05_ ОТС_ Сигналы и цепи

1. СИГНАЛЫ И ЦЕПИ

С. А. Алексейцев

2. Преобразования сигналов

Это любые изменения сигналов
Целенаправленные преобразования – в созданных
для этого устройствах (цепях).
Непреднамеренные – например, в линиях
связи (искажение, ослабление и т.п.)
x(t )
X
T
y (t )
Y
преобразование – отображение множества X
входных сигналов во множество Y выходных
сигналов
2

3. Линейные операторы

Если X
Y L2
(или
l2 )
преобразование называется оператором.
В частности – фильтрация сигналов.
Оператор L
линейный, если он:
аддитивен -
L x y L x L y
и однороден
L x L x
принцип суперпозиции:
L x y L x L y
3

4. Важность принципа суперпозиции!

ОРФ
x(t ) k uk (t )
k
L
y (t ) k L uk (t )
k
более подробно:
y(t ) L x(t ) L k uk (t ) k L uk (t )
k
k
спектральные коэффициенты те же!
Это – основа спектрального метода анализа
линейных цепей.
4

5. Задачи, связанные с цепями

x(t )
L
?
x(t )
?
y (t ) идентификация
и синтез
?
L
y (t )
анализ
обратная
задача
5

6. Выбор базиса для СА

y(t ) L x(t ) L k uk (t ) k L uk (t )
k
k
Можно (и нужно) попытаться найти наиболее удобный
базис для СА.
В конечномерном пространстве линейный оператор
y1 11 12
y
2
21
22
... ...
...
y N N 1 N 2
... 1N x1
... 2 N x2
... ... ...
... NN xN
6

7. Конечномерный линейный оператор

y1 11 12 ... 1N x1
y
2 21 22 ... 2 N x2
... ...
... ... ... ...
y N N 1 N 2 ... NN xN
Отсчеты выходного сигнала находятся по
формуле
N
yk kj x j ,
e1 1,0,...,0
T
e2 0,1,...,0
T
eN 0,0,...,1
T
j 1
k 1, N
11, 21,..., N1
T
,
,...,
12 22 N 2
T
1N , 2 N ,..., NN
T
7

8. Собственные векторы линейного оператора

собственный вектор
Для N-мерного оператора простой структуры
существует N линейно-независимых собственных
векторов
8

9. Собственные векторы линейного оператора

если базис пространства составить из
собственных векторов данного оператора, то
матрица оператора будет диагональной:
y '1 11 0
y' 0
22
2
... ...
...
0
y 'N 0
...
0 x '1
...
0 x '2
... ... ...
... NN x ' N
Отсчеты выходного сигнала
N
y 'k kk x 'k , k 1, N а не yk kj x j , k 1, N
j 1
9

10. Анализ линейных цепей

Для пространства l2 матрица линейного
оператора становится бесконечной
ij , i, j ,
Отсчет выходного сигнала
yk kj x j
k .
j
10

11. Анализ линейных цепей

В пространстве L2 вместо матрицы функция ( , ) ,
называемая ядром оператора,
а действие любого линейного оператора на сигнал x(t )
описывается выражением
y (t ) (t , s ) x( s )ds
yk kj x j
j
переменная s имеет физический смысл и размерность,
соответствующие базису, выбранному для описания
сигнала
(частота f , если сигнал задан спектральной плотностью ,
или время t , если сигнал задан временнόй функцией)
11

12. Анализ линейных цепей при временном описании

y(t ) L x(t ) L k uk (t ) k L uk (t )
k
k
Входной сигнал в динамическом представлении
x(t ) x( ) (t )d
x ( )
Поэтому
k
(t )
y (t ) L x(t ) L x( ) (t )d
x( )L (t ) d x( )h(t , )d
u k (t )
12

13. Анализ линейных цепей при временном описании

Сигнал на выходе линейной цепи
y (t ) x( )h(t , )d
h(t , ) - отклик цепи в момент t на (t )
h(t , ) L (t ) весовая функция.
где
Важнейший частный случай: линейные инвариантные к сдвигу
(ЛИС), или линейные стационарные цепи: весовая функция
фактически зависит только от разности аргументов -
h(t , ) h(t )
тогда
y (t ) x( )h(t )d
Это – интеграл Дюамеля,
или свёртка
13

