Формулы сложения

1. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

10.03.2026
1

2. Вспомним значения тригонометрических функций для основных углов

10.03.2026
2

3. Вспомним значения тригонометрических функций для основных углов

10.03.2026
3

4. Вспомним значения тригонометрических функций для основных углов

3
cos150
2
1
cos 420
2
2
sin 405
2
1
sin 210
2
2
3
sin 120
cos 135
2
2
cos15 ?
10.03.2026
sin 75 ?
4

5.

Чтобы найти значения тригонометрических
функций таких углов как 15°, 75°, 105° и т.д.
не обязательно использовать калькулятор. В
этом нам помогут одни из основных формул
тригонометрии , ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ.
10.03.2026
5

6.

• Формулы сложения — это формулы
преобразования тригонометрических функций
суммы и разности двух аргументов.
• Для начала перечислим все формулы
сложения, и дадим их формулировки. Для
удобства представим их в виде списка:
10.03.2026
6

7.

• Формула синуса суммы : синус суммы двух углов
равен сумме произведений синуса первого угла на
косинус второго и косинуса первого угла на синус
второго.
sin sin cos cos sin
• Синус разности двух углов: синус разности двух
углов равен разности произведений синуса первого
угла на косинус второго и косинуса первого угла на
синус второго.
sin sin cos cos sin
10.03.2026
7

8.

• Формула косинуса суммы: косинус суммы двух
углов равен разности произведений косинусов этих
углов и синусов этих углов.
cos cos cos sin sin
• Косинус разности : косинус разности двух углов
равен сумме произведений косинусов этих углов и
синусов этих углов.
cos cos cos sin sin
10.03.2026
8

9.

sin
sin cos
cos sin
cos
cos cos sin sin
10.03.2026
9

10. Тангенс суммы 

Тангенс суммы
sin
tg
cos
sin cos cos sin
cos cos sin sin
sin cos cos sin
tg tg
cos cos cos cos
cos cos sin sin 1 tg tg
cos cos cos cos
10.03.2026
tg tg
tg
1 tg tg
10

11. Тангенс разности 

Тангенс разности
sin sin cos cos sin
tg
cos cos cos sin sin
sin cos cos sin
tg tg
cos cos cos cos
cos cos sin sin 1 tg tg
cos cos cos cos
tg tg
tg
1 tg tg
10.03.2026
11

12. Формулы выучить наизусть !!!

Формулы для ctg учить не обязательно!
10.03.2026
12

13. Если Вам интересно, как выводятся данные формулы, Вы можете пройти по данной ссылке, и в видеоролике посмотреть их вывод, а

также решение некоторых
примеров на применение формул сложения.
• https://resh.edu.ru/subject/lesson/4734/ma
in/199309/
Формулы сложения составляют фундамент
тригонометрии. Из них выводится масса нужных
формул.
Чтобы знать все формулы сложения, достаточно
выучить две основные формулы, а все остальные из них
выводятся.
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
10.03.2026
13

14.

• Рассмотрим применение данных формул:
Пример 1:
Вычислите :sin 75
Решение : sin 75 sin 45 30
sin 45 cos30 cos 45 sin30
2 3
2 1
6 2
2 2
2 2
4
10.03.2026
14

15.

Пример 2:
Вычислите : cos15
Решение : cos15 cos 45 30
cos 45 cos30 sin 45 sin30
2 3
2 1
6 2
2 2
2 2
4
Можно было и не использовать формулу
т.к.75 15 90 sin 75 cos15
10.03.2026
15

16.

Пример 3:
Вычислите : sin105
Решение : sin105 sin 45 60
sin 45 cos60 cos 45 sin 60
2 1
2 3
6 2
2 2 2 2
4
ПОЧЕМУ?
sin105 sin 75 cos15
sin sin
sin 180 75 sin 75
10.03.2026
sin cos
2
sin 90 15 cos15
sin cos
2
sin 90 15 cos15
16

17.

Пример 4:
Вычислите : tg 75
Решение : tg 75 tg 45 30
tg 45 tg 30
1 tg 45 tg 30
2
3
1
3 3
3
3
12 6 3
3
2 3
6
6
3 3 3
1
3
10.03.2026
17

18.

Пример 5:
7
Вычислите : сtg
12
1
1
7
Решение : ctg
7
12
tg
tg
12
4 3
2
tg tg
1 3 1 3
4
3
tg
2 3
2
1 3
4 3
1 tg
4
tg
3
1
7
ctg
2 3
12 2 3
10.03.2026
18

19.

