Метод Ньютона (касательных). Комбинированное применение методов хорд и касательных

1. Метод Ньютона (касательных) Комбинированное применение методов хорд и касательных

2. Метод касательных (Ньютона)

Пусть действительный корень уравнения
f(x) = 0
изолирован на отрезке [a ; b]. Выберем на отрезке [a ; b]
такое число х0, при котором f(x0) имеет тот же знак что и
f ′′(x0), т.е. выполняется условие
f(x0)∙ f ′′(x0) >0
Проведем в точке М0 (х0; f(x0)) касательную к кривой
у = f(x). За приближенное значение корня примем
абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ.
Это приближенное значение корня найдется по формуле:
x1 x0
f x0
f x0
Применив этот метод вторично в точке М1 (х1; f(x1) ),
получим:
f x1
x 2 x1
f x1
и т.д. Полученная таким образом последовательность
х0, х1, х2 .... имеет своим пределом искомый корень.

3.

4. Пример

Методом касательных найти положительный
корень уравнения х4 - 2х – 4 = 0 с точностью до
0,01
Решение.
Здесь f(x) = х4 - 2х – 4, f(x) =4х3 – 2, f′′(x) = 12х2.
Так как f(x) и f′′(x) при х0=1,7 имеют один и тот
же знак, а именно: f ( 1,7 ) = 0,952 > 0 и f′′(1,7) =
34,68 >0 , то применяя формулу
f x0
x1 x0
f x0 ,
где f ′( 1,7 ) =17,652.
Тогда
0,952