Лекция 21

1.

Волновое движение
1. Волновое движение.
1.1. Виды волн.
1.2. Уравнение волны. Длина, частота и скорость распространения
волны. Энергия волны.
2. Интерференция волн.
2.1. Стоячие волны.
3. Элементы физической акустики.
3.1. Эффект Доплера для звуковых волн
4. Электромагнитные волны.
4.1. Свойства и скорость распространения электромагнитных волн.
4.2. Шкала электромагнитных волн.
5. Энергия и импульс электромагнитной волны.
6. Эффект Доплера для световых волн.

2.

1. Волновое движение. 1.1. Виды волн
Волна – это процесс распространения колебаний, периодический во
времени и пространстве.
При распространении волны, частицы среды не движутся вместе с
волной, а колеблются около положений равновесия.
Основное свойство всех волн − перенос энергии без переноса вещества.
Классификация волн
По природе: механические (упругие), электромагнитные.
По ориентации возмущений: продольные, поперечные.
По форме волновых поверхностей: плоские, сферические.

3.

1.1. Виды волн
Фронт волны – геометрическое место точек, до которых доходит
возмущение в момент времени t.
Волновая поверхность – геометрическое
место точек, колеблющихся в одинаковой
фазе.
Число волновых поверхностей – бесконечно, они неподвижны. Фронт
волны – один и все время перемещается.
В зависимости от формы волновой поверхности различают:
Плоские волны
Сферические волны

4.

1.1. Виды волн
Упругие волны − волны, возникающие при деформациях среды,
обладающей сопротивлением сдвигу.
Примеры: звуковые, ультразвуковые, сейсмические.
Продольные волны: частицы среды
колеблются в направлении
распространения волны.
Поперечные волны: частицы среды
колеблются в направлениях,
перпендикулярных направлению
распространения волны.
В жидкой и газообразной средах: продольные волны.
В твердой среде: продольные и поперечные волны.

5.

1.2. Уравнение волны.
Длина, частота и скорость распространения волны.
Уравнение волны
Колебания происходят по гармоническому закону:
t A cos( t 0 )
0 - начальная фаза
A - амплитуда колебаний
x
Волна проходит расстояние x за время τ
υ
Уравнение плоской волны
x
( x, t ) A cos t 0 A cos t 0
υ

6.

1.2. Уравнение волны.
Длина, частота и скорость распространения волны.
k − волновое число, которое показывает
направление распространения волны
Длина волны
υT
2
k
Период колебаний
2
T
2 2
k
υT υ
Скорость волны
Уравнение
плоской волны:
A cos( t kx 0 )
Уравнение
сферической волны:
A
cos( t kr 0 )
r
υ
k

7.

1.2. Уравнение волны.
Длина, частота и скорость распространения волны.
Скорость и ускорение на примере плоской волны (φ0 = 0)
Скорость: первая
производная от координаты
по времени
d
υ
A sin t kx
dt
Амплитуда скорости
υmax A
Ускорение: вторая
производная от координаты
по времени
d
2
a 2 A cos t kx
dt
Амплитуда ускорения
2
amax A 2

8.

1.2. Уравнение волны.
Длина, частота и скорость распространения волны
Зависимость скорости волны от характеристик среды
1. В твердых телах:
Продольная волна
Поперечная волна
2. В газах:
Е
υ
Е – модуль Юнга;
ρ – плотность среды.
G
υ
G – модуль сдвига;
ρ – плотность среды.
RT
р
υ
CP
CV
р – давление; R – газовая постоянная; – молярная масса;
γ – отношение теплоемкостей.

9.

1.2. Уравнение волны. Энергия волны
Энергия упругой волны складывается из кинетической энергии
колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии упругой
деформации:
Бегущая волна переносит энергию колебательного движения в
направлении распространения.
На практике чаще используется величина w – объемная
плотность энергии, это энергия единицы объема:
W
w
V
Плотность энергии упругой волны в каждый момент времени в
разных точках пространства различна и определяется по формуле:
w A sin ( t kx 0 )
2
2
2
Среднее значение плотности потока
(А – амплитуда волны):
А2 2
w
2

10.