Пример 6:
Вычислите :
sin12 cos18 cos12 sin18
Решение :
sin12 cos18 cos12 sin18
1
sin 12 18 sin 30
2
10.03.2026
19

20.

Пример 7:
Вычислите :
2
2
cos
cos sin
sin
15
5
15
5
Решение :
2
2
2
cos
cos sin
sin cos
15
5
15
5
15 5
1
cos
3 2
10.03.2026
20

21.

Пример 8:
Упростите :
cos
sin
sin
15
30
15
7
4
7
4
sin
cos
cos
sin
30
15
30
15
30
cos
разности,
В числителе
формула
косинус
cos
cos
cos sin
sin Воспользуемся
формулами.
а в знаменателе
синус суммы.
этими
30
15
30
15
30
15
7
4
7
4
7 4
sin
cos
cos
sin
sin
30
15
30
15
30
15
cos
30
cos
30
sin
10.03.2026
2
21

22.

Пример 9:
Найдите : cos ,
6 3
если sin 0,8 и
2
Решение :
2 .
cos cos cos sin sin
6
6
6
3 Подставим1в формулу известные
3 нам значения.
2
cos 0.8
cos
2
2
2
5
10.03.2026
22

23.

Решение :
3
2
cos
cos
5
6
2
Осталось найти cosβ. Для этого воспользуемся
основным тригонометрическим тождеством cos 2 sin 2 1
и тем, что β – угол 4 четверти.
cos 1 sin 2 1 0, 64 0, 6
Подставим в полученную формулу значение cosβ и
найдем окончательный результат.
3 3 2 3 3 4
cos
.
10
6
2 5 5
10.03.2026
23

24.

Пример 10:
Найдите : sin ,
9
40
если sin ,sin ,
41
41
3
0
,
2 .
2 2
Решение :
sin sin cos cos sin
Подставим в формулу известные нам значения.
9
40
cos cos
41
41
10.03.2026
24

25.

Решение :
9
40
sin cos cos
41
41
Осталось найти сosα и cosβ. Для этого воспользуемся основным
тригонометрическим тождеством и тем, что α – угол 1 четверти, а
81
40
β – угол 4 четверти.
cos 1 sin 1
2
1681
41
1600 9
cos 1 sin 1
1681 41
Подставим в полученную
9 формулу
9 значение
40 cosα
40и cosβ
sin найдем
окончательный
результат.
41 41 41 41
81 1600
1519
10.03.2026
1681
1681
2
25

26.

Пример 11: Решите уравнение
sin x cos x 3
6
3
Решение: Воспользуемся формулами синуса суммы и
косинуса суммы и упростим левую часть уравнения.
sin
sin x cos cos x sin sin x 3
6
6
3
3
1 3
1
3
sin x cos x cos sin
x 3
sin cos xx
x
2 6 2
2
2 3
cos x cos
10.03.2026
3 sin x 3
sin x 1
x 2 n, n Z
2
Ответ : 2 n, n Z
2
26

27. Задания для закрепления изученного материала

5
1
№ 24.4(а )Упростите : sin
cos
6
2
5
5
1
5
1
sin
cos
cos
sin
cos
Решение : sin
cos
6
6
2
6
2
1
3
1
3
cos
sin cos
sin
2
2
2
2
№ 24.4(б )Упростите : 3 cos 2 cos
6
• Решаем самостоятельно,
затем сделаем
Решениепроверку
: 3 cos 2cos 3 cos 2 cos cos 2sin sin
6
6
6
3 cos 3 cos sin sin
10.03.2026
27

28. Задания для закрепления изученного материала

sin 2 cos sin
№ 24.6(б )Упростите :
2 cos cos cos
sin 2 cos sin sin cos cos sin 2 cos sin
Решение :
2 cos cos cos 2 cos cos cos cos sin sin
sin
sin cos cos sin
tg
cos
cos cos sin sin
sin cos sin
№ 24.6(а)Упростите :
sin cos sin
• Решаем самостоятельно, затем сделаем
проверку
sin cos sin sin cos cos sin cos sin
1
Решение :
sin cos sin sin cos cos sin cos sin
10.03.2026
28

29. Задания для закрепления изученного материала

3
1
№24.9(а) Докажите :
cos x sin x sin x
2
2
3
• Раскроем формулу синуса суммы в правой
части равенства
3
1
sin х sin cos x cos sin x
cos x sin x
3
3
2
2
3
• Получили верное равенство.
1
3
№24.9(б ) Докажите : cos x
sin x cos x
2
2
3
• Проверить самостоятельно.
10.03.2026
29

30. Задания для закрепления изученного материала Вычислите :

1) Вычислите : sin 74 cos16 cos 74 sin16 1
2) Вычислите : cos 23 cos 22 sin 23 sin 22
3) Вычислите : sin
cos
cos
sin
2
2
2
2
5
20
5
20
2
5
2
5
4) Вычислите : cos
cos
sin
sin
1
7
7
7
7
5) Вычислите : cos107 cos17 sin107 sin17 0
6) Вычислите : sin
10.03.2026
12
cos
4
cos
12
sin
1
4
2
30

31.