14. Интеграл Дюамеля (свёртка)

Символически свёртку иногда обозначают
y (t ) x( )h(t )d x(t ) h(t )
Заменой переменных можно получить
y (t ) h( ) x(t )d h(t ) x(t )
Таким образом, свёртка как бинарная операция коммутативна
Если
x(t ) (t )
то
y (t ) ( )h(t )d h(t )
14

15. Импульсная характеристика ЛИС-цепи

h(t ) ( )h(t )d
Отклик ЛИС-цепи на воздействие в форме дельта-функции –
импульсная характеристика
Зная входной сигнал и импульсную характеристику цепи, всегда
можно точно определить выходной сигнал.
Поэтому импульсная характеристика (ИХ) представляет собой
исчерпывающее описание ЛИС-цепи.
h(t , ) h(t )
(t )
(t )
означает:
h(t )
h(t )
поведение цепи неизменно во времени (инвариантно к сдвигу)
15

16. Пример ИХ ЛИС-цепи

h(t )
Условие каузальности (причинности)
1
ц
e
t / ц
ц RC
h(t ) 0 при t < 0
y (t0 ) h( ) x(t0 )d
16

17. Поиск лучшего базиса для описания ЛИС-цепи

Интеграл Дюамеля описывает цепь относительно ядра
(t )
По аналогии с собственным базисом – собственное базисное
ядро – наилучшее для представления входных сигналов, при
котором выходной сигнал будет выражаться проще, чем
сверткой
(t )h( )d (t )
Решение –комплексная гармоническая функция
e j 2 ft (t )
j 2 f (t )
j 2 ft
j 2 f
j 2 ft
e
h
(
)
d
H
(
f
)
e
e
e
h
(
)
d
(t )
(t )
17

18. Частотное описание ЛИС-цепи

j 2 ft
e
На входе
, тогда на выходе эта же функция,
умноженная на комплексное число
H ( f ) h(t )e
j 2 ft
dt
это прямое
преобразование Фурье ИХ
Это комплексная частотная характеристика ЛИС-цепи,
очевидно:
ИХ и КЧХ – исчерпывающие
j 2 ft
h(t ) H ( f )e
df
характеристики ЛИС-цепи
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
Фазочастотная характеристика (ФЧХ)
H( f ) K( f )
arg H ( f ) ( f )
H ( f ) K ( f )e j ( f ) Воздействие ЛИС-цепи на e j 2 ft
j 2 ft ( f )
j 2 ft
H ( f )e
K ( f )e
18

19. Частотное описание ЛИС-цепи

e j 2 ft
Итак, если на входе
, то на выходе эта же функция,
умноженная на комплексное число H ( f )
Но входной сигнал можно представить интегралом
x(t ) X ( f )e j 2 ft df
Тогда выходной получается умножением каждой гармоники на свой
комплексный коэффициент
y (t ) H ( f ) X ( f ) e j 2 ft df
но
Y( f )
y (t ) Y ( f )e j 2 ft df
поэтому
Y( f ) H( f )X ( f )
Это соответствует (в конечномерном случае) формуле
y 'k kk x 'k , k 1, N
19

20. Пример ЛИС-цепи

АЧХ
гр
Импульсная характеристика
h(t )
1
ц
e
t / ц
гр
ФЧХ
ц RC
гр граничная частота (усиление в
раз меньше, чем максимум)
2
20

21. Частотное описание ЛИС-цепи

H ( f ) h(t )e
j 2 ft
dt
h(t ) H ( f )e j 2 ft df
Y( f ) H( f )X ( f )
ИХ и КЧХ – исчерпывающие
характеристики ЛИС-цепи
Вместо циклической частоты f часто используют круговую
частоту
H ( ) h(t )e j t dt
1
j t
h(t )
H
(
)
e
d
2
Y ( ) H ( ) X ( )
21

22. Измерение АЧХ и ФЧХ ЛИС-цепи

Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) можно измерить
(приближенно), подавая на вход гармоническое колебание и находя
отношение выходной амплитуды к входной (в зависимости от
частоты).
ФЧХ можно измерить, как разность фаз выходного и входного
гармонических колебаний (в зависимости от частоты).
22