2. Интерференция волн
Волны называются когерентными, если разность их фаз остаётся
постоянной во времени.
Явление интерференции: наложение в пространстве двух (или
нескольких) когерентных волн в разных его точках получается
усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от
соотношения между фазами этих волн.
A
cos
(
t
kr
)
Для двух когерентных сферических
1
1
1
r1
волн, возбуждаемых двумя
A
источниками, колеблющимися с
2 cos( t kr2 2 )
одинаковыми амплитудами и частотой.
r2
Амплитуда результирующей волны зависит
r r1 r2
от разности хода
Условие максимума
Условие минимума
k r 2m k r (2m 1) m 0, 1, 2,

11.

2.1. Стоячие волны
Частный случай интерференции: наложении двух встречных плоских
волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате
колебательный процесс называется стоячей волной.
На практике стоячие волны возникают при отражении от преград.
1 Acos( t kx)
2 Acos( t kx)
2
Уравнение
2 Acos
x cos t
стоячей волны
Амплитуда
стоячей волны
Пучность стоячей волны: А*= 2А
2
A 2 Acos x
*
Узел стоячей волны: А*= 0
Координаты пучностей:
Координаты узлов:
xпучн n
2
1
xузел n
2 2
n=0, 1, 2…

12.

2.1. Стоячие волны
Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в
месте отражения возникает пучность (а), если более плотная – узел (б).
а
Расстояние между соседними пучностями
(или соседними узлами) одинаково и
равно половине длины волны.
б
x
k 2
Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть
длины волны (λ/4).
В случае стоячей волны переноса энергии нет,
т.к. падающая и отраженная волны одинаковой
амплитуды несут одинаковую энергию в
противоположных направлениях.

13.

3. Элементы физической акустики
Характеристики звуковых волн
1. Акустический диапазон: 16 Гц ≤ ν ≤ 20000 Гц.
Инфразвук: ν < 16 Гц. Ультразвук: ν > 20000 Гц.
2. Интенсивность волны,
υ − скорость волны
2 A2
I
w υ
2
3. Уровень интенсивности
звука, [LI]= Б (Бел)
LI lg
4. Уровень громкости звука,
[LI]= дБ (дециБел)
LI 10 lg
5. Порог слышимости
на частоте 1000 Гц:
L0 10 12 Вт/м 2
I
I0
I
I0

14.

3.1. Эффект Доплера для звуковых волн
Эффект Доплера заключается в том, что испускаемая и регистрируемая
частота волны различаются, если источник и приемник движутся друг
относительно друга в среде, где распространяется волна.
Звук сирены пожарной машины
а) машина стоит: оба наблюдателя
слышат звук сирены на одной и
той же частоте.
б) наблюдатель, к которому
приближается машина, слышит
звук более высокой частоты, а от
которого машина удаляется,
более низкий звук.
Частота колебаний,
воспринимаемых приёмником:
а)
б)
пр
ист 0
При движении источника и приемника:
верхний знак − сближение; нижний знак: удаление.

15.

4. Электромагнитные волны.
4.1. Свойства и скорость распространения
Источники электромагнитных
волн (ЭМВ)
1. Любой колебательный контур.
2. Проводник по которому течет
переменный электрический ток.
Общие свойства ЭМВ
1. В ЭМВ происходят колебания полей, а не вещества.
2. Вектора Е и Н взаимно перпендикулярны и перпендикулярны
скорости распространения ЭМВ. Поэтому ЭМВ поперечные. Они
образую правовинтовую систему: направление распространения
определяют по правилу буравчика.
3. Вектора Е и Н колеблются в одинаковых фазах: одновременно
достигают max и min.

16.

4.1. Свойства и скорость распространения ЭМВ
Вектора напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н) полей
удовлетворяют ниже приведенным волновым уравнениям .
Волновые уравнения:
Решение уравнений:
1 d E
2
E 2 2
dt
E E0 cos( t kx 0 )
1 d H
2
H 2 2
dt
H H 0 cos( t kx 0 )
2
2
d2
d2
d2
2 2 2
dx dy
dz
2
- оператор Лапласа

17.

