.
Определить сходимость по угловому моменту lmax – при каком lmax достигается точность скажем
лучше чем 1% по сечению для каждой энергии.
При E = 0.1, 1, 10, 100, 1000, 10000 MeV построить отношения дифференциального квантового
сечения рассеяния к классическому [ds/dx]/[dsclass/dx], x = cosq. Определить сходимость по
угловому моменту lmax для каждой энергии (визуальный контроль).
Сравнить дифференциальные классическое, квантовомеханическое и эйкональное сечения при
каждой энергии.
На твердой сфере
Низкоэнергетический предел в
4 раза больше классики

11.

ВФ непрерывного спектра

12.

ВФ непрерывного спектра со спином

13.

Теория эффективного радиуса
l=0
s(E) ~ 4p / k2 (1+ctg2(d)) -1
k ctg(d) ~ - 1 / a
s(E ~ 0) ~ 4p a2
k ctg(d) ~ - 1 /a + k2 r0 /2
s(E ~ 0) ~ 4p a2 / (1 - k2(r0/a-1) ) ~ 4p a2 / (1 - cE)
y (r) ~ Exp(- gr)
r0 = 2(ga-1) / g2a

14.

Уравнение Липмана-Швингера и
функция Грина в сферических координатах

15.

Амплитуда рассеяния и Т-матрица из ФГ

16.

Амплитуда рассеяния и Т-матрица из ФГ
Какой смысл?
Почти никакого
пока мы не
начали рассматривать
Более сложные реакции
Выражение как бы
пертурбативного вида
И намекает как строить
теорию возмущений в
непрерывном спектре

17.

Общий вид Т-матрицы в 3D

18.

Эйкональное приближение
Факторизация решения на быструю и медленную
компоненты. Функция F – медленная
Далеко слева у нас
чистая плоская волна
Разделением
переменных
T-матрица, слева плоская волна,
справа «настоящая» рассеянная
волна
В приближение малых углов при взятии по
частям по z остается только полная производная
Диффракция Фраунгофера

19.

Обобщение для произвольного сечения

20.

Нормировка ВФ непрерывного спектра

21.

Пороговое поведение сечений
s(E) ~ v’/v |T(k’,k)|2
Упругое сечение
s(E) ~ |T(k,k)|2 ~ k 4l ~ E 2l
Неупругое сечение. Эндотермическая реакция
s(E) ~ v’|T(k’,k)|2 ~ k 2l + 1 ~ E l + 1/2
Неупругое сечение. Экзотермическая реакция
s(E) ~ 1/v ~ k -1 ~ E -1/2
Пороговые аномалии

22.

Пример порогового поведения сечений

23.

Изотопическая симметрия и каналовые функции
Нарушение изотопической симметрии
Кулон
Массовый сдвиг
Непрерывный спектр
ВФ дискретного спектра чистые по
изоспину
ВФ непрерывного спектра в общем случае
смешаны по изоспину

24.

Резерфордовское рассеяние
В Кулоновском случае Борн
дает правильный результат
Дальнодействующий характер Кулона

25.

Кулон
Резерфорд экранированного Кулона в
Борновском приближении
s(E) ~ 1 / (4 k 2 sin 2 (q /2) + m2)
Кулоновская ВФ в 3D
Yk (r) ~ Exp( i kr) 1F1(- ih,1, i(kr- kr))

26.

Кулон. Парциальные ВФ
Пороговое поведение сечений в Кулоновском случае