Задания для закрепления изученного материала
Решите уравнения:
№ 24.20
а) sin 2 х cos х cos 2 х sin х 1
sin 3х 1
3х
2 n
2
2 n
х
,n Z
6
3
2 n
Ответ : х
,n Z
6
3
10.03.2026
31

32.

Задания для закрепления изученного материала
Решите уравнения:
№ 24.20
б ) cos 3 х cos 5 х sin 3 х sin 5 х
cos8 х 0
8х
х
16
2
n
n
8
Ответ : х
10.03.2026
,n Z
16
n
8
,n Z
32

33.

Задания для закрепления изученного материала
Найдите наименьший положительный корень
уравнения:
№ 24.21
а ) sin х cos 45 cos х sin 45 cos17 cos13 sin17 sin13
sin х 45 cos30
3
sin х
4 2
x
2
n
x
2 n
4 3
12
x 2 2 n x 5 2 n
4
3
12
xнаим 0
12
Ответ :15
10.03.2026
33

34.

Задания для закрепления изученного материала
Найдите наименьший положительный корень
уравнения:
№ 24.21
б ) cos х cos 45 sin х sin 45 sin 200 cos80 cos 200 sin 80
cos х 45 sin120
3
cos х
4 2
5
x
2
n
x
2 n
4 6
12
x 2 n x 2 n
4
6
12
xнаим 0
12
Ответ :15
10.03.2026
34

35.

Задания для закрепления изученного материала
Решите уравнения:
№24.25
2
2
a)
sin х
cos х 1
2
2
cos sin х sin cos х 1
4
4
sin х cos cos х sin 1
4
4
sin х 1
4
х 2 n, n Z
4 2
3
х
2 n, n Z
4
10.03.2026
3
Ответ : х
2 n, n Z
4
35

36.

Задания для закрепления изученного материала
Решите уравнения:
№24.25
3
1
в)
cos х sin х 1
2
2
sin cos х cos sin х 1
3
3
sin х cos cos х sin 1
3
3
sin х 1
3
х 2 n, n Z
3 2
х
10.03.2026
6
2 n, n Z
Ответ : х
6
2 n, n Z
36

37.

Задания для закрепления изученного материала
Решите уравнения:
№24.25
3
1
в)
cos х sin х 1
2
2
cos cos х sin sin х 1
6
6
cos х cos sin х sin 1
6
6
cos х 1
6
х 2 n, n Z
6
х 2 n, n Z
Ответ : х 2 n, n Z
6
6
10.03.2026
37

38. Задания для закрепления изученного материала

3
.
№ 24.27(а, б ) : Если sin t , 0 t
2
5
Решение :
а) Найдите : sin t ,
3
sin t sin cos t cos sin t
3
3
3
Подставим
в формулу
3
1 3известные
3 нам значения.
3
cos t
cos t
2
2 5 2
10
10.03.2026
38

39.

Решение :
3
3
sin t
cos t
10
3 2
Осталось найти cost. Для этого воспользуемся
основным тригонометрическим тождеством cos 2 t sin 2 t 1
и тем, что t – угол 1 четверти.
cos t 1 sin t
2
1 0,36 0,8
Подставим в полученную формулу значение cost и
найдем окончательный результат.
3 4 3 4 3 3
sin t
10
3 2 5 10
10.03.2026
39

40. Задания для закрепления изученного материала

3
.
№ 24.27(а, б ) : Если sin t , 0 t
2
5
Решение :
б ) Найдите : cos t ,
2
3
cos t cos cos t sin sin t sin t
5
2
2
2
Подставим в формулу известные нам значения.
10.03.2026
40

41.

Самостоятельно сделать
Решить уравнения:№24.22(а), 24.24(а), 24.26(а);
Вычислить: 24.28(а), 24.29(а), 24.31(а), 24.32(а), 24.34(а)
Домашняя работа
Решить уравнения:№24.22(б), 24.24(б), 24.26(б);
Вычислить: 24.28(б), 24.29(б), 24.31(б), 24.32(б), 24.34(б)
10.03.2026
41