4.1. Свойства и скорость распространения ЭМВ
Показатель преломления равен отношению скорости ЭМВ в вакууме к
скорости в среде.
c
Проницаемости (свойства среды):
n
ε – диэлектрическая; μ – магнитная.
υ
Скорость света в вакууме
1
c
0 0
Фазовая скорость распространения ЭМВ в среде:
с
1
1
υ
n
0 0

18.

4.2. Шкала электромагнитных волн
Диапазон (λ)
Радиоволны (до 10 км)
Инфракрасное
излучение
(0,1м ÷ 770 нм)
Видимый свет
(770 нм ÷ 380 нм)
Ультрафиолетовое
излучение
(380 нм ÷ 5 нм)
Рентгеновское
излучение
(5 нм и меньше)
γ-излучение
(коротковолновое)
Применение
Связь, навигация.
Нагревание, копирование, сушка.
Наблюдение за видимым миром.
Лечение заболеваний, уничтожение
бактерий, устройства охраны.
Рентгенография, рентгеноскопия,
радиология, и т.п.
Стерилизация, медицина, радиография

19.

4.2. Шкала электромагнитных волн
Такое разграничение условно и в значительной степени определяется
общностью технических средств и методов исследования явлении в
указанном диапазоне.

20.

5. Энергия и импульс электромагнитной волны
ЭМВ переносят энергию. Объемная плотность энергии ЭМВ:
0 E
0 H
w wэл wм
2
2
2
2
В каждый момент времени плотности энергии одинаковы по
величине:
wэл wм
w 2wэл 0 E 0 0 EH
2
Вектор плотности потока энергии S
(S – вектор Умова-Пойтинга)
S [E; H] S wυ EH
Вектор S направлен в сторону распространения ЭМВ, а его модуль
равен энергии, переносимой ЭМВ через единичную площадку,
перпендикулярную направлению распространения ЭМВ.

21.

5. Энергия и импульс электромагнитной волны
ЭМВ отражаются или поглощаются телами (опыты Герца).
Поэтому они могут оказывать давление на тела. П.Н. Лебедев
доказал существование светового давления на твердые тела и газы,
но это давление очень мало. Пример: давление излучения Солнца
на поверхность Земли равно 4,3 10 6 Н/м2.
Импульс ЭМВ:
W – энергия ЭМВ.
W
p
c

22.

6. Эффект Доплера для световых волн
Эффект Доплера для световых волн устанавливают на основе
специальной теории относительности.
В (λ0)
1. Пусть источник расположен в точке О и
испускает свет с длиной волны λ0. Наблюдатели в
точках A и B фиксируют излучение с длиной волны
λ0.
А (λ0)
В (λ0+λ)
2. Источник двигается со скоростью υ.
Для наблюдателя А длина волны уменьшается,
для наблюдателя Б – длина волны увеличивается.
υ
А (λ0-λ)

23.

6. Эффект Доплера для световых волн
Изменение длины световой волны зависит от скорости источника
относительно наблюдателя (по лучу зрения) и определяется формулой
Доплера.
Период
между
импульсами
испускаемыми
неподвижным источником: ν0 – частота излучения;
0 1
Т0
λ0 − расстояние между двумя импульсами;
υ0 0
υ0 – скорость световой волны
υд − скорость движения источника света. Пусть: υд<υ0.
1. Источник удаляется от наблюдателя
Д 0 υ Д Т0
υД
Д
0
Д
Д
1
0

24.

6. Эффект Доплера для световых волн
2. Источник приближается к наблюдателю
Д 0 Д Т0
υД
Д
0
Д
Д
1
0
В видимой части электромагнитного излучения наименьшим длинам
волн соответствует фиолетовый свет, а наибольшим – красный.
Поэтому для приближающегося источника света наблюдается
смещение длины волны в фиолетовую сторону спектра, а для
удаляющегося источника света - в красную сторону спектра.
Физическая природа эффекта кинематическая! Эффект Доплера
применяют для определения скорости движущихся транспортных
средств.